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安徽省马鞍山市红星中学2022届高三数学上学期第二次月考试卷理含解析
安徽省马鞍山市红星中学2022届高三数学上学期第二次月考试卷理含解析
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2022-2022学年安徽省马鞍山市红星中学高三(上)第二次月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U是实数集R,M={x|y=ln(x2﹣2x)},N={y|y=},则图中阴影部分表示的集合是()A.{x|﹣2≤x<2}B.{x|1<x≤2}C.{x|1≤x≤2}D.{x|x<1}2.已知函数f(x)=且f(a)=﹣3,则f(6﹣a)=()A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣3.给出如下命题,正确的序号是()A.命题:∀x∈R,x2≠x的否定是:∃x0∈R,使得x02≠xB.命题:若x≥2且y≥3,则x+y≥5的否命题为:若x<2且y<3,则x+y<5C.若ω=1是函数f(x)=cosωx在区间[0,π]上单调递减的充分不必要条件D.命题:∃x0∈R,x02+a<0为假命题,则实数a的取值范围是a>04.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正(主)视图,侧(左)视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为()A.B.C.D.-18-\n5.设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,•的值等于()A.0B.2C.4D.﹣26.设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则()A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b7.执行如图所示的程序框图,如果输入P=153,Q=63,则输出的P的值是()A.2B.3C.9D.278.若点(16,tanθ)在函数y=log2x的图象上,则=()A.B.C.4D.49.已知函数f(x)=()x﹣log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且x0<x1,则f(x1)的值()A.恒为负B.等于零C.恒为正D.不大于零10.已知数列{an}的前n项和为Sn,过点P(n,Sn)和Q(n+1,Sn+1)(n∈N*)的直线的斜率为3n﹣2,则a2+a4+a5+a9的值等于()A.52B.40C.26D.2011.函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是()A.B.C.D.12.已知定义在R上的奇函数f(x),其导函数为f′(x),对任意正实数x满足xf′(x)>2f(﹣x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(x)<g(1﹣3x)的解集是()-18-\nA.(,+∞)B.(﹣∞,)C.(0,)D.(﹣∞,)∪(,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.计算:()+lg+lg70+=__________.14.设变量x,y满足约束条件,则z=x﹣3y的最小值是__________.15.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣4)=﹣f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[﹣8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=__________.16.关于函数f(x)=(x≠0),有下列命题:①f(x)的最小值是lg2;②其图象关于y轴对称;③当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数;④f(x)在区间(﹣1,0)和(1,+∞)上是增函数,其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知p:|1﹣|≤2;q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0),若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.18.已知函数f(x)=﹣x2+2ex+m﹣1,g(x)=x+(x>0).(1)若y=g(x)﹣m有零点,求m的取值范围;(2)确定m的取值范围,使得g(x)﹣f(x)=0有两个相异实根.19.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式;(2)当x∈[0,1)时,总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围.20.某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利总额y元.-18-\n(1)写出y与x之间的函数关系式;(2)从第几年开始,该机床开始盈利?(3)使用若干年后,对机床的处理有两种方案:①当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;②当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床.问哪种方案处理较为合理?请说明理由.21.