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北京市西城区2022学年高二数学上学期期末考试试题 理
北京市西城区2022学年高二数学上学期期末考试试题 理
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北京市西城区2022—2022学年度第一学期期末试卷高二数学(理科)试卷满分:150分考试时间:120分钟题号一二三本卷总分171819202122分数一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.双曲线的实轴长为()A.B.C.D.2.抛物线的准线方程为()A.B.C.D.3.已知表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是()A.若则B.若,,则C.若,,则D.若,,则4.命题“,如果,则”的否命题为()A.,如果,则B.,如果,则C.,如果,则D.,如果,则5.已知椭圆长轴长是短轴长的倍,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.-10-\n6.已知直线和直线平行,则实数的值为()A.B.C.和D.7.“”是“圆与圆相切”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10cm24cm8.如图所示,汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直,灯泡位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反光镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离为()A.10cmB.7.2cmC.3.6cmD.2.4cmABCDEF9.右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,正确的命题是()A.与成角B.与成角C.与成角D.与成角A1BPDACB1C1D1QMN10.如图,在边长为的正方体中,分别为棱,的中点,分别为面和上的点.一质点从点射向点,遇正方体的面反射(反射服从光的反射原理),反射到点,再经平面反射,恰好反射至点.则三条线段的长度之和为()A.B.C.D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.-10-\n11.命题“”的否定是_______________.12.空间向量,,,且.正(主)视图侧(左)视图俯视图则_______.13.右图是一个四棱锥的三视图,则该四棱锥的体积为_______.14.已知为双曲线的一个焦点,则点到双曲线的一条渐近线的距离为_______.15.由直线上一点向圆引切线,则切线长的最小值为.16.已知点和点,直线,的斜率乘积为常数(),设点的轨迹为.给出以下几个命题:①存在非零常数,使上所有点到两点距离之和为定值;②存在非零常数,使上所有点到两点距离之和为定值;③不存在非零常数,使上所有点到两点距离差的绝对值为定值;④不存在非零常数,使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是________.(填出所有正确命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分13分)如图,四边形为矩形,AD⊥平面,,为上的点.AEBCDF(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求证:.18.(本小题满分13分)已知三个点,,,圆为△的外接圆.-10-\n(Ⅰ)求圆的方程;(Ⅱ)设直线与圆交于两点,且,求的值.19.(本小题满分14分)在四棱锥中,平面,底面四边形为直角梯形,,,,,为中点.PABCDQ(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.20.(本小题满分14分)已知椭圆,直线过点与椭圆交于两点,为坐标原点.(Ⅰ)设为的中点,当直线的斜率为时,求线段的长;(Ⅱ)当△面积等于时,求直线的斜率.21.(本小题满分13分)-10-\nABCDEFG在如图所示的几何体中,四边形是矩形,,四边形是等腰梯形,,,且平面平面,.(Ⅰ)过与平行的平面与交于点.求证:为的中点;(Ⅱ)求二面角的余弦值.22.(本小题满分13分)如图,曲线是由抛物线弧:()与椭圆弧:()所围成的封闭曲线,且与有相同的焦点.xyO(Ⅰ)求椭圆弧的方程;(Ⅱ)设过点的直线与曲线交于两点,,,且(),试用表示;并求的取值范围.-10-\n北京市西城区2022—2022学年度第一学期期末试卷高二数学(理科)参考答案及评分标准2022.1一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.1.A2.D3.C4.D5.A6.B7.A8.C9.C10.A二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.11.12.13.14.15.16.②④注:16题,仅选出②或④得3分;错选得0分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.17.(本小题满分13分)AEBCDF(Ⅰ)证明:因为四边形为矩形,所以.………………2分又因为平面,平面,………………4分所以平面.………………5分(Ⅱ)证明:因为平面,,所以平面,则.………………7分又因为,所以.………………9分所以平面.………………11分又平面,所以.………………13分18.(本小题满分13分)(Ⅰ)设圆的方程为,………………1分因为点,,在圆上,则………………4分解得,,.………………6分所以外接圆的方程为.………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)圆的圆心为,半径为.-10-\n又,所以圆的圆心到直线的距离为.………………9分所以,………………11分解得..………………13分19.(本小题满分14分)(Ⅰ)证明:因为平面,所以,又,如图,建立以为原点,为轴,为轴,为轴的空间直角坐标系.………………2分PABCDQxyz由已知,,,.所以,,,,,………………4分又为中点,所以.所以,,所以,………………6分所以.………………7分(注:若第一问不用空间向量,则第一问4分)(Ⅱ)解:设平面的法向量为,则,.又,所以,………………9分令,得,所以.………………11分因此,………………13分所以直线与平面所成角的正弦值为.………………14分20.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)当直线的斜率为时,直线的方程为.………………1分由得,………………2分设,,.则,………………3分所以点的坐标,,………………4分-10-\n所以.………………5分(Ⅱ)设直线,由得,………………6分所以………………7分,.………………8分.………………10分原点到直线的距离.………………11分所以△面积为.因为△面积等于,所以,………………12分解得,………………13分带入判别式检验,符合题意,所以.………………14分21.(本小题满分13分)(Ⅰ)证明:连接交于点,为矩形,则为中点,连接.………………1分因为平面,平面平面,………………2分所以.………………3分所以为的中点.………………4分(Ⅱ)解:在平面上作,垂足为,由于平面为等腰梯形,所以,因为且平面平面,所以平面,………………5分在平面中,作,交于,-10-\n所以,如图,以为原点建立空间直角坐标系.………………6分则,,,.设().因为,所以,即,所以,解得.………………7分设平面的法向量为,ABCDEFGOxyzHM而,,由得令,解得,.所以.………………9分由于,,所以,,又,所以平面,所以为平面的法向量,………………11分.………………12分由图知,二面角的平面角为钝角,所以二面角的余弦值为.………………13分22.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)抛物线弧:的焦点为,且时,,所以为椭圆上一点,又椭圆的焦点为,………………2分所以.………………3分所以,,………………4分所以椭圆的方程为().………………5分(Ⅱ)曲线由两部分曲线和组成,所以按在抛物线弧或椭圆弧上加以分类,由曲线的对称性,不妨设在轴上方(或轴上).当时,,此时,;-10-\n当时,在椭圆弧上,由题设知,将点坐标代入得,,整理得,解得或(舍去).………………6分当时,在抛物线弧上,由抛物线定义可得,所以,………………7分综上,当时,;当时,.相应地,,当时,在抛物线弧上,所以,,………………8分当时,在椭圆弧上,根据图形的对称性,.………………9分所以,当时在抛物线弧上,在椭圆弧上,;………………10分当时在椭圆弧上,在抛物线弧上,;………………11分当时、在椭圆弧上,;………………12分综上,的取值范围是.………………13分-10-
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