数学（心得）之就“鸡兔同笼”问题谈如何建立数学模型

数学论文之就&ldquo;鸡兔同笼&rdquo;问题谈如何建立数学模型 <br />　　鸡兔同笼问题是以前五年级的教学任务，现在新课标，在一年级就见到了这种题型。 <br />　　以前教学这种题型用的是假设法。例如：鸡兔同关一笼，头有10个，脚有28只，问鸡兔各有几只？解题模式是：假设全部是鸡，10个头乘2只脚等于20只脚，比28只脚少。为什么会少呢？因为鸡只有2只脚，兔子有4只脚，现在一只少算了（4-2）只脚，所以会少（28-20）只脚。少算的总脚数除以一只少算的就求出了兔的只数，即：（28-10×2）÷（4-2）=4（只）兔；或者假设全部是兔，10个头乘4只脚等于40只脚，40比28多，为什么会多呢？因为兔有4只脚，鸡只有2只脚，每只多算了（4-2）只脚，每只鸡都变成了兔，当然脚就有多了。用多的脚的总只数除以每只多的脚只数就等于鸡的只数，即：（10×4-28）÷（4-2）=6（只）鸡。数学模型为（1）（头数×脚多的固定数-总脚数）÷（脚多的固定数-脚少的固定数）=脚少的只数，（2）（总脚数-头数×脚少的固定数）÷（脚多的固定数-脚少的固定数）=脚多的只数。这个模型也可以运用到相关的应用题上，例如：5角的硬币和1元硬币共20枚，价值12.5元，问5角和1元硬币各多少枚？解法是：（20×1-12.5）（1-0.5）=15（枚）5角硬币；（12.5-20×0.5）÷（1-0.5）=5（枚）1元硬币。根据以前的教学经验，全班只有10%的人能听懂、会做，过了十几天以后，会解这种题型的人只有1%左右了。这是为什么呢？我想大概是因为这种模型不太适合小学生的具体形象思维的思维模式吧！正因为如此才把它列入难题序列吧！ <br />　　现在在一年级就见到了这种题型，那么该怎么办呢？总不可能置之不理。那么有没有更简单的模型来帮助学生解决问题，答案是有的，只不过更麻烦一些而已。听了特级教师徐斌的发言，给了我一个提示：能否用&ldquo;画画&rdquo;的方法来解决呢？思考了一晚上，决定试一试，方案确定如下：用&ldquo;O&rdquo;代表头，用&ldquo;I&rdquo;代表一只脚，脚和头结合。第二天开始上课，开场白过后，让一年级小朋友明白鸡兔都只有1个头，鸡有2只脚，兔有4只脚。我说：今天我们来画画，画什么呢？画鸡和兔的头和脚。用&ldquo;0&rdquo;代表头，用&ldquo;II&rdquo;代表2只脚，用&ldquo;IIII&rdquo;代表4只脚。问：一共有5个头，16只脚，怎么画鸡和兔，鸡兔各有几只呢？学生开始自己画，巡查了一下，发现学生们真够聪明的。方法总结如下：1、先画5个&ldquo;0&rdquo;表示5个头，一个头下按顺序先安&ldquo;IIII&rdquo;，表示兔，安了四只后就没有脚了，怎么办？把第四个擦掉两只脚，安在第五只上，把四、五两个变成鸡。答案：鸡2只，兔3只。2、先画5个&ldquo;0&rdquo;表示5个头，一个头下按顺序装一个&ldquo;II&rdquo;， 代表鸡，最后安完后还剩下六个&ldquo;I&rdquo;，怎么办？随便在那三个头下再加&ldquo;II&rdquo;变成兔，就行了。（学生是在一个头下再装一个&ldquo;II&rdquo;变成兔子的，再在另一个头下装一个&ldquo;II&rdquo;变成兔子，同样操作安完所有的脚）。答案：鸡2只，兔3只。3、先画16条&ldquo;I&rdquo;代表脚，有一定的间隔，每&ldquo;IIII&rdquo;上画一个头&ldquo;0&rdquo;表示兔子，发现画完4个&ldquo;0&rdquo;就没有脚了，怎么办？最后两个&ldquo;II&rdquo;上安一个&ldquo;0&rdquo;就行了。答案：鸡2只，兔3只。4、先画16条&ldquo;I&rdquo;代表脚，有一定的间隔，每&ldquo;II&rdquo;上画一个头&ldquo;0&rdquo;表示鸡，可以画8个&ldquo;0&rdquo;，但是只能有五个&ldquo;0&rdquo;，怎么办？多了3个&ldquo;II&rdquo;，再给三个&ldquo;0&rdquo;下分别装一个&ldquo;II&rdquo;变成兔。答案：鸡2只，兔3只。 <br />　　完成后学生们很兴奋，汇报也很好，但是从部分学生眼神中可以看出部分学生不是很明白，因为这种方法还是要靠简单乘除法思维来进行，对部分学生的建模还是有困难。有没有更好的方法呢？仔细观察了一下，发现问题出现在&ldquo;0&rdquo;和&ldquo;I&rdquo;不够或有多时。能否把&ldquo;0&rdquo;&ldquo;I&rdquo;给固定下来呢？这样在摆时因为没有&ldquo;0&rdquo;和&ldquo;I&rdquo;必须适当考虑。于是在上另一班时，&ldquo;画画&rdquo;课变成了&ldquo;操作&rdquo;课。我给给每一组（一组四人）准备了五张&ldquo;0&rdquo;纸片和16条&ldquo;I&rdquo;小木棒。过程基本不变，只不过由&ldquo;画&rdquo;变成了&ldquo;摆&rdquo;。结果效果出人意料的好：全班45个学生全部明白，并会做同类型的题（只要数字不大就行）。 <br />　　因此我想古人在思考这种数学题并建立模型时是否也经历了这种数学过程呢？动手操作→&ldquo;画画&rdquo; →更精确的数学公式→用&ldquo;二元一次&rdquo;方程组解...