首页

人教版八(下)数学培优专题17 等腰三角形的判定(含答案解析)

资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。

1/9

2/9

剩余7页未读,查看更多内容需下载

专题17等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后,我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结.1.等腰三角形的判定:⑴从定义入手,证明一个三角形的两条边相等;⑵从角入手,证明一个三角形的两个角相等.2.证明线段相等的方法:⑴当所证的两条线段位于两个三角形,通过全等三角形证明;⑵当所证的两条线段位于同一个三角形,通过等角对等边证明;⑶寻找某条线段,证明所证的两条线段都与它相等.善于发现、构造等腰三角形,进而利用等腰三角形的性质为解题服务,是解几何题的一个常用技巧.常见的构造方法有:平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线.如图所示:例题与求解【例1】如图,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,MF∥AD,则CF的长为____________.(全国初中数学竞赛试题)解题思路:角平分线+平行线易构造等腰三角形,解题的关键是利用条件“中点M”.ABDMFC【例2】如图,在△ABC中,∠B=2∠C,则AC与2AB之间的关系是()A.AC>2ABB.AC=2ABC.AC≤2ABD.AC<2AB(山东省竞赛试题)解题思路:如何条件∠B=2∠C,如何得到2AB,这是解本题的关键.ABC\n【例3】两个全等的含300,600角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连结BD,取BD中点M,连结ME,MC,试判断△EMC的形状,并说明理由.(山东省中考试题)解题思路:从△ADE≌△BAC出发,先确定△ADB的形状,为判断△EMC的形状奠定基础.ABCMDE【例4】如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF.(天津市竞赛试题)解题思路:只需证明∠FAE=∠AEF,利用中线倍长,构造全等三角形、等腰三角形.EABDCF【例5】如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=200,在边AB上取点D,使AD=BC,求∠BDC度数.(“祖冲之杯”竞赛试题)解题思路:由条件知底角为300,这些角并不是特殊角,但它们的差却为600,600使我们联想到等边三角形,由此找到切入口.如图1,以BC为边在△ABC内作等边△BCO;如图②,以AC为边作等边△ACE.BCADBCAD图1OBCAD图2E\n能力训练A级1.已知△ABC为等腰三角形,由顶点A所引BC边的高线恰等于BC边长的一半,则∠BAC=__________.2.如图,在Rt△ABC中,∠C=900,∠ABC=660,△ABC以点C为中点旋转到△A′B′C的位置,顶点B在斜边A′B′上,A′C与AB相交于D,则∠BDC=_________.ACDBB′A′(第2题)ABCDEF(第3题)(第4题)99153.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,DE⊥BC于E,EF⊥AC于F,FD⊥AB于D,则AD=_______.(天津市竞赛试题)4.如图,一个六边形的六个内角都是1200,其连续四边的长依次是1,9,9,5,那么这个六边形的周长是____________.(“祖冲之杯”邀请赛试题)5.如图,△ABC中,AB=AC,∠B=360,D、E是BC上两点,使∠ADE=∠AED=2∠BAD,则图中等腰三角形共有()A.3个B.4个C.5个D.6个6.若△ABC的三边长是,,,且满足,,,则△ABC()A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形(“希望杯”邀请赛试题)7.等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角等于()A.300B.300或1500C.1200或1500D.300或1200或1500(“希望杯”邀请赛试题)8.如图,已知Rt△ABC中,∠C=900,∠A=300,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB是等腰三角形,则符合条件的P点有()A.2个B.4个C.6个D.8个(江苏省竞赛试题)BCABACDEBCADFGE第5题图第8题图第9题图\n9.如图在等腰Rt△ABC中,∠ACB=900,D为BC中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF交AD于G.⑴求证:AD⊥CF;⑵连结AF,度判断△ACF的形状,并说明理由.10.