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宁夏青铜峡市高级中学高二数学上学期期中试题文
宁夏青铜峡市高级中学高二数学上学期期中试题文
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高级中学2022-2022(一)期中考试高二年级文科数学第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知命题,,则( )A.,B.,C.,D.,2.设四边形的两条对角线为,,则“”是“四边形为菱形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.双曲线的焦点坐标是()A.B.C.D.4.在右图的正方体中,M、N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°5.已知一个圆柱底面半径为2,体积为,则此圆柱的表面积为()A.B.C.D.6.已知且与互相垂直,则的值是()A..1B.C.D.7.关于空间两条直线、和平面,下列命题正确的是()A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则-9-\n8.已知平行六面体,M是AC与BD交点,若,则与相等的向量是()A..B..C..D..9.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是()A.B.C.D.以上都不对10.已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为( )A.B.C.D.11椭圆+=1上一点M到左焦点的距离为2,N是M的中点,则2等于()A.3B.4C.8D.1612.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为( )A.B.C.D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.共20分13.命题“”为假命题,则实数a的取值区间为14.已知点在双曲线:上,的焦距为6,则它的离心率为__________.15.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是______-9-\n16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC,有如下四个结论:①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD成60°的角;④AB与CD所成的角为60°.其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号).三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知命题关于的方程有实数根命题方程表示双曲线(1)若是真命题,求的取值范围。(2)若命题是真命题,求的取值范围。18.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点,两个焦点分别为,,短轴长为8。(1)求的方程(2)是椭圆上位于第一象限内的一点,且,求的面积。19.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱中,已知.设的中点为,求证:(1)(2)20.(本小题满分12分)已知四棱锥的底面为菱形,且为AB的中点.(1)求证:平面;(2)求点到平面的距离.-9-\n21.(本小题满分12分)在直角坐标系中,点到两点,的距离之和等于4,设点的轨迹为,直线与交于两点.(1)写出的方程;(2)若,求的值;22.(本小题满分12分)设,分别是椭圆E:+=1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过的直线与E相交于A、B两点,且,,成等差数列.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若直线的斜率为1,求b的值.参考答案一、选择题题号123456789101112选项CBACADDABCCA二、填空题1314.315.16.(1)(2)(4)171819证明:(1)由题意知,为的中点,又为的中点,因此.又因为平面,平面,-9-\n所以平面.(2)因为棱柱是直三棱柱,所以平面.因为平面,所以.又因为,平面,平面,,所以平面.又因为平面,所以.因为,所以矩形是正方形,因此.因为,平面,,所以平面.20.(Ⅰ)连接CO.∵,∴△AEB为等腰直角三角形.∵O为AB的中点,∴EO⊥AB,EO=1.又∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴△ACB是等边三角形,∴CO=.又EC=2,∴EC2=EO2+CO2,∴EO⊥CO.又CO⊂平面ABCD,EO平面ABCD,∴EO⊥平面ABCD.(Ⅱ)设点D到平面AEC的距离为h.∵AE=,AC=EC=2,∴S△AEC=.∵S△ADC=,E到平面ACB的距离EO=1,VD-AEC=VE-ADC,∴S△AEC·h=S△ADC·EO,∴h=,∴点D到平面AEC的距离为.-9-\n21(1)(2)解:(1)由条件知:P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,其中,所以b2=a2﹣c2==1.故轨迹C的方程为:;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)由⇒(kx+1)2+4x2=4,即(k2+4)x2+2kx﹣3=0由△=16k2+48>0,可得:,再由,即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,所以,.考点:圆锥曲线的轨迹问题;直线与圆锥曲线的关系.22.(1);(2)(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=.(2)l的方程为y=x+c,其中c=.,设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组消去y,得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0,则x1+x2=,x1x2=.因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|,即=|x2-x1|.则=(x1+x2)2-4x1x2=-=,解得b=.-9-\n参考答案一、选择题题号123456789101112选项CBACADDABCCA二、填空题1314.315.16.(1)(2)(4)171819证明:(1)由题意知,为的中点,又为的中点,因此.又因为平面,平面,所以平面.(2)因为棱柱是直三棱柱,所以平面.因为平面,所以.又因为,平面,平面,,所以平面.又因为平面,所以.因为,所以矩形是正方形,因此.因为,平面,,所以平面.20.(Ⅰ)连接CO.∵,∴△AEB为等腰直角三角形.∵O为AB的中点,∴EO⊥AB,EO=1.-9-\n又∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴△ACB是等边三角形,∴CO=.又EC=2,∴EC2=EO2+CO2,∴EO⊥CO.又CO⊂平面ABCD,EO平面ABCD,∴EO⊥平面ABCD.(Ⅱ)设点D到平面AEC的距离为h.∵AE=,AC=EC=2,∴S△AEC=.∵S△ADC=,E到平面ACB的距离EO=1,VD-AEC=VE-ADC,∴S△AEC·h=S△ADC·EO,∴h=,∴点D到平面AEC的距离为.21(1)(2)解:(1)由条件知:P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,其中,所以b2=a2﹣c2==1.故轨迹C的方程为:;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)由⇒(kx+1)2+4x2=4,即(k2+4)x2+2kx﹣3=0由△=16k2+48>0,可得:,再由,即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,-9-\n所以,.考点:圆锥曲线的轨迹问题;直线与圆锥曲线的关系.22.(1);(2)(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=.(2)l的方程为y=x+c,其中c=.,设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组消去y,得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0,则x1+x2=,x1x2=.因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|,即=|x2-x1|.则=(x1+x2)2-4x1x2=-=,解得b=.-9-
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