广东省揭阳市高三上学期数学期中考试试卷含答案解析

高三上学期数学期中考试试卷一、单选题1．集合，则=（）A．{1,2}B．{0,1,2}C．{x|0≤x<3}D．{x|0≤x≤3}是（）2．命题，，则A．，B．，C．，D．，3．已知，则sinacosa=（）A．B．C．D．4．如图所示，矩形中，若，，则等于（）A．B．C．D．5．集合，设，则的值域为（）A．B．C．D．6．设x，y满足约束条件，该约束条件所表示的区域面积为()A．18B．9C．16D．47．已知向量，，则()A．B．若，则C．若，则D．8．定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为()A．-1B．C．D．二、多选题下列各组函数表示同一函数的是（，，，）D．，10．中，若角是钝角，则（）A．B．C．D．下图是函数，，对称轴方程为的部分图像，下面说法正确的是（）D．函数在区间上单调递增12．在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，ft重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列中，其前项和可能为1028的数列是()(参考公式：)A．B．C．D．三、填空题13．．14．若函数的零点在区间，内，则．\n15．若正实数满足，则的最小值.若定义在上的函数为．四、解答题已知△的内角求角．若，已知：若，求若在满足，，则不等式的解集，，的对边分别为，，，若．求△的面积．（，为常数）．的最小正周期；，上最大值与最小值之和为3，求的值．，且，，成等比数列．19．已知等差数列，若（1）求数列的通项公式；推得点，，，记点，，，，的横坐标分别为，，，（2）若，设，数列的前项和，证明：．，，．20．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：．具体过程如下：如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，．它们的终边与单位圆的交点分别为A，B．则，，由向量数量积的坐标表示，有．设，的夹角为另一方面，由图（1）可知，，则，；由图（2）可知，于是，．所以，也有；所以，对于任意角，有：此公式给出了任意角，的正弦、余弦值与其差角公式，简记作．有了公式以后，我们只要知道就可以求得的值了．．的余弦值之间的关系，称为差角的余弦，，，的值，阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：（1）判断是否正确？（回答“正确”，“不正确”，不需要证明）（2）证明：．21．设函数，过点作，以为切点作函数图像的切线交轴于点，再过轴的垂线交函数图像于点作轴的垂线交函数图像于点，以此类（1）证明：，并求；（2）求数列的前项和．22．已知．（1）求函数的极值；（2）证明：对一切，都有成立．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因为，所以两集合的公共元素为0,1,2，={0,1,2}，\n故答案为：B.【分析】先化简集合集合，再由交集的定义可得结果.2．【答案】D【解析】【解答】命题，，故：，，故答案为：D.【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，结合已知条件求出结果即可。3．【答案】D【解析】【解答】由题意，平方得，所以.故答案为：D.【分析】利用同角三角函数的基本关系式，整理化简计算出结果即可。4．【答案】A【解析】【解答】解：已知，，由图可知，.故答案为：A.【分析】由已知条件结合向量的运算性质即可得出答案。5．【答案】D【解析】【解答】由题意得所以的值域为故答案为：D，则，.【分析】根据题意由对数函数的单调性，即可求出函数值的取值范围，由此即可得出函数的值域。6．【答案】B【解析】【解答】由题意，约束条件所表示的区域如下图阴影部分所示：由上图可知，可行域为上图中的，由，则的坐标为，同理可得，点坐标为，点坐标为，从而，点到的距离，所以的面积为从而约束条件所表示的区域面积为9.，故答案为：B.【分析】根据题意作出可行域再由已知条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出直线交点的坐标，然后由两点间的距离公式以及三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。7．【答案】D【解析】【解答】A：由相等向量的概念可知，，则方程组无解，A不符合题意；B：若，则，解得或，B不符合题意；，C不符合题意；C：若，则，解得D：因为，所以，当且仅当时，不等式取等号，从而，D符合题意.故答案为：D.【分析】根据椭圆由空间的相等向量、共线向量以及向量模的公式，结合基本不等式然后对选项逐一判断即可得出答案。8．【答案】A【解析】【解答】由一次函数性质可知，且对于，由对数型复合函数易知，且对于，在上单调递减，；在上也是单调递减的，，\n故在上单调递减，，得为偶函数，且，不等式又由，若要对任意的恒成立，即对，不等式恒成立，，即，即，不妨令，，由一次函数性质可知，，解得，故实数的最小值为-1.故答案为：A.【分析】根据题意由符合函数的单调性结合对数函数和一次函数的大小，即可得出函数f(x)的单调性，由此得出不等式即，构造函数，结合一次函数的性质即可求出t的取值范围，由此计算出t的取值。9．【答案】C,D【解析】【解答】对于A，，定义域为，，定义域为，不是同一函数；对于B，，定义域为，，定义域为，不是同一函数；对于C，，定义域为，，定义域为，是同一函数；对于D，，定义域为，，定义域为，是同一函数．故答案为：CD.【分析】根据判断两个函数是否是同一个函数的条件：定义域和对应法则相同，对选项逐一分析即可得出答案。10．