上海静安区高中教学质量检测高三数学

静安区2022-2022学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是．2．函数的最小正周期为．3．若复数为纯虚数，且满足(为虚数单位)，则实数的值为．4．二项式的展开式中，的系数为．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．6．已知为锐角，且，则________．7．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车.假设饮酒后，血液中的酒精含量为毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）.若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过小时方可驾车．(精确到小时)8．已知奇函数是定义在上的增函数，数列是一个公差为的等差数列，满足，则的值为．9．直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为________．10．已知且，)，，若对任意实数均有，则的最小值为________．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．若空间三条直线a、b、c满足，则直线a与c【】A．一定平行；B．一定相交；C．一定是异面直线；D．平行、相交、是异面直线都有可能．7/812．在无穷等比数列中，，则的取值范围是【】A．；B．；C．；D．．13．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有【】A．336种；B．320种；C．192种；D．144种.14．已知椭圆，抛物线焦点均在轴上，的中心和顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则的左焦点到的准线之间的距离为【】A．；B．；C．1；D．2．15．已知与都是定义在上的奇函数，且当时，，（），若恰有4个零点，则正实数的取值范围是【】A．；B．；C．；D．．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（本题满分11分，第1小题6分，第2小题5分）已知正四棱柱，,分别是棱的中点．(1)求异面直线所成角的大小；(2)求四面体的体积．17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）7/8设双曲线：，为其左右两个焦点．(1)设为坐标原点，为双曲线右支上任意一点，求的取值范围；(2)若动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为，求动点的轨迹方程．18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南角方向，300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．(1)问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；(2)城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？19．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设集合存在正实数，使得定义域内任意都有．(1)若，试判断是否为中的元素，并说明理由；(2)若，且，求的取值范围；(3)若（），且，求的最小值．7/820．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）由个不同的数构成的数列中，若时，（即后面的项小于前面项），则称与构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为；同理，等比数列的逆序数为．(1)计算数列的逆序数；(2)计算数列（）的逆序数；(3)已知数列的逆序数为，求的逆序数．7/8静安区2022-2022学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷答案与评分标准一、1．;2．;3．;4．10;5．;6．;7．8;8．4019;9．;10．4二、11.D;12.D;13.A;14.B;15.C.16．解：（1）连接，……………………………….1分则为异面直线所成角…………….1分在中，可求得，…………………….4分（2）……………………………….5分17．（1）设，，左焦点，……………………………4分（）对称轴……………………………3分（2）由椭圆定义得：点轨迹为椭圆，，7/8……………………………4分由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所求动点的轨迹方程为……………………………3分18．解：（1）如图建立直角坐标系，……………………………1分则城市，当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为，则，此时台风的半径为，10小时后，km，台风的半径为160km,,……………………………5分故，10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A.………1分（2）因此，t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，为半径的圆，若城市A受到台风侵袭，则，即，……………………………5分解得……………………………1分答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.……………………………1分19．解：（1）∵，∴.……………………………4分（2）由…2分∴，……………………………3分故.……………………………1分7/8（3）由,………………1分即：∴对任意都成立∴……………………………3分当时，；……………………………1分当时，；……………………………1分当时，.……………………………1分综上：……………………………1分20．（1）因为为单调递减数列，所以逆序数为；……………………………4分（2）当为奇数时，．……………………………1分当为偶数时，所以．……………………………2分当为奇数时，逆序数为……………2分当为偶数时，逆序数为…………………2分7/8（3）在数列中，若与后面个数构成个逆序对，则有不构成逆序对，所以在数列中，逆序数为．…7分7/8