安徽省蚌埠市2022届高三数学第二次教学质量检测试题 文（含解析）新人教A版

　安徽省蚌埠市2022届高三第二次教学质量检测数学（文）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置．1．（5分）（2022•四川）设集合A={a，b}，B={b，c，d}，则A∪B=（　　）　A．{b}B．{b，c，d}C．{a，c，d}D．{a，b，c，d}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由题意，集合A={a，b}，B={b，c，d}，由并运算的定义直接写出两集合的并集即可选出正确选项．解答：解：由题意A={a，b}，B={b，c，d}，∴A∪B={a，b，c，d}故选D．点评：本题考查并集及其运算，是集合中的基本计算题，解题的关键是理解并能熟练进行求并的计算．　2．（5分）（2022•蚌埠二模）已知sinα=，则cos2α=（　　）　A．B．C．﹣D．考点：二倍角的余弦．专题：计算题．分析：所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=．故选A点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．　3．（5分）（2022•蚌埠二模）若{an}是等差数列，则a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9（　　）　A．不是等差数列B．是递增数列C．是等差数列D．是递减数列考点：等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的定义，证明（a4+a5+a6）﹣（a1+a2+a3）=（a7+a8+a9）﹣（a4+a5+a6）即可．解答：解：设等差数列{an}的公差为d，则（a4+a5+a6）﹣（a1+a2+a3）=9d，（a7+a8+a9）﹣（a4+a5+a6）=9d∴（a4+a5+a6）﹣（a1+a2+a3）=（a7+a8+a9）﹣（a4+a5+a6），∴a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9是等差数列故选C．点评：本题考查等差数列的判定，考查学生的计算能力，属于基础题．　4．（5分）（2022•蚌埠二模）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（　　）　A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）11考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：分别计算出f（0）、f（1）、f（）、f（）的值，判断它们的正负，再结合函数零点存在性定理，可以得出答案．解答：解：∵f（0）=e0﹣3=﹣2＜0f（1）=e1+4﹣3＞0∴根所在的区间x0∈（0，1）排除A选项又∵∴根所在的区间x0∈（0，），排除D选项最后计算出，，得出选项C符合；故选C．点评：e=2.71828…是一个无理数，本题计算中要用到等的值，对计算有一定的要求．　5．（5分）（2022•蚌埠二模）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）　A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3　C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面考点：平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．解答：解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，得到A错对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l2得到B对对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错故选B点评：本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．　6．（5分）（2022•蚌埠二模）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（　　）　A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件　C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：分别令a=﹣2，b=1和a=1，b=﹣1讨论“a2＞b2”⇒“a＞b”与“a＞b”⇒“a2＞b2”的真假，进而根据充要条件的定义得到答案．解答：解：当a=﹣2，b=1时，a2＞b2成立，但a＞b不成立11即“a2＞b2”是“a＞b”的不充分条件当a=1，b=﹣1时，a＞b成立，但a2＞b2不成立即“a2＞b2”是“a＞b”的不必要条件故“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件故选D．点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，其中熟练掌握充要条件的定义是解答的关键．　7．（5分）（2022•蚌埠二模）已知直线l经过点（﹣3，0）且与直线2x﹣y﹣3=0垂直，则直线l的方程为（　　）　A．x+2y+6=0B．x+2y+3=0C．2x+y+3=0D．2x+y+6=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：根据垂直关系设所求直线的方程为x+2y+c=0，把点（﹣3，0）代入直线方程求出c的值，即可得到所求直线的方程．解答：解：设所求直线的方程为x+2y+c=0，把点（﹣3，0）代入直线方程可得﹣3+c=0，∴c=3，故所求直线的方程为x+2y+3=0，故选：B．点评：本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于﹣1，用待定系数法求直线的方程．　8．（5分）（2022•安徽）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（　　）　A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；压轴题．分析：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数，求比值即可．解答：解：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为3，由古典概型可知它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于故选D．