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人教版八(下)数学培优专题13 三角形的基本知识(含答案解析)
人教版八(下)数学培优专题13 三角形的基本知识(含答案解析)
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专题13三角形的基本知识阅读与思考三角形是最基本的几何图形,是研究复杂几何图形的基础,许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等,它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的基本知识相关的问题时,常用到数形结合及分类讨论法,即用代数方法解几何计算题及简单的证明题,对三角形按边或按角进行恰当分类.应熟悉以下基本图形:例题与求解【例1】在△ABC中,∠A=50°,高BE,CF交于O,则∠BOC=________.(“东方航空杯”——上海市竞赛试题)解题思路:因三角形的高不一定在三角形内部,故应注意符合题设条件的图形多样性.【例2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分,则这个等腰三角形底边的长为()A.17cmB.5cmC.5cm或17cmD.无法确定(北京市竞赛试题)解题思路:中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等,应分情况讨论.\n【例3】如图,BE是∠ABD的平分线,CF是∠ACD的平分线,BE与CF交于G,若∠BDC=140°,∠BGC=110°,求∠A的大小.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:运用凹四边形的性质计算.【例4】在△ABC中,三个内角的度数均为正数,且∠A<∠B<∠C,4∠C=7∠A,求∠B的度数.(北京市竞赛试题)解题思路:把∠A,∠C用∠B的代数式表示,建立关于∠B的不等式组,这是解本题的突破口.【例5】(1)周长为30,各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?(2)现有长为150cm的铁丝,要截成小段,每段的长不小于1cm的整数,如果其中任意3小段都不能拼成三角形,试求的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的段.(江苏省竞赛试题)解题思路:对于(1),不妨设三角形三边为,,,且,由条件及三角形三边关系定理可确定的取值范围,从而可以确定整数的值.对于(2),因段之和为定值150cm,故欲使尽可能的大,必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】在三角形纸片内有2008个点,连同三角形纸片的3个顶点,共有2011个点,在这些点中,没有三点在一条直线上.问:以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形?(天津市竞赛试题)解题思路:本题的解题关键是找到规律:三角形内角每增加1个内点,就增加了2个三角形和3条边.\n能力训练A级1.设,,是△ABC的三边,化简=____________.2.三角形的三边分别为3,,8,则的取值范围是__________.3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4,这个三角形是_______(按角分类)三角形.4.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____________.(“缙云杯“试题)(第4题)(第5题)(第6题)5.如图,已知AB∥CD,GM,HM分别是∠AGH,∠CHG的角平分线,那么∠GMH=_________.(第7题)(第9题)6.如图,△ABC中,两外角平分线交于点E,则∠BEC等于()A.B.C.D.7.如图,在△ABC中,BD,BE分别是高和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE交BD于G,交BC于H.下列结论:①∠DBE=∠F;②2∠BEF=∠BAF+∠C;③∠F=(∠BAC-∠C);④∠BGH=∠ABE+∠C.其中正确的是()A.①②③B.①③④C.①②③D.①②③④8.已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数,那么这样的不同的三角形共有()A.6个B.7个C.8个D.9个9.如图,将纸片△ABC沿着DE折叠压平,则()A.∠A=∠1+∠2B.∠A=(∠1+∠2)\nC.∠A=(∠1+∠2)D.∠A=(∠1+∠2)(北京市竞赛试题)10.一个三角形的周长是偶数,其中的两条边分别是4和1997,则满足上述条件的三角形的个数是()A.1个B.3个C.5个D.7个(北京市竞赛试题)11.如图,已知∠3=∠1+∠2,求证:∠A+∠B+∠C+∠D=180°.(河南省竞赛试题)12.平面内,四条线段AB,BC,CD,DA首尾顺次连接,∠ABC=24°,∠ADC=42°.(1)∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M(如图1),求∠AMC的大小.(2)点E在BA的延长线上,∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N(如图2),求∠ANC.图1图2\n13.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中,E位于线段CA上,D位于线段BE上.(1)证明:AB+AE>DB+DE;(2)证明:AB+AC>DB+DC;(3)AB+BC+CA与2(DA+DB+DC)哪一个更大?证明你的结论;(4)AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大?证明你的结论.(加拿大埃蒙德顿市竞赛试题)B级1.已知三角形的三条边长均为整数,其中有一条边长是4,但不是最短边,这样的三角形的个数有_______个.(“祖冲之杯”邀请赛试题)2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.3.△ABC中,∠A是最小角,∠B是最大角,且有2∠B=5∠A,若∠B的最大值是,最小值是,则___________.(上海市竞赛试题)4.如图,若∠CGE=,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______.(山东省竞赛试题)(第4题)(第5题)\n5.