山东省实验中学2022届高三数学第三次诊断考试试题 理（含解析）新人教A版

山东省实验中学2022届高三第三次诊断考试数学（理）试题说明：试题分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共5页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.【试卷综析】整份试卷的阅读量、运算量和思维量都比较大，难度适中，区分度明显。客观地说试题的设计、考查的要求和复习的导向都比较好，对高中数学知识、方法和思想的整体把握，综合训练使得相当一部学生的数学教与学的成效得到应有的体现，对教师和学生的教与学的积极性有一定的提高.使学生不仅学好概念、定理、法则等内容，而且能领悟其中的数学思想方法，并通过不断积累，逐渐内化为自己的经验，并自觉地应用于数学学习和问题解决的过程之中，不断提升数学学习的效益.第I卷（共50分）【题文】一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）【题文】1.已知A.B.C.D.【知识点】集合A1【答案】【解析】B解析：由题意可知所以B为正确选项.【思路点拨】根据集合的运算可求出正确结果.【题文】2.幂函数的图象过点，则A.B.1C.D.2【知识点】幂函数的概念B8【答案】【解析】C解析：根据幂函数的概念可知所以代入点可得，所以【思路点拨】根据函数的概念可求出字母的值，再进行计算.【题文】3.已知向量，若垂直，则m的值为A.B.C.D.【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】B解析：由题意可知向量的坐标为，因为-11-垂直，所以数量积等于零，得，B正确.【思路点拨】根据向量的坐标运算，再求向量的数量积可得结果.【题文】4.圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为A.1：2B.1：3C.1：4D.1：5【知识点】直线与圆相交的性质H4【答案】【解析】B解析：圆的圆心为（1，0）到直线x﹣y=0的距离为=∴弦长为2×=根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为×2π×1=，较长的弧长为2π﹣=∴较短弧长与较长弧长之比为1：3故选B【思路点拨】根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得．【题文】5.等比数列，前三项和，则公比q的值为A.1B.C.D.【知识点】数列的概念；积分的运算.B13D1【答案】【解析】D解析：由题意可计算，，D为正确选项.【思路点拨】根据积分和运算可求出前三项和，再由等比数列前n项和公式可求出公比.【题文】6.复数（是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【知识点】复数的运算L4【答案】【解析】A解析：可将复数化为，所以复数不可能在第一象限，所以选A【思路点拨】由复数的运算可以化简，再根据实部与虚部判定所在象限.【题文】7.直线与双曲线有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是-11-A.B.C.D.【知识点】直线与双曲线的位置关系H8【答案】【解析】D解析：由题意可知当双曲线的渐近线斜率不等于时，即时，即有两个不同的交点，所以，所以正确选项为D.【思路点拨】由直线与双曲线的位置关系可求渐近线的斜率，再求出离心率.【题文】8.若函数（）在R上既是奇函数，又是减函数，则的图象是【知识点】函数的图象B8【答案】【解析】A解析：由（）在R上既是奇函数，又是减函数，所以,,再由对数的图象可知A正确.【思路点拨】根据函数图象的移动可直接找出图象.【题文】9.设偶函数的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，,的值为A.B.C.D.【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【答案】【解析】C解析：因为f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，0＜＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，-11-所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜＜π，所以=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以故选：C．【思路点拨】通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出，即可求解【题文】10.已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和A.45B.55C.90D.110【知识点】数列的性质B9D2【答案】【解析】C解析：当0＜x≤2时，有﹣2＜x﹣2＜0，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2，当2＜x≤4时，有0＜x﹣2≤2，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣4+1，当4＜x≤6时，有2＜x﹣2≤4，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣6+2，当4＜x≤8时，有4＜x﹣1≤6，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x-8+3，以此类推，当2n＜x≤2n+2（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2n﹣2+n，即方程在（2，4]，（4，6]，…（2n，2n+2]上的根依次为0，2，4，6，8综上所述方程的偶数零点按从小到大的顺序0，2，4，，6，8其通项公式为：an=2n﹣2，前n项的和为,C正确.【思路点拨】根据函数的性质判断出零点，再由数列的特点求出通项与数列的和.第II卷（非选择题，共100分）【题文】二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡指定横线上.）【题文】11.由所围成的封闭图形的面积为______________.【知识点】定积分的概念B13【答案】【解析】解析：因为函数在上的积分为，所以围成的封闭图形的面积等于四边形的面积减去曲线与x轴围成的面积.【思路点拨】根据定积分与图形的关系可分割求出面积.-11-【题文】12.已知不等式组表示的平面区域的面积为9，点在所给平面区域内，则的最大值为_____________.【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】解析：由平面区域的面积为9，可知，由图可知目标函数的最大值在点处取得，所以【思路点拨】利用线性规划的概念求出取得最大值时的点，再代入目标函数求出最大值.【题文】13.已知离心率为的双曲线C：的左焦点与抛物线的焦点重合，则实数____________.【知识点】圆锥曲线的概念H6H7【答案】【解析】-12解析：由题意可得所以双曲线的左焦点为，再根据抛物线的概念可知【思路点拨】根据双曲线与抛物线的概念即可建立关系式，再求出m的值.【题文】14.公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若的最小值等于___________.【知识点】等差数列的概念D2【答案】【解析】11解析：因为各项均为正整数，所以d也为正整数，只能为24，12，8，6，4，3，2，1那么对应的n为1，3，4，5，7，9，13，25，所以的最小值为11【思路点拨】根据等差数列的定义可对关系式进行分析，在相应的值中求出最小值.【题文】15.定义函数那么下列命题中正确的序号是_________.（把所有可能的图的序号都填上）.①函数为偶函数；②函数为周期函数，且任何非零实数均为其周期；③方程有两个不同的根.【知识点】函数的性质B4【答案】【解析】①解析：由题意可知成立，所以函数为偶函数，①正确，②不是周期函数，所以错误，=0时，为有理数，所以在此处没有根，所以只有一个根，③错误【思路点拨】根据函数性质的定义，对各项进行分析，判定正误.