已知函数f(x)=+xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3.(1)讨论函数h(x)=的单调性;(2)如果对任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.四、选做题:请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ.(1)求曲线C1与C2交点的极坐标;(2)A、B两点分别在曲线C1与C2上,当|AB|最大时,求△OAB的面积(O为坐标原点).23.已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|>a.(1)当a=0时,求不等式的解集(2)若不等式在区间[﹣4,2]内无解.求实数a的取值范围.-18-\n2022-2022学年安徽省马鞍山市红星中学高三(上)第二次月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U是实数集R,M={x|y=ln(x2﹣2x)},N={y|y=},则图中阴影部分表示的集合是()A.{x|﹣2≤x<2}B.{x|1<x≤2}C.{x|1≤x≤2}D.{x|x<1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算.【专题】应用题;集合思想;定义法;集合.【分析】由图知,阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的,即N∩CUM.【解答】解:由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩(CUM)M={x|y=ln(x2﹣2x)}∴x2﹣2x>0,解得x<0,或x>2,∴M={x|x<0,或x>2},∴CUM={x|0≤x≤2}=[0,2],N={y|y=}={y|y≥1}=[1,+∞),∴N∩(CUM)=[1,2],故选:C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识,属于基础题2.已知函数f(x)=且f(a)=﹣3,则f(6﹣a)=()A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣【考点】分段函数的应用;函数的零点.【专题】函数的性质及应用.【分析】由f(a)=﹣3,结合指数和对数的运算性质,求得a=7,再由分段函数求得f(6﹣a)的值.【解答】解:函数f(x)=且f(a)=﹣3,若a≤1,则2a﹣1﹣2=﹣3,即有2a﹣1=﹣1<0,方程无解;若a>1,则﹣log2(a+1)=﹣3,解得a=7,则f(6﹣a)=f(﹣1)=2﹣1﹣1﹣2=﹣.-18-\n故选:A.【点评】本题考查分段函数的运用:求函数值,主要考查指数和对数的运算性质,属于中档题.3.给出如下命题,正确的序号是()A.命题:∀x∈R,x2≠x的否定是:∃x0∈R,使得x02≠xB.命题:若x≥2且y≥3,则x+y≥5的否命题为:若x<2且y<3,则x+y<5C.若ω=1是函数f(x)=cosωx在区间[0,π]上单调递减的充分不必要条件D.命题:∃x0∈R,x02+a<0为假命题,则实数a的取值范围是a>0【考点】命题的真假判断与应用.【专题】计算题;规律型;简易逻辑.【分析】利用命题的否定判断A的正误;四种命题的逆否关系判断B的正误;充要条件判断C的正误;命题的真假判断D的正误;【解答】解:对于A,命题:∀x∈R,x2≠x的否定是:∃x0∈R,使得x02≠x0,不满足命题的否定形式,所以不正确;对于B,命题:若x≥2且y≥3,则x+y≥5的否命题为:若x<2且y<3,则x+y<5,不满足否命题的形式,所以不正确;对于C,若ω=1是函数f(x)=cosx在区间[0,π]上单调递减的,而函数f(x)=cosωx在区间[0,π]上单调递减的,ω≤1,所以ω=1是函数f(x)=cosωx在区间[0,π]上单调递减的充分不必要条件,正确.对于D,命题:∃x0∈R,x02+a<0为假命题,则命题:a≥0,∀x∈R,x2+a≥0是真命题;所以,命题:∃x0∈R,x02+a<0为假命题,则实数a的取值范围是a>0,不正确;故选:C.【点评】本题考查命题的真假的判断与应用,基本知识的考查.4.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正(主)视图,侧(左)视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为()A.B.C.D.【考点】由三视图求面积、体积.【专题】图表型.-18-\n【分析】先由三视图还原成原来的几何体,再根据三视图中的长度关系,找到几何体中的长度关系,进而可以求几何体的体积.【解答】解:由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥,下部分是半球,所以根据三视图中的数据可得:V=××=,故选C.【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查三视图与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式求表面积与体积,本题求的是组合体的体积,一般组合体的体积要分部分来求.三视图的投影规则是:“主视、俯视长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视宽相等”.三视图是高考的新增考点,不时出现在高考试题中,应予以重视.5.设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,•的值等于()A.0B.2C.4D.﹣2【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题.【分析】通过题意可推断出当P、Q分别在椭圆短轴端点时,四边形PF1QF2面积最大.