山东省临沂市临沭县高二数学上学期期中试题含解析

2022-2022学年山东省临沂市临沭县高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．642．对于任意实数a，b，c，d，命题：①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2③若ac2＞bc2，则a＞b；④若a＞b，则；⑤若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．43．若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．已知x＞，则函数y=4x+取最小值为()A．﹣3B．2C．5D．75．等差数列{an}中，已知前15项的和S15=90，则a8等于()A．B．12C．6D．-14-\n6．在△ABC中，acosA=bcosB，则三角形的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形7．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，记P=，Q=，则P与Q的大小关系是()A．P＜QB．P＞QC．P=QD．无法确定8．在△ABC中，∠A=45°，a=，b=4，满足条件的△ABC()A．不存在B．有一个C．有两个D．有无数多个9．已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于()A．7B．5C．4D．310．已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是()A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．∪13．已知△ABC的三边分别为a、b、c，且S△ABC=，那么角C=__________．14．已知实数x，y满足，则的最小值等于__________．15．已知正项等比数列{an}满足：a6=a5+2a4，若存在两项am，an使得=2a1，则+的最小值为__________．-14-\n三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．17．已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．（Ⅰ）若a=2，试求函数y=（x＞0）的最小值；（Ⅱ）对于任意的x∈，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．18．设数列满足a1=2，an+1﹣an=3•22n﹣1（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．19．某批发站全年分批购入每台价值为3000元的电脑共4000台，每批都购入x台，且每批均需付运费360元，储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费共43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排进货数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．20．（13分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60°，cos（B+C）=﹣．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．-14-\n21．（14分）（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=且Sn=Sn﹣1+an﹣1+，数列{bn}满足b1=﹣且3bn﹣bn﹣1=n（n≥2且n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）求证：数列{bn﹣an}为等比数列；（3）求{bn}前n项和的最小值．-14-\n2022-2022学年山东省临沂市临沭县高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】直接根据an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得出结论．【解答】解：a8=S8﹣S7=64﹣49=15，故选A．【点评】本题考查数列的基本性质，解题时要注意公式的熟练掌握．2．对于任意实数a，b，c，d，命题：①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2③若ac2＞bc2，则a＞b；④若a＞b，则；⑤若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【考点】不等式的基本性质．【专题】阅读型．【分析】根据题意，结合不等式的有关性质，依次分析5个命题的正误，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析5个命题，①若a＞b，c＜0，则ac＜bc，故错误；②当c=0时，则ac2=bc2，故错误；-14-\n③若ac2＞bc2，因为c2＞0，则a＞b；正确；④当a＞0＞b时，＞0＞，故错误；⑤若a＞b＞0，当0＞c＞d时，ac＜bd．则只有③正确；故选A．【点评】本题考查不等式的性质，解题时，注意各个性质的限制条件．3．若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角．【解答】解：∵根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13∴a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t≠0）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴cosC===﹣＜0∴角C为钝角．故选C【点评】本题主要考查余弦定理的应用．注意与正弦定理的巧妙结合．4．已知x＞，则函数y=4x+取最小值为()-14-\nA．﹣3B．2C．5D．7【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞，∴4x﹣5＞0．则函数y=4x+=4x﹣5++5+5=7，当且仅当x=时取等号．∴函数y=4x+取最小值为7．故选：D．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．5．等差数列{an}中，已知前15项的和S15=90，则a8等于()A．B．12C．6D．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由a8是等差数列前15项的中间项，则由S15=15a8结合已知得答案．【解答】解：在等差数列{an}中，∵S15=90，由S15=15a8=90，得a8=6．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．6．在△ABC中，acosA=bcosB，则三角形的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；解三角形．-14-\n【分析】根据正弦定理将题中等式化简，得sinAcosA=sinBcosB，利用二倍角的正弦公式化简得sin2A=sin2B．再由三角函数的诱导公式加以计算，可得A=B或A+B=，从而得到答案．【解答】解：∵acosA=bcosB，∴根据正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．∵A∈（0，π），∴2A=2B或2A+2B=π，得A=B或A+B=，因此△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选：B【点评】本题给出三角形中的边角关系，判断三角形的形状，着重考查了正弦定理、三角函数的诱导公式和三角形的分类等知识，属于中档题．7．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，记P=，Q=，则P与Q的大小关系是()A．P＜QB．P＞QC．P=QD．无法确定【考点】基本不等式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】由等比数列的性质和基本不等式可得P=≥==Q，由等号不成立可得结论．【解答】解：∵等比数列{an}的各项均为正数，∴a2a10=a5a7，由基本不等式可得P=≥==Q，∵公比q≠1，∴a2≠a10，故上式取不到等号，故P＞Q故选：B【点评】本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．