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人教版九年级数学培优专题16 相似三角形的性质(带答案解析)

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专题16相似三角形的性质阅读与思考相似三角形的性质有:1.对应角相等;2.对应边成比例;3.对应线段(中线、高、角平分线)之比等于相似比;4.周长之比等于相似比;5.面积之比等于相似比的平方.性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题,性质5进一步丰富了面积的有关知识,拓展了我们研究面积问题的视角.如图,正方形EFGH内接于△ABC,AD⊥BC,设,,试用a、h的代数式表示正方形的边长.例题与求解【例1】如图,已知□ABCD中,过点B的直线顺次与AC,AD及CD的延长线相交于E,F,G,若,,则FG的长是.(“弘晟杯”上海市竞赛试题)解题思路:由相似三角形建立含FG的关系式,注意中间比的代换.\n【例2】如图,已知△ABC中,DE∥GF∥BC,且,则()(黑龙江省中考试题)A.B.C.D.解题思路:△ADE,△AFG都与△ABC相似,用△ABC面积的代数式分别表示△ADE、四边形DFGE、四边形FBCG的面积.【例3】如图,在△ABC的内部选取一点P,过P点作三条分别与△ABC的三边平行的直线,这样所得的三个三角形t1,t2,t3的面积分别为4,9和49,求△ABC的面积.(第二届美国数学邀请赛试题)解题思路:由于问题条件中没有具体的线段长,所以不能用面积公式求出有关图形的面积,可考虑应用相似三角形的性质.如图所示,经过三角形内一点向各边作平行线(也称剖分三角形),我们可以得到:①△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC;②;③;④.上述性质,叙述简捷,形式优美,巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题,简明而迅速,奇特而匠心独运,请读者给出证明.\n【例4】如图,△ABC中,O是三角形内一点,满足.求证:.(北京大学自主招生考试试题)解题思路:这实际上是一个著名的问题:布洛卡点问题.设P是△ABC内一点,满足,称点P是△ABC的布洛卡点,则有.【例5】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,,,,.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,设运动的时间为t秒.(1)求BC的长;(2)当MN∥AB时,求t的值;(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.(济南市中考试题)解题思路:对于(2),由,构造相似三角形,由三角形相似得对应边成比例,进而解决问题;对于(3),需要分情况讨论.在证明含线段平行关系的问题时,常常联想到以下知识:①勾股定理;②相似三角形面积比等于相似比的平方.\n【例6】设△A1B1C1的面积为S1,△A2B2C2的面积为S2,当△A1B1C1∽△A2B2C2,且时,则称△A1B1C1与△A2B2C2有一定的“全等度”.如图,已知梯形ABCD,AD∥BC,,,连接AC.(厦门市中考试题)(1)若AD=DC,求证:△DAC与△ABC有一定的“全等度”;(2)你认为:△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗?若正确,说明理由;若不正确,请举出一个反例说明.解题思路:本题设置了“全等度”这一新概念,要求在对其理解的基础上进行辨析和判断,并举例说明符合或不符合概念特征的正例或反例,这是试题对概念理解考查的有力保障..能力训练A级1.如图,在△ABC与△BED中,若,且△ABC与△BED的周长之差为10cm,则△ABC的周长为cm.(第1题)(第2题)(第3题)2.如图,△ABC中,,DE∥AC.若△ABC的面积为S,则△ADE的面积为.(苏州市中考试题)\n3.如图,在△ABC中,DE∥BC,DE,CD交于F,且,则.4.若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上,直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm,则此正方形的边长为cm.(武汉市中考试题)5.如图,□ABCD中,E是AB的中点,F是AD的中点,EF交AC于点O,FE的延长线交CB的延长线于G点,那么()A.B.C.D.(第5题)(第6题)(第7题)6.如图,直角梯形ABCD中,,AD∥BC,BC=CD,E为梯形内一点,且.将△BEC绕点C旋转90°使BC与DC重合,得到△DCF,连接EF交CD于点M.已知,,则的值为()A.B.C.D.(荆州市中考试题)7.如图,△ABC中,DE∥BC,BE与CD交于点O,AO与DE,BC分别交于点N,M,则下列结论错误的是()A.B.C.D.8.如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,N点在CD上.