进而可根据椭圆的方程求得焦点的坐标和P的坐标,进而求得和,则•的值可求得.【解答】解:根据题意可知当P、Q分别在椭圆短轴端点时,四边形PF1QF2面积最大.这时,F1(﹣,0),F2(,0),P(0,1),∴=(﹣,﹣1),=(,﹣1),∴•=﹣2.故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了学生数形结合的思想和分析问题的能力.-18-\n6.设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则()A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b【考点】对数值大小的比较.【专题】函数的性质及应用.【分析】分别讨论a,b,c的取值范围,即可比较大小.【解答】解:1<log37<2,b=21.1>2,c=0.83.1<1,则c<a<b,故选:B.【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据指数和对数的性质即可得到结论.7.执行如图所示的程序框图,如果输入P=153,Q=63,则输出的P的值是()A.2B.3C.9D.27【考点】程序框图.【专题】图表型;算法和程序框图.【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的R,P,Q的值,当Q=0时,满足条件Q=0,退出循环,输出P的值为3.【解答】解:模拟执行程序,可得P=153,Q=63不满足条件Q=0,R=27,P=63,Q=27不满足条件Q=0,R=9,P=27,Q=9不满足条件Q=0,R=0,P=9,Q=0满足条件Q=0,退出循环,输出P的值为9.故选:C.【点评】本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的R,P,Q的值是解题的关键,属于基本知识的考查.8.若点(16,tanθ)在函数y=log2x的图象上,则=()A.B.C.4D.4【考点】三角函数的化简求值.【专题】计算题;转化思想;转化法;三角函数的求值.【分析】先根据对数的运算性质求出tanθ,再化简代值计算即可.【解答】解:点(16,tanθ)在函数y=log2x的图象上,∴tanθ=log216=4,-18-\n∴====,故选:B.【点评】本题考查了二倍角公式,函数值的求法,以及对数的运算性质,属于基础题.9.已知函数f(x)=()x﹣log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且x0<x1,则f(x1)的值()A.恒为负B.等于零C.恒为正D.不大于零【考点】函数的零点与方程根的关系.【专题】函数的性质及应用.【分析】由函数的性质可知,f(x)=()x﹣log3x在(0,+∞)上是减函数,且可得f(x0)=0,由0<x0<x1,可得f(x1)<f(x0)=0,即可判断【解答】解:∵实数x0是方程f(x)=0的解,∴f(x0)=0.∵函数y()x,y=log3x在(0,+∞)上分别具有单调递减、单调递增,∴函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.又∵0<x0<x1,∴f(x1)<f(x0)=0.∴f(x1)的值恒为负.故选A.【点评】本题主要考查了函数的单调性的简单应用,解题的关键是准确判断函数f(x)的单调性并能灵活应用.10.已知数列{an}的前n项和为Sn,过点P(n,Sn)和Q(n+1,Sn+1)(n∈N*)的直线的斜率为3n﹣2,则a2+a4+a5+a9的值等于()A.52B.40C.26D.20【考点】数列的求和.【专题】等差数列与等比数列.【分析】首先根据题中的已知条件已知数列{an}的前n项和为Sn,过点P(n,Sn)和Q(n+1,Sn+1)(n∈N*)的直线的斜率为3n﹣2,进一步求出数列的通项公式,然后根据通项公式求出各项的值,最后确定结果.【解答】解:已知数列{an}的前n项和为Sn,过点P(n,Sn)和Q(n+1,Sn+1)(n∈N*)的直线的斜率为3n﹣2则:∴an=3n﹣5a2+a4+a5+a9=40故选:B【点评】本题考查的知识点:根据点的斜率求出数列的通项公式,由通项公式求数列的项.-18-\n11.函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是()A.B.C.D.【考点】对数的运算性质;函数的图象与图象变化.【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点(1,1),再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性,得到答案.【解答】解:由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知:函数过点(1,1),当0<x<1时,y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1,y′=﹣+1<0.∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数;若当x>1时,y=elnx﹣x+1=1,故选D.【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系.12.已知定义在R上的奇函数f(x),其导函数为f′(x),对任意正实数x满足xf′(x)>2f(﹣x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(x)<g(1﹣3x)的解集是()A.(,+∞)B.(﹣∞,)C.(0,)D.(﹣∞,)∪(,+∞)【考点】函数奇偶性的性质.【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用;导数的综合应用.