点评：本题考查古典概型、组合数运算，考查运算能力．　9．（5分）（2022•蚌埠二模）点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（　　）　A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．11分析：先根据条件求出店A的坐标，再结合点A到抛物线C1的准线的距离为p；得到=，再代入离心率计算公式即可得到答案．解答：解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e===．故选：C．点评：本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系．　10．（5分）（2022•蚌埠二模）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（　　）　A．B．C．3D．考点：向量的投影；三角形五心．专题：计算题．分析：利用向量加法的几何意义得出△ABC是以A为直角的直角三角形．由题意画出图形，借助图形求出向量在向量方向上的投影．解答：解：由于+=2由向量加法的几何意义，O为边BC中点，11因为△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，所以==1，三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，斜边BC=2AO=2，直角边AB=，所以∠ABC=30°则向量在向量方向上的投影为|BA|cos30=×，故选A．点评：本题主要考查了向量的投影，以及三角形的外心的概念，同时考查了向量加法的几何意义和计算能力，属于基础题．　二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案直接填写在答题卷相应横线上．11．（5分）（2022•蚌埠二模）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则命题￢p为：　∃x∈R，x2+x+1=0　．考点：特称命题；全称命题．专题：阅读型．分析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可解答：解：已知命题p：∀已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则命题￢p为：则命题￢p为：∃x∈R，x2+x+1=0，故答案为：∃x∈R，x2+x+1=0点评：本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．　12．（5分）（2022•蚌埠二模）计算：i+2i2+3i3+…+359i359=　﹣200﹣200i　．考点：虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：利用虚数单位i的幂运算性质，用错位相减法进行数列求和．解答：解：令S=i+2i2+3i3+…+359i359①，则iS=i2+2i3+3i4…+358i359+359i400②，①减去②且错位相减可得（1﹣i）S=i+i2+i3+…+i359﹣359i400=﹣359=﹣359=﹣359=﹣1﹣359=﹣400，∴S===﹣200﹣200i，故答案为﹣200﹣200i．点评：本题主要考查利用错位相减法进行数列求和，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．　13．（5分）（2022•蚌埠二模）如图是一个正三棱柱零件，面AB1平行于正投影面，则零件的左视图的面积为　　．11考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：几何体的左视图是一个矩形，矩形的一边长是棱柱的高2，另一边长是底面三角形的一条边上的高线是，根据矩形的面积公式写出面积的值．解答：解：几何体的左视图是一个矩形，矩形的一边长是棱柱的高2，另一边长是底面三角形的一条边上的高线是，∴左视图的面积是2×，故答案为4点评：本题考查简单空间图形的三视图，考查根据所给的直观图得到要求的三视图，考查几何图形的面积，本题是一个基础题，又是一个易错题．　14．（5分）（2022•蚌埠二模）已知正数x、y满足，则z=4﹣x的最小值为　　．考点：简单线性规划的应用；有理数指数幂的运算性质．专题：计算题；数形结合．分析：先将z=4﹣x化成z=2﹣2x﹣y，再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z1=﹣2x﹣y过点A（1，2）时，z1最大值即可．解答：解：根据约束条件画出可行域∵z=4﹣x化成z=2﹣2x﹣y直线z1=﹣2x﹣y过点A（1，2）时，z1最小值是﹣4，∴z=2﹣2x﹣y的最小值是2﹣4=，故答案为．11点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．　15．（5分）（2022•蚌埠二模）已知点A（x1，x12）、B（x2，x22）是函数y=x2的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，lgx1）、B（x2，lgx2）是函数y=lgx（x∈R+）的图象上的不同两点，则类似地有　　成立．考点：类比推理；函数单调性的性质．专题：探究型．分析：由类比推理的规则得出结论，本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数，其类比方式可知解答：解：由题意变化率逐渐变大的函数有线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立函数y=lgx（x∈R+）变化率逐渐变小，函数有线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论故答案为点评：本题考查类比推理，求解本题的关键是理解类比的定义，及本题类比的对象之间的联系与区别，从而得出类比结论　三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2022•蚌埠二模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示．（I）求函数f（x）的解析式；（II）如何通过变换函数f（x）的图象得到函数y=sin2x的图象？11考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用图象的最低点确定A的值，利用周期确定ω，再根据图象过点（，0），确定φ的值，即可求函数f（x）的解析式；（II）f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，由此可得结论．