-11-【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分.【题文】16.（本题满分12分）已知向量，函数.（I）求函数的单调递增区间；（II）如果的三边满足，且边b所对的角为，试求的范围及函数的值域.【知识点】平面向量数量积；三角函数中的恒等变换；正弦函数的单调性C4F3【答案】【解析】(I)(II)（，1+]解析：（1）∵向量=（sin，cos）=（cos，cos），∴函数f（x）=•=sin（）+，令2kπ﹣≤≤2kπ+，解得．故函数f（x）的单调递增区间为．（2）由已知b2=ac，cosx==≥=，∴≤cosx＜1，∴0＜x≤∴∴＜sin（）≤1，∴＜sin（）+≤1+∴f（x）的值域为（，1+]【思路点拨】（1）利用向量的数量积公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数f（x）的单调递增区间；（2）通过b2=ac，利用余弦定理求出cosx的范围，然后求出x的范围，进而可求三角函数的值域【题文】17.（本题满分12分）如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA、OB分别相交于点M、N，若.（I）建立适当基底，利用，把表示出（即求的解析式）；（II）设数列的首项，前项和满足：，求数列通项公式.-11-【知识点】数列递推式；平面向量共线（平行）的坐标表示D1F2【答案】【解析】(I)f（x）=（0＜x＜1）(II)an=解析：（1）∵，∴∵，∥，∴x﹣y（1+x）=0，∴即函数的解析式为：f（x）=（0＜x＜1）；（2）当n≥2时，由Sn=f（Sn﹣1）=，则又S1=a1=1，那么数列{}是首项和公差都为1的等差数列，则，即Sn=，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=；n=1时，a1=1故an=．【思路点拨】（1）用分别表示，，再利用向量共线的条件，即可得到结论；（2）当n≥2时，由Sn=f（Sn﹣1）=，则，可得数列{}是首项和公差都为1的等差数列，由此即可求得数列的通项．【题文】18.（本题满分12分）已知直线.（I）若以点为圆心的圆与直线相切于点P，且点P在轴上，求该圆的方程；（II）若直线关于轴对称的直线与抛物线C：相切，求直线的方程和抛物线C的方程.-11-【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系H4H8【答案】【解析】(I)（x﹣2）2+（y+1）2=2(II)当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=2y，当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=﹣2y解析：（1）解法1：依题意得点P的坐标为（﹣m，0）．∵以点M（2，﹣1）为圆心的圆与直线l相切与点P，∴MP⊥l．，解得m=﹣1．∴点P的坐标为（1，0）．设所求圆的半径r，则r2=|PM|2=1+1=2，∴所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=2．（2）解法1：将直线方程y=x+m中的y换成﹣y，可得直线l'的方程为y=﹣x﹣m．由得mx2+x+m=0，（m≠0）△=1﹣4m2，∵直线l'与抛物线相切∴△=0，解得．当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=2y，当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=﹣2y．【思路点拨】（1）：确定点P的坐标，进而可求圆的半径，从而可求圆的方程；（2）：设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想；【题文】19.（本题满分12分）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列.（I）求数列的通项公式；（II）设数列的前项和为，求证：.【知识点】数列的求和；等差数列的性质D2D4【答案】【解析】(I)an=4n+2(II)略解析：（Ⅰ）∵数列{an}是等差数列，且S5=70，∴5a1+10d=70，又a2，a7，a22成等比数列，-11-∴，∴，解得a1=6，d=4，或a1=14，d=0（舍），∴an=4n+2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=2n2+4n，∴==，∴=．∵Tn+1﹣Tn=，∴数列{Tn}是递增数列，∴【思路点拨】（Ⅰ）由已知条件推导出5a1+10d=70，，由此求出首项和公差，从而能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=2n2+4n，从而得到=，由此利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和Tn的值．【题文】20.（本题满分13分）已知函数.（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间上不是单调函数，求实数t的取值范围；（III）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【知识点】导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数研究函数的极值B9B12【答案】【解析】(I)f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减(II)＜t＜1(III)a≤2解析：（1）因为f（x）=，x＞0，则，当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值．（2）因为函数f（x）在区间（t，t+）（其中t＞0）上存在极值，所以，解得＜t＜1．-11-（3）不等式f（x）恒成立，即为≥a恒成立，记g（x）=，所以=令h（x）=x﹣lnx，则，∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g（x）]min=g（1）=2，所以a≤2．【思路点拨】因为f（x）=，x＞0，则，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（t，t+）（其中t＞0）上存在极值，能求出实数a的取值范围．不等式f（x）恒成立，即为≥a恒成立，构造函数g（x）=，利用导数知识能求出实数k的取值范围．【题文】21.（本题满分14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的.如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点.椭圆的长轴长是4，椭圆短轴长是1，点分别是椭圆的左焦点与右焦点.（I）求椭圆的方程；（II）过的直线交椭圆于点M，N，求面积的最大值.【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质H5H8-11-【答案】【解析】(I)椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；(II)解析：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，∴，即∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．联立：，得，即，∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，△F2MN的高即为点F2到直线的距离．∴△F2MN的面积，∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即△F2MN的面积的最大值为．【思路点拨】（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；-11-