-14-\n8．在△ABC中，∠A=45°，a=，b=4，满足条件的△ABC()A．不存在B．有一个C．有两个D．有无数多个【考点】解三角形．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】由题意比较bsinA和a的大小可得．【解答】解：由题意可得bsinA=4×sin45°=4×=2，比较可得a=＜2，∴三角形无解．故选：A．【点评】本题考查三角形解得个数的判断，属基础题．9．已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于()A．7B．5C．4D．3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，确定m的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，得y=x﹣z，即当z=﹣1时，函数为y=x+1，此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方，由，解得，即A（2，3），同时A也在直线x+y=m上，即m=2+3=5，故选：B-14-\n【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．10．已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是()A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．∪∪，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由y===x﹣4．利用基本不等式即可求得函数的最小值；（Ⅱ）由题意可得不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在恒成立”．不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得y===x﹣4．因为x＞0，所以x，当且仅当x=时，即x=1时，等号成立．所以y≥﹣2．所以当x=1时，y=的最小值为﹣2．…（Ⅱ）因为f（x）﹣a=x2﹣2ax﹣1，所以要使得“∀x∈，不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在恒成立”．不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在恒成立．因为g（x）=x2﹣2ax﹣1=（x﹣a）2﹣1﹣a2，-14-\n所以即，解得a≥．所以a的取值范围是（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由题意得an+1=+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{an}的通项公式为an=22n﹣1．（Ⅱ）由bn=nan=n•22n﹣1知Sn=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，an+1=+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{an}的通项公式为an=22n﹣1．（Ⅱ）由bn=nan=n•22n﹣1知Sn=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22Sn=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•Sn=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．19．某批发站全年分批购入每台价值为3000元的电脑共4000台，每批都购入x台，且每批均需付运费360元，储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费共43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排进货数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．-14-\n【分析】根据条件建立运费和保管费的总费用y关于每批购入台数x的函数解析式，然后利用基本不等式进行解答．【解答】解：设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元，题中的比例系数设为k，每批购入x台，则共需分批，每批价值3000x元．由题意知y=×360+3000kx，当x=400时，y=43600，解得k=，∴y=×360+100x≥2=24000（元）当且仅当×360=100x，即x=120时等号成立．此时x=120台，全年共需要资金24000元．故只需每批购入120台，可以使资金够用．【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．20．（13分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60°，cos（B+C）=﹣．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由B和C为三角形的内角，得到sin（B+C）大于0，由cos（B+C）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（B+C）的值，然后将C变形为（B+C）﹣B，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos后，根据B的度数，利用特殊角的三角函数值求出sinB和cosB的值，将各自的值代入求出cos的值，即为cosC的值；-14-\n（Ⅱ）由C为三角形的内角及第一问求出的cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinA=sin（B+C），由sin（B+C）的值得到sinA的值，由sinC，sinA及a的值，利用正弦定理求出c的值，进而由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由cos（B+C）=﹣，得sin（B+C）===，又B=60°，∴cosC=cos=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB=﹣×+×=；…（Ⅱ）∵cosC=，C为三角形的内角，sin（B+C）=，∴sinC===，sinA=sin（B+C）=．在△ABC中，由正弦定理=得：=，∴c=8，又a=5，sinB=，则△ABC的面积为S=acsinB=×5×8×=10．…【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（14分）（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=且Sn=Sn﹣1+an﹣1+，数列{bn}满足b1=﹣且3bn﹣bn﹣1=n（n≥2且n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）求证：数列{bn﹣an}为等比数列；（3）求{bn}前n项和的最小值．【考点】数列递推式；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比关系的确定．【专题】计算题；综合题．-14-\n【分析】（1）利用Sn﹣Sn﹣1=an，直接求出{an}的通项公式；（2）直接求出数列bn﹣an表达式，利用等比数列的定义证明数列{bn﹣an}为等比数列；（3）利用（2）求出数列的前几项，即可判断数列的符号，然后求{bn}前n项和的最小值．【解答】解：（1）由Sn=Sn﹣1+an﹣1+，得Sn﹣Sn﹣1=an﹣1+，2an=2an﹣1+1，an﹣an﹣1+…2分∴an=a1+（n﹣1）d=n﹣（2）证明：∵3bn﹣bn﹣1=n，∴bn=bn﹣1+n，∴bn﹣an=bn﹣1+n﹣n+=bn﹣1﹣n+=（bn﹣1﹣n+）；bn﹣1﹣an﹣1=bn﹣1﹣（n﹣1）+=bn﹣1﹣n+；∴由上面两式得，又b1﹣a1=﹣﹣=﹣30∴数列{bn﹣an}是以﹣30为首项，为公比的等比数列．（3）由（2）得bn﹣an=﹣30×，∴=，bn﹣bn﹣1===＞0，∴{bn}是递增数列当n=1时，b1=﹣＜0；当n=2时，b2=＜0；当n=3时，b3=＜0；当n=4时，b4=＞0，所以，从第4项起的各项均大于0，故前3项之和最小．且S3=．【点评】本题是中档题，考查数列的递推关系式的应用，考查逻辑推理能力，计算能力，转化思想的应用．-14-