数学（心得）之浅论直觉的解题功能

数学论文之浅论直觉的解题功能 <br />直觉就是直接的觉察，它是人们对客观事物一种迅速而直接的洞察或领悟.伟大的数学家、物理学家彭加勒曾讲过：&ldquo;搞算术，就如搞几何，或搞任何别的科学，需要某种与纯逻辑不同的东西.为了表达这种东西，我们没有更好的字眼，只能用‘直觉’一词.&rdquo;意大利哲学家、美学家克罗齐指出人的知识有两种，一种是直觉的，一种是逻辑的；前者是&ldquo;从想象得来的&rdquo;，后者是&ldquo;从理智得来的&rdquo;.克罗齐认为在日常工作中常用到直觉知识，有些真理不能用三段论法推理，必须用直觉去体会.本文就直觉的解题功能作一探讨，以供参考.1   整体直觉的解题功能    直觉不同于逻辑.直觉是综合的而不是分析的，它侧重于整体上把握对象而不拘泥于细节的逻辑分析，它重视元素之间的联系、系统的整体结构，从整体上把握研究的内容和方向.例1  解方程 .分析  直觉1：从整体上直觉3，4，5是一组勾股数，x=2 是原方程的一个解.直觉2：此题常规方法难以求解，x=2 应是其唯一解.直觉3：题设为一指数方程，证明唯一解，指数函数的单调性可切中要害.解  易知 x=2 是原方程的一个解.又原方程可变形为 .令 ，它们在R上都是单调减函数. 当x&gt;2时，有 ，即原方程无大于2的实数解.同理，原方程无小于2的实数解. 原方程的解为x=2.2   归纳直觉的解题功能       归纳直觉是一种非逻辑思维，它需要有&ldquo;理智的勇气&rdquo;、&ldquo;精明的诚实&rdquo;、&ldquo;明智的克制&rdquo;.在数学解题中，运用归纳直觉，虽然是冒风险的，但仍然值得重视.       例2  设 是一组正数，证明： .       分析  本题直接用数学归纳法来证有些困难.我们用直觉归纳探路，先取n分别为相邻的两个正整数（1除外）.       令n=2，则由原题知：    ①       令n=3，则由原题知： ，即    ②       由①，②式的结构可以猜想：存在一个正数m，使得 ③且   ④    这个正数m是什么？考察③，④式的结构可以猜想：      .即 .进而猜想： .    更一般地： .    当然，这也是猜想.它的正确性可以用数学归纳法加以证明.（证略）3   审美直觉的解题功能    美的意识能唤起和支配数学直觉，纵观古今，数学上的许多发现和创举无论从宏观还是微观上看无不遵循美的创造规律.难怪数学大师阿达玛认为，数学直觉的本质是某种&ldquo;美感&rdquo;或&ldquo;美的意识&rdquo;. 例3  如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A,B孔的面积忽略不计）.分析  由于质量分数与ab成反比，欲使质量分数最小，只需使乘积ab最大.另外，从题目的结论看，也应紧紧抓住ab.这就启发我们第一步要列出a,b所满足的关系式.由原图易得 .即 .  ①对于学生来说，当这个式子中确定使ab取最大值的a,b是一个陌生新情景，也许没有现成的模式可供借鉴.但对图形的直觉能帮助我们渡过难关.观察原图，一个无盖的长方体给我们留下点&ldquo;不完整&rdquo;的感觉，于是，审美直觉驱使我们将两个这样的长方体合起来，组成一个表面积为定值120平方米、宽也为定值2米的长方体（如图）.这时直觉又进一步启示我们，侧面ABCD是正方形时，其面积为最大. 这个直觉也许不对，但至少提供了一个思路，我们按a=2b的方向去思考，用基本不等式 （当且仅当a=2b时取等号）.其取等号的条件恰与直觉一致.代入①，有 .解不等式并注意到ab&gt;0，有 .故当a=2b时，ab取最大值18，联立 可解得a=6,b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.4   几何直觉的解题功能    华罗庚说过：&ldquo;数缺形时少直觉，形缺数时难入微.&rdquo;通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉，对解题大有帮助.    例4  设复数 .求函数 的最大值以及对应的θ值.     分析  这个问题具有一个明显的几何意义...