解答：解：（I）由题意，函数的最小值为﹣1，∴A=1，∵T=4×（）=π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵图象过点（，0），∴sin（2×+φ）=0，∵|φ|＜，∴φ=∴f（x）=sin（2x+）；（II）∵f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]∴函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可以得到函数y=sin2x的图象．点评：本题考查三角函数解析式的确定，考查图象的变换，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　17．（12分）（2022•蚌埠二模）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx，若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，e）处公共切线．（I）求a，b的值；（II）记h（x）=f（x）+g（x），判断函数h（x）的单调性．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）利用导数的运算法则可得f′（x），g′（x），由题意可得，解出即可；（II）利用（I）即可得到h（x），利用导数的运算法则即可得到h′（x），即可得到其单调性．解答：解：（I）由已知可得f′（x）=2ax，g′（x）=3x2+b，11由题意可得，即，解得a=b=3．（II）由（I）可得f（x）=3x2+1，g（x）=x3+3x，∴h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2+3x+1，∴h′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0，因此h（x）在R上单调递增．点评：熟练掌握导数的运算法则与几何意义、利用导数研究函数的单调性等是解题的关键．　18．（12分）（2022•蚌埠二模）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是统计数据：年份20222022202220222022需求量（万吨）236246257276286（I）利用所给数据求年需量与年份之间的回归直线方程=bx+a；（II）利用（I）中所求出的直线方程预测该地2022年的粮食需求量．考点：回归分析的初步应用．专题：概率与统计．分析：（I）把数字进行整理，同时减去这组数据的中位数，做出平均数，利用最小二乘法做出b，a，写出线性回归方程．（II）把所给的x的值代入线性回归方程，求出变化以后的预报值，得到结果．解答：解：（I）根据所给的表格可知，用年份减去2022，得到﹣4，﹣2，0，2，4，需求量都减去257，得到﹣21，﹣11，0，19，29，这样对应的年份和需求量之间是一个线性关系，=0，=3.2∴b==6.5．∴a=3.2﹣0×6.5=3.2，∴线性回归方程是﹣257=6.5（x﹣2022）+3.2，即=6.5x﹣12785.3（II）当x=2022时，=6.5×2022﹣12785.3=299.2，即预测该地2022年的粮食需求量是299.2（万吨）．点评：本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，考查回归方程的意义和求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　19．（13分）（2022•蚌埠二模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（I）求证：DE∥面PBC；（II）求证：AB⊥PE；（III）求三棱锥B﹣PEC的体积．11考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=VP﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．　20．（13分）（2022•蚌埠二模）已知数列a，b，c是各项均为正数的等差数列，公差为d（d＞0），在a，b之间和b，c之间共插入n个实数，使得这n+3个数构成等比数列，其公比为q．（I）求证：|q|＞1；（II）若a=1，n=1，求d的值．11考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）先由条件求出知qn+2=，又有c=a+2d代入即可得|qn+2|＞1，就可证明结论；（2）先求出b=1+d，c=1+2d，然后对插入的数分所在位置所存在的两种情况分别求出d的值即可．解答：解：（1）由题意知qn+2=，c=a+2d，又a＞0，d＞0，可得qn+2==1+＞1即|qn+2|＞1，故|q|n+2＞1，又n+2是正数，故|q|＞1．（2）由a，b，c是首项为1、公差为d的等差数列，故b=1+d，c=1+2d，若插入的这一个数位于a，b之间，则1+d=q2，1+2d=q3，消去q可得（1+2d）2=（1+d）3，即d3﹣d2﹣d=0，其正根为d=若插入的这一个数位于b，c之间，则1+d=q，1+2d=q3，消去q可得1+2d=（1+d）3，即d3+3d2+d=0，此方程无正根．故所求公差d=点评：本题综合考查等差数列与等比数列的基础知识以及分类讨论思想在解题中的应用．　21．（13分）（2022•蚌埠二模）已知△ABC中，点A、B的坐标分别为，点C在x轴上方．（1）若点C坐标为，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（2）过点P（m，0）作倾角为的直线l交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），确定椭圆的几何量，即可求出以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及Q恰在以MN为直径的圆上，即可求实数m的值．解答：解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则c=，∵C，A，∴2a=|AC|+|BC|=4，b==，∴椭圆方程为（5分）（2）直线l的方程为y=﹣（x﹣m），令M（x1，y1），N（x2，y2），11将y=﹣（x﹣m）代入椭圆方程，消去y可得6x2﹣8mx+4m2﹣8=0∴，若Q恰在以MN为直径的圆上，则，即m2+1﹣（m+1）（x1+x2）+2x1x2=0，∴3m2﹣4m﹣5=0解得．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理解题．　11