【分析】f(x)是定义在R上的奇函数,可得:f(﹣x)=﹣f(x).对任意正实数x满足xf′(x)>2f(﹣x),可得:xf′(x)+2f(x)>0,由g(x)=x2f(x),可得g′(x)>0.可得函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.即可得出.【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x).对任意正实数x满足xf′(x)>2f(﹣x),∴xf′(x)+2f(x)>0,∵g(x)=x2f(x),∴g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)>0.∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.又g(0)=0,g(﹣x)=x2f(﹣x)=﹣g(x),∴函数g(x)是R上的奇函数,∴g(x)是R上的增函数.由不等式g(x)<g(1﹣3x),∴x<1﹣3x,解得.∴不等式g(x)<g(1﹣3x)的解集为:.故选:B.【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.-18-\n二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.计算:()+lg+lg70+=.【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用.【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可.【解答】解:()+lg+lg70+=+lg()+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=,故答案为:.【点评】本题考查了对数和幂的运算性质,关键是掌握性质,属于基础题.14.设变量x,y满足约束条件,则z=x﹣3y的最小值是﹣8.【考点】简单线性规划.【专题】不等式的解法及应用.【分析】将z=x﹣3y变形为,此式可看作是斜率为,纵截距为的一系列平行直线,当最大时,z最小.作出原不等式组表示的平面区域,让直线向此平面区域平移,可探求纵截距的最大值.【解答】解:由z=x﹣3y,得,此式可看作是斜率为,纵截距为的直线,当最大时,z最小.画出直线y=x,x+2y=2,x=﹣2,从而可标出不等式组表示的平面区域,如右图所示.由图知,当动直线经过点P时,z最小,此时由,得P(﹣2,2),从而zmin=﹣2﹣3×2=﹣8,即z=x﹣3y的最小值是﹣8.故答案为:﹣8.-18-\n【点评】本题考查了线性规划的应用,为高考常考的题型,求解此类问题的一般步骤是:(1)作出已知不等式组表示的平面区域;(2)运用化归思想及数形结合思想,将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理.15.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣4)=﹣f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[﹣8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=﹣8.【考点】奇偶性与单调性的综合;函数的周期性.【专题】数形结合.【分析】由条件“f(x﹣4)=﹣f(x)”得f(x+8)=f(x),说明此函数是周期函数,又是奇函数,且在[0,2]上为增函数,由这些画出示意图,由图可解决问题.【解答】解:此函数是周期函数,又是奇函数,且在[0,2]上为增函数,综合条件得函数的示意图,由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(﹣6),另两个交点的横坐标之和为2×2,所以x1+x2+x3+x4=﹣8.故答案为﹣8.【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷.16.关于函数f(x)=(x≠0),有下列命题:①f(x)的最小值是lg2;②其图象关于y轴对称;③当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数;④f(x)在区间(﹣1,0)和(1,+∞)上是增函数,其中所有正确结论的序号是①②④.【考点】命题的真假判断与应用;奇偶性与单调性的综合.-18-\n【专题】函数思想;定义法;函数的性质及应用.【分析】是结合复合函数单调性的关系进行判断.②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断;③利用对勾函数的单调性判断;④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可.【解答】解:①函数f(x)=lg,(x∈R且x≠0).∵=2,∴f(x)=lg≥2,即f(x)的最小值是lg2,故①正确,②∵f(﹣x)==f(x),∴函数f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,故②正确;③当x>0时,t(x)=,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上得到递增,∴f(x)=lg在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上得到递增,故③错误;④∵函数f(x)是偶函数,由③知f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上得到递增,∴在(﹣1,0)上单调递增,在(﹣∞,﹣1)上得到递减,故④正确,故答案为:①②④【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,考查了函数奇偶性的性质,考查了复合函数的单调性,是中档题.