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人教版九年级数学培优专题02 从求根公式谈起(带答案解析)

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专题02 从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具,在因式分解、代数式的化简与求值,应用题,各种代数方程,几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程,需要注意的是:1、熟练求解解一般形式的一元二次方程,因式分解法是基础,它体现了“降次求解”的基本设想,公式法具有一般性,是解一元二次方程的主要方法,对于各项系数较大的一元二次方程,可以先从分析方程的各项系数特征入手,通过探求方程的特殊根来求解,常用的两个结论是:①若,则方程必有一根为.②若,则方程必有一根为.2、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时,直接求解常给解题带来诸多不便,若运用整体思想,构造零值多项式,降次变形等相关思想方法,则能使问题获得简解.思想精髓一元二次方程的求根公式为这个公式形式优美,内涵丰富:①公式展示了数学的抽象性,一般性与简洁美;②公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算;③公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题,方程有没有实数根?有实根时共有几个?如何求出实根?例题与求解例1阅读下列的例题解方程: 解:①当x≥0时,原方程化为,解得(舍)①当时,原方程化为,解得(舍),请参照例题解方程:,则方程的根是____(晋江市中考试题)解题思路:通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.\n例2 方程的解的个数为(  )A、1个   B、2个   C、3个  D、4个(全国初中数学联赛试题) 解题思路:通过去绝对值,将绝对值方程转化为一元二次方程求解.例3 已知m,n是二次方程的两个根,求的值.(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路:若求出m,n值或展开待求式,则计算繁难,由方程根的定义可得关于m,n的等式,不妨从变形等式入手.反思:一元二次方程常见的变形方法有:①把变形为②把变形为③把变形为其中①②体现了“降次”代换的思想;③则是构造倒数关系作等值代换.例4 解关于x的方程:解题思路:因未指明关于x的方程的类型,故首先分及≠0两种情况,当≠0时,还考虑就的值的三种情况加以讨论.\n例5 已知三个不同的实数,,满足,方程和,有一个相同的实根,方程和也有一个相同的实根,求a,b,c的值.解题思路:这是一个一元二次方程有公共根的问题,可从求公共根入手.方法指导:公共根问题是一元二次方程常见问题,解这类问题的基本方法是:①若方程便于求出简单形式的根,则利用公共根相等求解.②设出公共根,设而不求,消去二次项.例6 已知a是正整数,如果关于x的方程的根都是整数,求a的值及方程的整数根.(全国初中数学联赛试题)解题思路:本题有两种解法,由方程系数特点发现1为隐含的根,从而将试题进行降次处理,或变更主元,将原方程整理为关于a的较低次数的方程.能力训练A级1、已知方程可以配成的形式,那么可以配成______________的形式.(杭州市中考试题)2、若分式的值为0,则的值等于____.(天津市中考试题)3、设方程和的较小的根分别为α,β,则=___.4、方程的解应是____(上海市竞赛试题)5、方程的整数解的个数是____.A、2个  B、3个   C、4个   D、5个\n(山东省选拔赛试题)6、若关于x的一元二次方程的常数项为0,则m的值等于(  )A、1   B、2    C、1或2   D、0(德州市中考试题)7、已知a,b都是负实数,且,那么的值是(  )A、  B、  C、  D、(江苏省竞赛试题)8、方程的解是(  )A、   B、  C、或  D、9、已知a是方程的一个根,求的值.10、已知且,求m的值.(荆州市竞赛试题)11、是否存在某个实数m,使得方程和有且只有一个公共根?如果存在,求出这个实数m及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由.\n12、已知关于x的方程的解都是整数,求整数k的值.B级1、已知α、β是方程的两根,则的值为___2、若关于x的方程与只有一个公共根,则=___3、设a,b是整数,方程有一个根为,则=_________(全国通讯赛试题)4、用表示不大于x的最大整数,则方程解的个数为( )A、1个  B、2个  C、3个  D、4个5、已知,那么代数式(  )A、  B、   C、   D、6、方程的实根的个数为(  )A、1个  B、2个  C、3个  D、4个7、已知,则代数式的值为(  )A、1996   B、1997   C、1998  D、19998、已知三个关于x的一元二次方程恰有一个公共实根,则的值为(  )A、0   B、1   C、2   D、3(全国初中数学联赛试题)\n9、已知,求的值.