如图,在△ABC中,∠A=96°,延长BC到D,∠ABC与∠ACD的平分线相交于点,与的平分线相交于点,依此类推,与的平分线相交于点,则的大小是()A.3°B.5°C.8°D.19.2°6.四边形ABCD两组对边AD,BC与AB,DC延长线分别交于点E,F,∠AEB,∠AFD的平分线交于点P.∠A=64°,∠BCD=136°,则下列结论中正确的是()①∠EPF=100°;②∠ADC+∠ABC=160°;③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°;④∠PEB+∠PFC=136°.A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④7.三角形的三角内角分别为,,,且,,则的取值范围是()A.B.C.D.(重庆市竞赛试题)8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数,且其中一边的长为3,这样的三角形有()A.4个B.5个C.6个D.7个(山东省竞赛试题)9.不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.(第三十二届美国邀请赛试题)10.设,,均为自然数,满足且,试问以,,为三边长的三角形有多少个?\n11.锐角三角形用度数来表示时,所有角的度数为正整数,最小角的度数是最大角的度数的,求满足此条件的所有锐角三角形的度数.(汉城国际数学邀请赛试题)12.如图1,A为轴负半轴上一点,B为轴正半轴上一点,C(0,-2),D(-2,-2).(1)求△BCD的面积;(2)如图2,若∠BCO=∠BAC,作AQ平分∠BAC交轴于P,交BC于Q.求证:∠CPQ=∠CQP;(3)如图3,若∠ADC=∠DAC,点B在轴正半轴上运动,∠ACB的平分线交直线AD于E,DF∥AC交轴于F,FM平分∠DFC交DE于M,的值是否发生变化?证明你的结论.图1图2\n图313.如图1,,.且,满足.图1图2(1)求A,B的坐标;(2)C为轴正半轴上一动点,D为△BCO中∠BCO的外角平分线与∠COB的平分线的交点,问是否存在点C,使∠D=∠COB.若存在,求C点坐标;(3)如图2,C为轴正半轴上A的上方一动点,P为线段AB上一动点,连CP延长交轴于E,∠CAB和∠CEB平分线交于F,点C在运动过程中的值是否发生变化?若不变求其值;若变化,求其范围.\n专题13三角形的基本知识例1130°或50°例2B例380°提示:∠A=2∠BGC-∠BDC例4设∠C=x°,则∠A=(x)°,∠B=180°-∠C-∠A=180°-x°由∠A<∠B<∠C,得x<180-x<x.解得70<x<84.∵x是整数,∴x=77.故∠C=77°,则∠A=44°,∠B=180°-77°-44°=59°.例5(1)不妨设a<b<c,则由,得10<c<15.∵c是整数,∴c=11,12,13,14.当c=11时,b=10,a=9.当c=12时,b=11,a=7;b=10,a=8.当c=13时,b=12,a=5;b=11,a=6;b=10,a=7;b=19,a=8.当c=14时,b=13,a=3;b=12,a=4;b=11,a=5;b=10,a=6;b=9,a=7.(2)这些小段的长度只可能分别是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89…但1+1+2+5+8+13+21+34+55=143<150,1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89>150,故n的最大值为10.共有以下7种方式:(1,1,2,3,5,8,13,21,34,62);(1,1,2,3,5,8,13,21,35,61);(1,1,2,3,5,8,13,21,36,60);(1,1,2,3,5,8,13,21,37,59);(1,1,2,3,5,8,13,22,35,60);(1,1,2,3,5,8,13,22,36,59);(1,1,2,3,5,8,14,22,36,58).例6解法1我们不妨先考察三角形内有1个点、2个点、3个点…的简单情况,有下表所示的关系:三角形内点数1234…连线得到的小三角形个数3579…不难发现,三角形内有一个点时,连线可得到3个小三角形,以后每增加一个点,这个点必落在某一个小三角形内,它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形,从而增加了两个小三角形,于是可以推出,当三角形内有2008个点是,连线可得到小三角形的个数为:3+2×(2008-1)=4017(个).解法2整体核算法设连线后把原三角形分割成n个小三角形,则它们的内角和为180°·n\n,又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时,能为小三角形提供360°的内角,2008个点共提供内角2008×360°,于是得方程180n=360×2008+180,解得n=4017,即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形.A级1.2(b+c)2.-5<a<-23.钝角4.180°5.90°6.C7.D8.B9.B10.B11.提示:过G作GH∥EB,可推得BE∥CF.12.(1)∠AMC=(∠ABC+∠ADC)=×(24°+42°)=33°(2)∵AN、CN分别平分∠DAE,∠BCD,∴可设∠EAN=∠DAB=x,∠BCN=∠DCN=y,∴∠BAN=180°-x,设BC与AN交于S,∴∠BSA=∠CSN,∴180°-x+∠B=y+∠ANC,①同理:180°-2x+∠B=2y+∠D,②由①×2-②得:2∠ANC=180°+∠B+∠D.∴∠ANC=(180°+24°+42°)=123°.13.(1)(2)略提示:(3)DA+DB>AB,DB+DC>DC,DC+DA>CA,将三个不等式相加,得2(DA+DB+DC)>AB+CB+CA.(4)由(2)知AB+AC>DB+DC,同理BC+BA>DC+DA,CA+CB>DA+DB,故AB+BC+CA>DA+DB+DCB级1.82.193.175提示:设∠A=(2x)°,∠B=(5x)°,则∠C=180°-(7x)°,由∠A≤∠C≤∠B得15≤x≤204.2a5.A6.D7.D8.B9.提示:设长度为4和12的高分别是边a,b上的,边c上的高为h,△ABC的面积为S,则,,,由得,故.10.711.设锐角三角形最小角的度数为x,最大角的度数为4x,另一角为y,则,解得20≤x≤22.5,故x=20或21或22.所有锐角三角形的度数为:(20°,80°,80°),(21°,75°,84°),(22°,70°,88°).12.(1)S△BCD=2(2)略(3)设∠ABC=x,则∠BCF=90°+x,可证:∠E=x,∠DMF=45°.∴\n
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