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知p:|1﹣|≤2;q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0),若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.【考点】必要条件;绝对值不等式的解法.【专题】规律型.【分析】先求出命题p,q的等价条件,利用¬p是¬q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件,建立条件关系即可求出m的取值范围.【解答】解:由||=,得|x﹣4|≤6,即﹣6≤x﹣4≤6,∴﹣2≤x≤10,即p:﹣2≤x≤10,由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+(1﹣m)][x+(1+m)]≤0,即1﹣m≤x≤1+m,(m>0),∴q:1﹣m≤x≤1+m,(m>0),∵¬p是¬q的必要不充分条件,∴q是p的必要不充分条件.-18-\n即,且等号不能同时取,∴,解得m≥9.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,将¬p是¬q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件是解决本题的关键.18.已知函数f(x)=﹣x2+2ex+m﹣1,g(x)=x+(x>0).(1)若y=g(x)﹣m有零点,求m的取值范围;(2)确定m的取值范围,使得g(x)﹣f(x)=0有两个相异实根.【考点】函数零点的判定定理;根的存在性及根的个数判断.【专题】计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.【分析】(1)由基本不等式可得g(x)=x+≥2=2e,从而求m的取值范围;(2)令F(x)=g(x)﹣f(x)=x++x2﹣2ex﹣m+1,求导F′(x)=1﹣+2x﹣2e=(x﹣e)(+2);从而判断函数的单调性及最值,从而确定m的取值范围.【解答】解:(1)∵g(x)=x+≥2=2e;(当且仅当x=,即x=e时,等号成立)∴若使函数y=g(x)﹣m有零点,则m≥2e;故m的取值范围为[2e,+∞);(2)令F(x)=g(x)﹣f(x)=x++x2﹣2ex﹣m+1,F′(x)=1﹣+2x﹣2e=(x﹣e)(+2);故当x∈(0,e)时,F′(x)<0,x∈(e,+∞)时,F′(x)>0;故F(x)在(0,e)上是减函数,在(e,+∞)上是增函数,故只需使F(e)<0,即e+e+e2﹣2e2﹣m+1<0;故m>2e﹣e2+1.-18-\n【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用,同时考查了函数零点的判断与应用,属于中档题.19.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式;(2)当x∈[0,1)时,总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围.【考点】求对数函数解析式;函数解析式的求解及常用方法;函数最值的应用.【专题】计算题;转化思想.【分析】(1)由已知条件可知函数g(x)的图象上的任意一点P(x,y)关于原点对称的点Q(﹣x,﹣y)在函数f(x)图象上,把Q(﹣x,﹣y)代入f(x),整理可得g(x)(2)由(1)可令h(x)=f(x)+g(x),先判断函数h(x)在[0,1)的单调性,进而求得函数的最小值h(x)min,使得m≤h(x)min【解答】解:(1)设点P(x,y)是g(x)的图象上的任意一点,则Q(﹣x,﹣y)在函数f(x)的图象上,即﹣y=loga(﹣x+1),则∴(2)f(x)+g(x)≥m即,也就是在[0,1)上恒成立.设,则由函数的单调性易知,h(x)在[0,1)上递增,若使f(x)+g(x)≥m在[0,1)上恒成立,只需h(x)min≥m在[0,1)上成立,即m≤0.m的取值范围是(﹣∞,0]【点评】本题(1)主要考查了函数的中心对称问题:若函数y=f(x)与y=g(x)关于点M(a,b)对称,则y=f(x)上的任意一点(x,y)关于M(a,b)对称的点(2a﹣x,2b﹣y)在函数y=g(x)的图象上.(2)主要考查了函数的恒成立问题,往往转化为求最值问题:m≥h(x)恒成立,则m≥h(x)maxm≤h(x)恒成立,则m≤h(x)min20.某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利总额y元.(1)写出y与x之间的函数关系式;(2)从第几年开始,该机床开始盈利?-18-\n(3)使用若干年后,对机床的处理有两种方案:①当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;②当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床.问哪种方案处理较为合理?请说明理由.【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【专题】计算题.【分析】(1)赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用,维修、保养的费用历年成等差数增长,,(2)由(1)的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利.(3)算出每一种方案的总盈利,比较大小选择方案.【解答】解:(1)y=﹣2x2+40x﹣98,x∈N*.(2)由﹣2x2+40x﹣98>0解得,,且x∈N*,所以x=3,4,,17,故从第三年开始盈利.