【答案】A,C【解析】【解答】对于A选项，因为是钝角，则，则对；对于B选项，由余弦定理可得，可得，A，B不符合题意；对于C选项，因为是钝角，则，故有，因此，正弦函数在上为增函数，则，C对；对于D选项，因为是钝角，则、都为锐角，若，且正弦函数在上为增函数，则，D不符合题意.故答案为：AC.【分析】根据题意由数量积的公式结合已知条件即可判断出选项A正确；由余弦定理结合已知条件即可判断选项B错误；由正弦函数的单调性结合已知条件由同角三角函数的基本关系式即可判断出选项C正确；同理即可判断出想D错误，从而得出答案。11．【答案】B,C【解析】【解答】由图象可得，解得，所以，当时，，又图象过点，所以，解得，又，所以，A不符合题意；当时，，，所以为对称轴.当时，，\n所以在上单调递减，D不符合题意；当时，，又图象过点，所以，解得，又，所以，B符合题意；此时.当时，，，所以为对称轴，C符合题意.故答案为：BC13．【答案】【分析】根据题意结合周期的公式即可求出的值，再由特殊点法代入计算出，由此即可得出函数的解析式，再结合正弦函数的单调性和图象由，对选项逐一判断即可得出答案。12．【答案】B,C,D【解析】【解答】不妨设数列的前项和为，对于A：由等差数列的前项和公式可知，则方程无正整数解，A不符合题意；对于B：不妨令，，，数列和的前项和分别为和，故，，由参考公式和等差数列的前项和公式可知，，，所以，解得，B符合题意；对于C：①当时，，故此时；②当时，令即时，对于D：由等比数列的前，解得，，C符合题意；项和公式可知，，解得，D符合题意.故答案为：BCD.【分析】由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。根据题意由等差数列的前n项和公式结合已知条件即可判断出选项B正确；由等比数列的前n项和公式整理化简，结合已知条件对n分情况讨论，整理化简即可判断出选项C、D正确，由此得出答案。【解析】【解答】故答案为：..【分析】由诱导公式和两角和的正弦公式整理化简计算出结果即可。14．【答案】2【解析】【解答】解：因为，所以在上单调递增，又，，，所以函数在上有唯一零点，所以；故答案为：2【分析】首先对函数求导，由的函数的性质即可得出函数的单调性，再由零点存在性定理计算出k的取值即可。15．【答案】【解析】【解答】解：正实数满足，\n，，，当且仅当“”时，即“”时取等号.故的最小值为.故答案为：.【分析】根据题意由对数的运算性质整理化简计算出，然后由基本不等式即可求出代数式的最小值。16．【答案】【解析】【解答】构造，则，函数满足，则，故在上单调递增．又∵，则，则不等式⇔，即，根据在上单调递增，可知．故答案为：【分析】由已知条件构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式即，从而得出不等式的解集。17．【答案】（1）解：由正弦定理，，又，，即，由，得（2）解：由余弦定理知：∴，解得，，【解析】【分析】(1)首先由正弦定理整理化简原式，结合同角三角函数的基本关系式计算出，由角的取值范围计算出角A的取值。(2)利用余弦定理代入数值计算出b的值，再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。18．【答案】（1）解：，的最小正周期（2）解：，，当时，即，取得最小值为，当时，即，取得最大值为，最大值与最小值之和为3，，，故的值为0．【解析】【分析】(1)由二倍角的正余弦公式结合两角和的正弦公式，整理化简即可得出函数的解析式，再由正弦函数的周期公式计算出结果即可。(2)首先由x的取值范围即可得出，然后由正弦函数的性质即可求出最值，结合已知条件即可求出a的取值。19．【答案】（1）解：∵，∴∵，，成等比数列，∴，即化简得，若，；若，②，①\n由①②可得，，所以数列的通项公式是或.（2）证明：由，结合(1)中结论可知，，故，从而即【解析】【分析】(1)根据题意由等比数列的项的性质整理化简得出首项和公差的值，从而得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法计算出结果，由此即可得出。20．【答案】（1）解：正确；因为对于非零向量，是方向上的单位向量，又且与共线，所以（2）证明：因为从而在中，为的中点，则，，又M是AB的中点，∴，又，，所以，化简得，【解析】【分析】(1)根据题意由向量的运算性质结合单位向量的定义，以及共线向量的性质即可得证出结论。(2)根据题意由中点的坐标公式结合向量的坐标运算公式，整理化简即可得证出结论。21．【答案】（1）证明：以点为切点的切线方程为令得，即，，又因为，所以是以4为首项，为公比的等比数列，所以．（2）解：由题意可知，于是，①，②①-②得，所以【解析】【分析】(1)首先由点斜式求出直线的方程，由特殊点法代入数值计算出由此即可得出数列为等比数列，从而得出数列的通项公式。(2)由已知条件即可得出数列的通项公式，再由错位相消法整理化简计算出结果即可。22．【答案】（1）解：由，x>0，得f′(x)=lnx＋1，令f′(x)=0，得．当时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以的极小值为，无极大值（2）证明：问题等价于证明，x∈(0，＋∞)．由（1）可知，x∈(0，＋∞)，\n设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减．易知，当且仅当时取到．从而对一切x∈(0，＋∞)，成立，当且仅当时等号成立．即对一切，都有成立．【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性结合极值的定义即可得出答案。(2)由已知条件即可得出问题等价于证明，构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，从而得出不等式，从而得证出结论。