(“祖冲之杯”邀请赛试题)10、设方程,求满足该方程的所有根之和.(重庆市竞赛试题)11、首项系数不相等的两个二次方程  ①及  ②(其中a,b为正整数)有一个公共根,求的值.(全国初中数学联赛试题)\n12、小明用下面的方法求出方程的解,请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解,并把你的解答过程填写在下面的表格中.方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解令则∴\n专题02从求根公式谈起例1-3或2例2C提示:当-1≥0时,即x≤-1或x≥1时,原方程化为-(4-)x+7--9=0,解得=4-,=,均符合;当-1<0时,即-1<x<1时,原方程可化为+(4-)x+7-=0,解得=-2,满足题意.例31991例4①当m=1时,解得x=2.②当m≠1时,-4ac=12m-11.当m>时,=;当m=时,x=5;当m<时,原方程无实根.例5为叙述方便,该题设中的四个方程依次为①、②、③、④,设方程①和方程②的公共根为α,则两式相减,得.同理可得,方程③和方程④的公共根为.∴=1.注意到方程①的两根之积为1,则β也是方程①的根,从而=0.又∵=0,两式相减,得(a-1)β=a-1.若a=1,则方程①无实根,这与方程①有根有矛盾,∴a≠1.∴β=1,α=1.于是a=-2,b+c=-1.又∵a-b+c=3,∴b=-3,c=2.例6解法一:∵1+(a+17)+(38-a)-56=0,∴x=1为原方程的一个根,从而原方程可化为(x-1)=0.①∵x为正整数,∴方程+(a+18)x+56=0的判别式Δ=-224必为完全平方数.设-224=(m为非负整数),则-224=224,即(a+m+18)(a-m+18)=224=112×2=56×4=28×8.又∵a+m+18与a-m+18具有相同的奇偶性,且a+m+18>a-m+18,a+m+18>18,∴或或解得或或又a为正整数,∴或.当a=39时,方程①的根为-1和-56;当a=12时,方程①的根为-2和-28.综上所述,当a=39时,原方程的三个根为1,-1和-56;当a=12时,原方程的三个根为1,-2和-28.解法二:原方程可化为(-x)a=56-38x-17-②,显然x≠0.当x=1时,②式恒成立.当\nx≠1时,方程②可化为a==-x-18-.∵a为正整数,∴-x-18->0,∴x+18+<0.显然x<0,∴+18x+56>0,解得x<--9或-9<x<0.又x为整数,且x|56,∴x可取-56,-28,-2,-1.由韦达定理知(-56)×(-1)=(-28)×(-2),若-56和-1为方程②的两个根,则-(a+18)=-56-1,即a=39;若-28和-2为方程②的两个根,则-(a+18)=-28-2,即a=12.综上所述,当a=39时,原方程的三个根为1,-1和-56;当a=12时,原方程的三个根为1,-2和-28.A级1.=q+72.23.4.==-1,=-3±5.C6.B7.C8.D9.199810.m=提示:由已知得a+=-4.11.假设存在符合条件的实数m,且设这两个方程的公共实根为a,则①-②得(m-2)(a-1)=0,∴m=2或a=1.当m=2时,已知两个方程为同一个方程,且没有实数根,故m=2舍去;当a=1时,代入①得m=-3,可求得公共根为x=1.12.当k=4或k=8,分别求得x=1或x=-2.当k≠4且k≠8时,原方程可化为=0,∴=,=.∵k为整数,且,均为整数,∴4-k=±1,±2,±4,±8且8-k=±1,±2,±4,∴k=6,12.故k=4,6,8,12时,原方程的根为整数.B级1.42.-13.-3提示:代入根得(7+2a+b)+(-4-a)=0.4.C提示:由题给方程-3=2.又∵≤x,则-3≤2x,∴-2x-3≤0,则-1≤x≤3,∴只可能取值为-1,0,1,2,3.分别代入原方程解得x=-1,,3,故原方程共有三个解.5.D6.C7.D8.D\n9.5提示:由x=4-,得-8x+13=0.10.当2x-1>0即x>时,原方程化为-2x-3=0,解得=3,=-1(舍去);当2x-1=0即x=时,-4=-4≠0,舍去;当2x-1<0即x<时,原方程化为+2x-5=0,解得=-1-,=-1+>(舍去),故所有根之和为3+(-1-)=2-.11.由条件知a>1,b>1,a≠b,解得①的两个根为a,,②的两个根为b,.∵a≠b,∴a=③或b=④,由③④均得ab-a-b-2=0,即(a-1)(b-1)=3.因为a,b均为正整数,则有或解得或代入所求值得表达式化简得==256.12.x+-3=0令=t,则+2t-3=0=1,=-3=1>0,=-3<0(舍)=1,∴x=1x+-4=0令=t,则+t-2=0=1,=-2=1>0,=-2<0(舍)=1∴x-2=1,x=3

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2022-06-17 15:18:04 页数:10
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文章作者:180****8757

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