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C,求证:AB+BD=CD.(天津市竞赛试题)BACD11.如图,已知△ABC是等边三角形,E是AC延长线上一点,选择一点D,使得△CDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,求证:△CMN是等边三角形.(江苏省竞赛试题)ACENMBD12.如图1,Rt△ABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.ABDFEC图1ABDFEC图2A′E′D′⑴求证:CE=CF;⑵将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E的位置,使点E′落在BC边上,其他条件不变,如图2所示,试猜想:BE′与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.(山西省中考试题)\nB级1.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,则∠B:∠C的值=__________.ABCD(第1题)(第2题)ABDEC2.如图,△ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E,若∠BAC+∠DAE=1500,则∠BAC的度数是____________.3.在等边△ABC所在平面内求一点P,使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形,具有这样性质的点P有_________个.4.如图,在△ABC中,∠ABC=600,∠ACB=450,AD、CF都是高,相交于P,角平分线BE分别交AD、CF于Q、S,则图中的等腰三角形的个数是()A.2B.3C.4D.5ABDCEFPQS(第4题)ABCED第5题AA1NMA2A3(第6题)5.如图,在五边形ABCDE中,∠A=∠B=1200,EA=AB=BC=DC=DE,则∠D=()A.300B.450C.600D.67.50(“希望杯”竞赛试题)6.如图,∠MAN=160,A1点在AM上,在AN上取一点A2,使A2A1=AA1,再在AM上取一点A3,使A3A2=A2A1,如此一直作下去,到不能再作为止,那么作出的最后一点是()A.A5B.A6C.A7D.A87.若P为△ABC所在平面内一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=1200,则点P叫作△ABC的费尔马点,如图1.ABCPACBB′图1图2⑴若点P为锐角△ABC的费尔马点,且∠ABC=600,PA=3,PC=4,则PB的值为_____.⑵如图2,在锐角△ABC外侧作等边△ACB′,连结BB′.求证:BB′过△ABC的费尔马点P,且BB′=PA+PB+PC.(湖州市中考试题)\n8.如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ACB=400,P、Q分别在BC、AC上,并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线,求证:BQ+AQ=AB+BP.(全国初中数学联赛试题)ABPQC9.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,M是BC的中点,过M作ME∥AD交BA延长线于E,交AC于F,求证:BE=CF=(AB+AC).(重庆市竞赛试题)ABDMCFE10.在等边△ABC的边BC上任取一点D,作∠DAE=600,DE交∠C的外角平分线于E,那么△ADE是什么三角形?证明你的结论.(《学习报》公开赛试题)\n11.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线:与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B,过点C(-4,-4)作平行于轴的直线交AB于点D,CD=10.⑴求直线的解析式;⑵求证:△ABC是等腰直角三角形;⑶将直线沿轴负方向平移,当平移恰当的距离时,直线与,轴分别相交于点A′、B′,在直线CD上存在点P,使得△A′B′P是等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点P的坐标.(宁波市江东区模拟题)BACODyx12.如图1,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4).⑴求B点坐标;⑵如图2,若C为轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=900,连接OD,求∠AOD度数;⑶如图3,过点A作轴于E,F为轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过A作轴垂线交EH于点M,连接FM,等式=1是否成立?