人教版九年级数学培优专题16 相似三角形的性质（带答案解析）

专题16相似三角形的性质阅读与思考相似三角形的性质有：1.对应角相等；2.对应边成比例；3.对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；4.周长之比等于相似比；5.面积之比等于相似比的平方.性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角.如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC，设，，试用a、h的代数式表示正方形的边长.例题与求解【例1】如图，已知□ABCD中，过点B的直线顺次与AC，AD及CD的延长线相交于E，F，G，若，，则FG的长是.（“弘晟杯”上海市竞赛试题）解题思路：由相似三角形建立含FG的关系式，注意中间比的代换.\n【例2】如图，已知△ABC中，DE∥GF∥BC，且，则（）（黑龙江省中考试题）A.B.C.D.解题思路：△ADE，△AFG都与△ABC相似，用△ABC面积的代数式分别表示△ADE、四边形DFGE、四边形FBCG的面积.【例3】如图，在△ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与△ABC的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t1，t2，t3的面积分别为4，9和49，求△ABC的面积.（第二届美国数学邀请赛试题）解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质.如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到：①△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC；②；③；④.上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心独运，请读者给出证明.\n【例4】如图，△ABC中，O是三角形内一点，满足.求证：.（北京大学自主招生考试试题）解题思路：这实际上是一个著名的问题：布洛卡点问题.设P是△ABC内一点，满足，称点P是△ABC的布洛卡点，则有.【例5】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，，，.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为t秒.（1）求BC的长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形.（济南市中考试题）解题思路：对于（2），由，构造相似三角形，由三角形相似得对应边成比例，进而解决问题；对于（3），需要分情况讨论.在证明含线段平行关系的问题时，常常联想到以下知识：①勾股定理；②相似三角形面积比等于相似比的平方.\n【例6】设△A1B1C1的面积为S1，△A2B2C2的面积为S2，当△A1B1C1∽△A2B2C2，且时，则称△A1B1C1与△A2B2C2有一定的“全等度”.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，，，连接AC.（厦门市中考试题）（1）若AD=DC，求证：△DAC与△ABC有一定的“全等度”；（2）你认为：△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.解题思路：本题设置了“全等度”这一新概念，要求在对其理解的基础上进行辨析和判断，并举例说明符合或不符合概念特征的正例或反例，这是试题对概念理解考查的有力保障..能力训练A级1.如图，在△ABC与△BED中，若，且△ABC与△BED的周长之差为10cm，则△ABC的周长为cm.（第1题）（第2题）（第3题）2.如图，△ABC中，，DE∥AC.若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为.（苏州市中考试题）\n3.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE，CD交于F，且，则.4.若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为cm.（武汉市中考试题）5.如图，□ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，EF交AC于点O，FE的延长线交CB的延长线于G点，那么（）A.B.C.D.（第5题）（第6题）（第7题）6.如图，直角梯形ABCD中，，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且.将△BEC绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF交CD于点M.已知，，则的值为（）A.B.C.D.（荆州市中考试题）7.如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC分别交于点N，M，则下列结论错误的是（）A.B.C.D.8.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，N点在CD上.若，则的值为（）A.B.C.D.（第8题）（第9题）\n9.如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，.求证：.10.如图1，在Rt△ABC中，，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC于点E.图1图2（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC边中点，时，如图2，求的值；（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值.（武汉市中考试题）11.如图，△ABC中，，D在AB边上移动（不与A，B重合），DE∥BC交AC于E，连接CD.设，.（1）当D为AB中点时，求的值；（2）当，，用x的代数式表示y，并求x的取值范围；（3）是否存在点D，使得？若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由.（福州市中考试题）\n12.在等腰△ABC中，，.动点M，N分别在两腰AB，AC上（M不与A，B重合，N不与A，C重合），且MN∥BC.将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P.（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上；（2）设，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式.当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B级1.如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB.若△ADE，△EFG，△GIC的面积分别为20cm2，45cm2，80cm2，则△ABC的面积为.（第1题）（第2题）2.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，对角线AC⊥BD于P点，已知，则的值是.（绍兴市中考试题）3.如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR，△BOP和△CRQ的面积分别是，和，那么正方形OPQR的边长是（）（全国初中数学联赛试题）A.B.C.2D.3\n（第3题）（第4题）（第5题）4.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则（）（“希望杯”邀请赛试题）A.2B.C.D.5.如图，△ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且.