若,则的值为()A.B.C.D.(第8题)(第9题)\n9.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,.求证:.10.如图1,在Rt△ABC中,,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC于点E.图1图2(1)求证:△ABF∽△COE;(2)当O为AC边中点,时,如图2,求的值;(3)当O为AC边中点,时,请直接写出的值.(武汉市中考试题)11.如图,△ABC中,,D在AB边上移动(不与A,B重合),DE∥BC交AC于E,连接CD.设,.(1)当D为AB中点时,求的值;(2)当,,用x的代数式表示y,并求x的取值范围;(3)是否存在点D,使得?若存在,求出D点位置;若不存在,请说明理由.(福州市中考试题)\n12.在等腰△ABC中,,.动点M,N分别在两腰AB,AC上(M不与A,B重合,N不与A,C重合),且MN∥BC.将△AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P.(1)当MN为何值时,点P恰好落在BC上;(2)设,△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y,试写出y与x的函数关系式.当x为何值时,y的值最大,最大值是多少?(宁夏省中考试题)B级1.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,GI∥EF∥AB.若△ADE,△EFG,△GIC的面积分别为20cm2,45cm2,80cm2,则△ABC的面积为.(第1题)(第2题)2.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,,对角线AC⊥BD于P点,已知,则的值是.(绍兴市中考试题)3.如图,正方形OPQR内接于△ABC,已知△AOR,△BOP和△CRQ的面积分别是,和,那么正方形OPQR的边长是()(全国初中数学联赛试题)A.B.C.2D.3\n(第3题)(第4题)(第5题)4.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,且,EF∥CD,EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分,则()(“希望杯”邀请赛试题)A.2B.C.D.5.如图,△ABC中,D,E分别是边BC,AB上的点,且.如果△ABC,△EBD,△ADC的周长依次是m,m1,m2,证明:.(全国初中数学联赛试题)6.如图,P是△ABC内的一点,等长的三条线段DE,FG和HI分别平行于边AB,BC和CA,并且,,.求证:.(江苏省竞赛试题)(第6题)(第7题)7.如图,锐角△ABC中,PQRS是△ABC的内接矩形,且,其中n为不小于3的自然数.求证:为无理数.(上海市竞赛试题)\n8.如图,已知直线l1的解析式为,直线l1与x轴,y轴分别相交于A,B两点,直线l2经过B,C两点,点C的坐标为.又已知点P在x轴上从点A向点C移动,点Q在直线l2上从点C向点B移动,点P,Q同时出发,且移动的速度都为每秒1个单位长度.设移动时间为t秒.(1)求直线l2的解析式;(2)设△PCQ的面积为S,请求出S关于t的函数关系式;(3)试探究:当t为何值时,△PCQ为等腰三角形?(山西省中考试题)9.如图,设△ABC三边上的内接正方形(两个顶点在三角形的一边上,其余两个顶点分别在三角形的另两边上)的面积相等.求证:△ABC为正三角形.(江苏省竞赛试题)10.在矩形ABCD和矩形CEFG中,已知,连接DE与AF交于点P,连接CP.(1)如图1,当时,点B,C,E三点在同一条直线上,求的值.(2)如图2,当时,将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针旋转一个角度.①求的值;②求证:CP⊥AF.\n(3)如图3,当时,请直接写出用含k的式子表示的的值.图1图2图311.在直角梯形ABCD中,CB∥OA,,,,.分别以OA,OC边所在的直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求点B的坐标;(2)已知D,E分别为线段OC,OB上的点,,,直线DE交x轴于点F,求直线DE的解析式;(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.(山西省中考试题)\n专题16相似三角形的性质例110.5提示:.  例2C例3144提示:.例4解法一:如图1,过点O作AC的平行线交BC,AB于点D,E.∵DE∥AC,∴∠OAC=∠1,∴∠1=∠BAO,∵∠OAC=∠OCA,∴AO=OC,AE=OE,∴△AOE∽△ACO,∴①,∵DE∥AC,∴②,∵∠2=∠OBC,∠BCO=∠BCO,∴△OCD∽△BCO,∴③,①×②×③得图1ABCEDO12,∴(AO=OC,AE=OE),∴.解法二:如图2,不妨设AB>AC,延长CA至点P,使CP=AB,连接PB,PO.