若成立,请证明;若不成立,说明理由.BAOxyBAOxyCDBAOxyEFGHM图1图2图3\n专题17等腰三角形的判定例1延长MF,BA交于E,延长FM至点P,使MP=MF,连BP,则△BMP≌△CMF,∴BP=CF.∵AD平分∠BAC,AD∥FM,∠BAD=∠DAC=∠MFC=∠AFE=∠E=∠P,∴AE=AF,BE=BP,即AB+AE=AB+AF=AB+AC-CF=CF,∴CF=(AB+AC)=(7+11)=9.例2D例3提示:△EMC为等腰直角三角形,连AM,易证:△ADE≌△BAC.∴AD=AB,又∠DAB=90°.又∵M为BD中点,∴AM⊥DB且DM=BM=AM.又∵∠MDE=∠MAC=105°,∴△EDM≌△CAM.∴EM=MC,∠DME=∠AMC,∴∠DME+∠EMA=∠AMC+∠EMA=90°.∴△EMC为等腰直角三角形.例4延长AD至G,使DG=AD,连接BG.由△ADC≌△GDB,得AC=BG,AC∥BG.∵BE=AC,∴BE=BG,得∠BED=∠BGD,∴∠FAE=∠BGD=∠BED=∠AEF,故AF=EF.ABCGDEF例5提示:结合图1,给出解答过程.由图形的轴对称性知:△ABO≌△ACO,∴∠BAO=∠CAO=10°,∴∠ABO=∠ACO=20°,∴∠AOB=∠AOC=150°.又∵BO=BC=CO=AD,∴△ACD≌△CAO,∴∠AOC=∠CDA=150°,故∠BDC=30°.A级1.90°或75°或15°2.72°3.24.375.D6.D提示:将三式相加7.D8.C9.⑴先证△ACD≌△CBF,∴∠CAD=∠BCF.又∵∠CAD+∠CDG=∠BCF+∠CDG=90°,∴∠CGD=90°,∴AD⊥CF.⑵△ACF为等腰三角形.10.提示:延长DB至E,使BE=AB,连结AE,证明∠E=∠C,AC=AE.11.提示:证明△DCA≌△ECB、△DCM≌△ECN,∠NCM=60°.12.⑴提示:先证明∠CEF=∠CFE.⑵作EG⊥AC于G,证明△CEG≌△BE´D´,可得CE=BE´,又CF=CE,BE´=CF.B级1.2:12.110°3.104.D5.C提示:在五边形内作等边三角形ABF,则E、F、C在一条直线上.6.B\n7.提示:⑴⑵在BB´上取点P,使∠BPC=120°,再在PB´上取点E使PE=PC,连结CE.则由△PCE为等边三角形,可得:PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB´=120°∵△ACB´为正三角形,∴可证:△ACP≌△B´CE.∴∠APC=∠B´EC=120°,PA=EB´.∴∠APC=∠BPC=∠CPA=120°,∴P为△ABC的费马点.∴BB´过△ABC的P,且BB´=EB´+PB+PE=PA+PB+PC.8.提示:延长AB至M,使BM=BP,连结PM,则AB+BP=AM,可证明BQ=QC.∴AQ+QB=AQ+QC=AC,又由△AMP≌△ACP得AM=AC,故AB+BP=AQ+BQ.9.提示:延长FM至P,使PM=FM,连结BP,则△BMP≌△CMF,AE=AF,BE=BP.10.提示:当D为BC的端点,显见△AED是等边三角形;当D为BC边的中点,取AC的中点F,连接DF,易证△CDF为等边三角形,又△ADF≌△EDC,故△ADE为等边三角形.猜测:当D为BC上任意点时,△ADE也为等边三角形.11.(1);(2)过点C作CH⊥y轴于H,证明△AOB≌△BHC即可;(3)符合条件的P点共有5个,分别为.图a图b12.提示:(1)B(8,0);(2)如图a,过A作AS⊥OB于S,过D作DT⊥x轴于T.∵△OAB为等腰直角三角形,∴OS=AS=BS,再由△ASC≌△CTD,可得:AS=CT,SC=TD.∴CT=AS=OS,∴OT=CS=TD.∴∠TOD=45°,则∠AOD=90°;(3)等式成立,理由如下:如图b,在AM上截取AS=OF,连ES,可证△EAS≌△EOF,可得:ES=EF,∠AES=∠OEF∴∠SEF=∠AEO=90°,∴∠FEM=∠SEM=45°.又∵EM=EM,∴△EFM≌△ESM,∴FM=SM,∴AM=AS+SM=OF+FM,∴.

版权提示

  • 温馨提示:
  • 1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
  • 2. 本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
  • 3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
  • 4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)

文档下载

所属: 初中 - 数学
发布时间:2022-06-17 15:00:03 页数:9
价格:¥3 大小:285.66 KB
文章作者:180****8757

推荐特供

MORE