如果△ABC，△EBD，△ADC的周长依次是m，m1，m2，证明：.（全国初中数学联赛试题）6.如图，P是△ABC内的一点，等长的三条线段DE，FG和HI分别平行于边AB，BC和CA，并且，，.求证：.（江苏省竞赛试题）（第6题）（第7题）7.如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且，其中n为不小于3的自然数.求证：为无理数.（上海市竞赛试题）\n8.如图，已知直线l1的解析式为，直线l1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，直线l2经过B，C两点，点C的坐标为.又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2上从点C向点B移动，点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度.设移动时间为t秒.（1）求直线l2的解析式；（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？（山西省中考试题）9.如图，设△ABC三边上的内接正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另两边上）的面积相等.求证：△ABC为正三角形.（江苏省竞赛试题）10.在矩形ABCD和矩形CEFG中，已知，连接DE与AF交于点P，连接CP.（1）如图1，当时，点B，C，E三点在同一条直线上，求的值.（2）如图2，当时，将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针旋转一个角度.①求的值；②求证：CP⊥AF.\n（3）如图3，当时，请直接写出用含k的式子表示的的值.图1图2图311.在直角梯形ABCD中，CB∥OA，，，，.分别以OA，OC边所在的直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求点B的坐标；（2）已知D，E分别为线段OC，OB上的点，，，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（山西省中考试题）\n专题16相似三角形的性质例110.5提示：．　　例2C例3144提示：．例4解法一：如图1，过点O作AC的平行线交BC，AB于点D，E．∵DE∥AC，∴∠OAC=∠1，∴∠1=∠BAO，∵∠OAC=∠OCA，∴AO=OC，AE=OE，∴△AOE∽△ACO，∴①，∵DE∥AC，∴②，∵∠2=∠OBC，∠BCO=∠BCO，∴△OCD∽△BCO，∴③，①×②×③得图1ABCEDO12，∴（AO=OC，AE=OE），∴．解法二：如图2，不妨设AB>AC，延长CA至点P，使CP=AB，连接PB，PO．在△BAO和△PCO中，，∴△BAO≌△PCO，∴∠CPO=∠ABO．∴O，A，P，B四点共圆，∴∠OAB=∠OPB=∠OBC．而∠CPO=∠ABO，∴∠ABC=∠CPB，又∠ACB=∠BCP，∴△CBA∽△CPB，\n∴，注意到PC=AB，∴，即△ABC三边成比例．例5提示：（1）BC=10（2）如图1，过点D作DG∥AB交BC于点G，则BG=AD=3，GC=7，MN∥DG，当M，N运动t秒时，CN=t，CM=10-2t，由△MNC∽△GDC，得，即，解得．（3）①当NC=MC时，如图2，则t=10-2t，；②当MN=NC时，如图3，过点N作NE⊥MC于点E，过点D作DH⊥BC于点H，由△NEC∽△DHC，得，即，解得；③当MN=MC是，如图4，过点M作MF⊥CN于点F，则．由△MFC∽△DHC，得，即，解得．图1图2图3图4例6（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB．∵∠BCD=60°，∴∠DCA=∠ACB=30°．∵∠B=30°，∴∠DAC=∠B=30°，∴△DAC∽△ABC．过点D作DE⊥AC于点E．∴AD=DC，∴AC=2EC．在Rt△DEC中，∵∠DCA=30°，∴，∴，\n∴，∴，∵，∴△DAC与△ABC有一定的“全等度”．（2）△DAC与△ABC有一定的“全等度”不正确．反例：若∠ACB=40°，则△DAC与△ABC不具有一定的“全等度”．∵∠B=30°，∠BCD=60°，∴∠BAC=110°．∵AD∥BC，∴∠D=120°．∴△DAC与△ABC都是钝角三角形，且两钝角不相等．∴△DAC与△ABC不相似．∴若∠ACB=40°，则△DAC与△ABC不具有一定的“全等度”．A级1．252．3．4．或5．B6．C7．C8．A9．提示：由△ABC∽△DCA，得10．提示：（1）∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C，可证明△ABF∽△COE．（2）如图，作OG⊥AC，交AD的延长线于G，则∠G=∠C，(第10题)∵O为AC中点，AC=2AB，∴∠FOG=∠BOA=∠COE=45°，∴△FOG∽△EOC，∴．又AO=BA，∠G=∠C，∠AOG=∠BAC，∴△AGO≌△BCA，∴OG=AC=2OC，∴．（3）．11．提示：（1）．\n（2）．（3）不存在点D，使得成立，从而反面说明．12．（1）当MN=3时，点P在BC上．（2）①当时，．当时，y有最大值为3；②当时，设△PMN与BC相较于点E、F，BC边上的高为4，则，，．当x=4时，y有最大值为4．B级1．405cm2提示：．2．提示：Rt△BAD∽Rt△CBA．3．C．4．C提示：延长DA、CB相交于G，．设，则，，．5．△EBD∽△DAC∽△ABC，，，．6．提示：，，，由△AFG∽△ABC，得，，FB=4．7．设BC=a，BC边上的高AD=h，PS=x，RS=y．由△ASR∽△ABC，得，∵，\n∴，整理得，∴．∵，∴不是完全平方数，为无理数，从而为无理数，于是为无理数.8.提示：（1）.（2）.（3）如图1，当CP=CQ时，即，得.如图2，当QC=QP时，过点Q作QD⊥x轴于D，则.∵△QDC∽△BOC，∴，即，得.（3）如图3，当PC=PQ时，过P作于D，则.∵△CDP∽△COB.∴，即，得综上所述，当或或时，△PCQ为等腰三角形.9.设三角形边长为.设为正方形的边长，为三角形的高，为三角形的面积.设D、E、F、G是立于边上的正方形的顶点.∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴，.同理可得：.据题意，故得，或①，但，故②.由①②得，因此，故③，或④，其中必有一成立.若④式成立，由①④求得\n，矛盾（直角三角形斜边大于直角边），故③式成立.有①③得.同理可证，故，即△ABC为正三角形.10.(1)连结AC，CF，可证明△ACF∽△DCE，得.（2）①.②证明△ADH∽△CPH，∠CPH=∠ADH=90°，故CP⊥AF.（3）.11.(1)B(3,6).(2)作EG⊥x轴于点G，可求得E（2，4），直线DE的解析式.（3）存在.①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形.作MP⊥y轴于点P，则MP∥x轴，∴△MPD∽△FOD，∴.又当时，，解得.∴F点的坐标为（10，0）.∴OF=10.在Rt△ODF中，，∴，∴，.∴点M的坐标为.∴点N的坐标为.②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM为菱形，延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴.∵点M在直线上.∴设M点坐标为，在Rt△OPM中，，∴，解得，∴点M的坐标为（4，3）.∴点N的坐标为（4，8）.\n③如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为菱形，连结NM交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分，∴.∴，∴，∴.∴N的坐标为.综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为，，.AC=BD