在△BAO和△PCO中,,∴△BAO≌△PCO,∴∠CPO=∠ABO.∴O,A,P,B四点共圆,∴∠OAB=∠OPB=∠OBC.而∠CPO=∠ABO,∴∠ABC=∠CPB,又∠ACB=∠BCP,∴△CBA∽△CPB,\n∴,注意到PC=AB,∴,即△ABC三边成比例.例5提示:(1)BC=10(2)如图1,过点D作DG∥AB交BC于点G,则BG=AD=3,GC=7,MN∥DG,当M,N运动t秒时,CN=t,CM=10-2t,由△MNC∽△GDC,得,即,解得.(3)①当NC=MC时,如图2,则t=10-2t,;②当MN=NC时,如图3,过点N作NE⊥MC于点E,过点D作DH⊥BC于点H,由△NEC∽△DHC,得,即,解得;③当MN=MC是,如图4,过点M作MF⊥CN于点F,则.由△MFC∽△DHC,得,即,解得.图1图2图3图4例6(1)∵AD=DC,∴∠DAC=∠DCA.∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.∵∠BCD=60°,∴∠DCA=∠ACB=30°.∵∠B=30°,∴∠DAC=∠B=30°,∴△DAC∽△ABC.过点D作DE⊥AC于点E.∴AD=DC,∴AC=2EC.在Rt△DEC中,∵∠DCA=30°,∴,∴,\n∴,∴,∵,∴△DAC与△ABC有一定的“全等度”.(2)△DAC与△ABC有一定的“全等度”不正确.反例:若∠ACB=40°,则△DAC与△ABC不具有一定的“全等度”.∵∠B=30°,∠BCD=60°,∴∠BAC=110°.∵AD∥BC,∴∠D=120°.∴△DAC与△ABC都是钝角三角形,且两钝角不相等.∴△DAC与△ABC不相似.∴若∠ACB=40°,则△DAC与△ABC不具有一定的“全等度”.A级1.252.3.4.或5.B6.C7.C8.A9.提示:由△ABC∽△DCA,得10.提示:(1)∠ABF=∠COE,∠BAF=∠C,可证明△ABF∽△COE.(2)如图,作OG⊥AC,交AD的延长线于G,则∠G=∠C,(第10题)∵O为AC中点,AC=2AB,∴∠FOG=∠BOA=∠COE=45°,∴△FOG∽△EOC,∴.又AO=BA,∠G=∠C,∠AOG=∠BAC,∴△AGO≌△BCA,∴OG=AC=2OC,∴.(3).11.提示:(1).\n(2).(3)不存在点D,使得成立,从而反面说明.12.(1)当MN=3时,点P在BC上.(2)①当时,.当时,y有最大值为3;②当时,设△PMN与BC相较于点E、F,BC边上的高为4,则,,.当x=4时,y有最大值为4.B级1.405cm2提示:.2.提示:Rt△BAD∽Rt△CBA.3.C.4.C提示:延长DA、CB相交于G,.设,则,,.5.△EBD∽△DAC∽△ABC,,,.6.提示:,,,由△AFG∽△ABC,得,,FB=4.7.设BC=a,BC边上的高AD=h,PS=x,RS=y.由△ASR∽△ABC,得,∵,\n∴,整理得,∴.∵,∴不是完全平方数,为无理数,从而为无理数,于是为无理数.8.提示:(1).(2).(3)如图1,当CP=CQ时,即,得.如图2,当QC=QP时,过点Q作QD⊥x轴于D,则.∵△QDC∽△BOC,∴,即,得.(3)如图3,当PC=PQ时,过P作于D,则.∵△CDP∽△COB.∴,即,得综上所述,当或或时,△PCQ为等腰三角形.9.设三角形边长为.设为正方形的边长,为三角形的高,为三角形的面积.设D、E、F、G是立于边上的正方形的顶点.∵GF∥BC,∴△AGF∽△ABC,∴,.同理可得:.据题意,故得,或①,但,故②.由①②得,因此,故③,或④,其中必有一成立.若④式成立,由①④求得\n,矛盾(直角三角形斜边大于直角边),故③式成立.有①③得.同理可证,故,即△ABC为正三角形.10.(1)连结AC,CF,可证明△ACF∽△DCE,得.(2)①.②证明△ADH∽△CPH,∠CPH=∠ADH=90°,故CP⊥AF.(3).11.(1)B(3,6).(2)作EG⊥x轴于点G,可求得E(2,4),直线DE的解析式.(3)存在.①如图1,当OD=DM=MN=NO=5时,四边形ODMN为菱形.作MP⊥y轴于点P,则MP∥x轴,∴△MPD∽△FOD,∴.又当时,,解得.∴F点的坐标为(10,0).∴OF=10.在Rt△ODF中,,∴,∴,.∴点M的坐标为.∴点N的坐标为.②如图2,当OD=DN=NM=MO=5时,四边形ODNM为菱形,延长NM交x轴于点P,则MP⊥x轴.∵点M在直线上.∴设M点坐标为,在Rt△OPM中,,∴,解得,∴点M的坐标为(4,3).∴点N的坐标为(4,8).\n③如图3,当OM=MD=DN=NO时,四边形OMDN为菱形,连结NM交OD于点P,则NM与OD互相垂直平分,∴.∴,∴,∴.∴N的坐标为.综上所述,x轴上方的点N有三个,分别为,,.AC=BD

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2022-06-17 15:18:09 页数:17
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文章作者:180****8757

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