(3)由,当且仅当x=7时“=”号成立,所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114(万元).由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2(x﹣10)2+102≤102,所以按第二方案处理总利润为102+12=114(万元).∴由于第一方案使用时间短,则选第一方案较合理.【点评】考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力,其中第二问中考查了一元二次不等式的解法,第三问中考查到了基本不等式求最值,本题是一个函数基本不等式相结合的题.属应用题中盈利最大化的问题.21.已知函数f(x)=+xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3.(1)讨论函数h(x)=的单调性;(2)如果对任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【专题】综合题;导数的综合应用.【分析】(1)求导数,利用导数的正负,即可讨论函数h(x)=的单调性;(2)求出g(x)max=g(2)=1,当x∈[,2]时,f(x)=+xlnx恒成立,等价于a≥x﹣x2lnx恒成立,然后利用导数求函数u(x)=x﹣x2lnx在区间[,2]上取得最大值,则实数a的取值范围可求.【解答】解:(1)h(x)==+lnx,h′(x)=,①a≤0,h′(x)≥0,函数h(x)在(0,+∞)上单调递增②a>0时,h'(x)>0,则x∈(,+∞),函数h(x)的单调递增区间为(,+∞),h'(x)<0,则x∈(0,),函数h(x)的单调递减区间为(0,),.-18-\n(2)g(x)=x3﹣x2﹣3,g′(x)=3x(x﹣),x2g′(x)0﹣0+g(x)﹣3递减极小值递增1由上表可知,g(x)在x=2处取得最大值,即g(x)max=g(2)=1所以当x∈[,2]时,f(x)=+xlnx≥1恒成立,等价于a≥x﹣x2lnx恒成立,记u(x)=x﹣x2lnx,所以a≥u(x)max,u′(x)=1﹣x﹣2xlnx,可知u′(1)=0,当x∈(,1)时,1﹣x>0,2xlnx<0,则u′(x)>0,∴u(x)在x∈(,2)上单调递增;当x∈(1,2)时,1﹣x<0,2xlnx>0,则u′(x)<0,∴u(x)在(1,2)上单调递减;故当x=1时,函数u(x)在区间[,2],上取得最大值u(1)=1,所以a≥1,故实数a的取值范围是[1,+∞).【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了导数在最大值、最小值问题中的应用,考查了数学转化思想方法和函数构造法,训练了利用分离变量法求参数的取值范围,属于中档题.四、选做题:请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ.(1)求曲线C1与C2交点的极坐标;(2)A、B两点分别在曲线C1与C2上,当|AB|最大时,求△OAB的面积(O为坐标原点).【考点】参数的意义;简单曲线的极坐标方程.【专题】选作题;转化思想;综合法;坐标系和参数方程.【分析】(1)把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程,联立方程组求出交点的坐标,再把交点的直角坐标化为极坐标;(2)画出图象,由平面几何知识可知,A,C1,C2,B依次排列且共线时|AB|最大.【解答】解:(1)由(θ为参数),消去参数得:x2+(y﹣2)2=4,即x2+y2﹣4y=0;由ρ=﹣4cosθ,得ρ2=﹣4ρcosθ,即x2+y2=﹣4x.两式作差得:x+y=0,代入C1得交点为(0,0),(﹣2,2).其极坐标为(0,0),(2,);(2)如图,由平面几何知识可知,A,C1,C2,B依次排列且共线时|AB|最大.此时|AB|=2+4,O到AB的距离为.-18-\n∴△OAB的面积为S=×(2+4)×=2+2.【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.23.已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|>a.(1)当a=0时,求不等式的解集(2)若不等式在区间[﹣4,2]内无解.求实数a的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法.【专题】不等式的解法及应用.【分析】(1)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.(2)求得f(x)=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4,2]内的值域,结合|2x+2|﹣|x﹣1|>a无解,求得a的范围.【解答】解:(1)当a=0时,不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|>0,可得①,或②,或③.解①求得x<﹣3,解②求得﹣<x<1,解③求得x≥1.综上可得,原不等式的解集为{x|x<﹣3,或x>﹣}.(2)当x∈[﹣4,2],f(x)=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2,3],而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|>a无解,故有a≤3.【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想;还考查了分段函数的应用,求函数的值域,属于中档题.-18-
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