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山东省泰安市新泰一中高二数学上学期期中试题理含解析

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2022-2022学年山东省泰安市新泰一中高二(上)期中数学试卷(理科)一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.)1.已知,给出下列四个结论:①a<b②a+b<ab③|a|>|b|④ab<b2其中正确结论的序号是()A.①②B.②④C.②③D.③④2.在△ABC中,BC=5,B=120°,AB=3,则△ABC的周长等于()A.7B.58C.49D.153.已知一个等差数列的前四项之和为21,末四项之和为67,前n项和为286,则项数n为()A.24B.26C.27D.284.已知x,y∈R,则“x+y=1”是“xy≤”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”在它的逆命题、否命题,逆否命题中,真命题的个数是()A.0B.1C.2D.36.在△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,那么△ABC的面积是()-21-\nA.2B.C.2或4D.或27.已知F1、F2是椭圆的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A、B两点,在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为()A.6B.5C.4D.38.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定9.已知x,y满足,则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为()A.(2,﹣2)B.(﹣4,0)C.(4,0)D.(7,3)10.已知a>0,b>0,,若不等式2a+b≥4m恒成立,则m的最大值为()A.10B.9C.8D.7二、填空题:(本大题5小题,每小题5分,共25分)11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(,),椭圆C的方程为__________.12.不等式x2﹣ax﹣b<0的解集是(2,3),则不等式bx2﹣ax﹣1>0的解集是__________.-21-\n13.已知Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,且=,(n∈N+)则+=__________.14.已知函数f(x)=﹣x2+2x+b2﹣b+1(b∈R),若当x∈时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是__________.15.下列命题中真命题为__________.(1)命题“∀x>0,x2﹣x≤0”的否定是“∃x≤0,x2﹣x>0”(2)在三角形ABC中,A>B,则sinA>sinB.(3)已知数列{an},则“an,an+1,an+2成等比数列”是“=an•an+2”的充要条件(4)已知函数f(x)=lgx+,则函数f(x)的最小值为2.三、解答题:(本大题共6题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)16.在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且,(1)求角C的值;(2)若a=1,△ABC的面积为,求c的值.17.已知p:2x2﹣3x+1≤0,q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0(1)若a=,且p∧q为真,求实数x的取值范围.(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18.等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn.等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,a3=b3.(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式;-21-\n(Ⅱ)求数列{}的前n项和Tn.19.经过长期观察得到:在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大,最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?20.(13分)设的△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=1,b=2,cosC=.(1)求c的值;(2)求cos(A﹣C)的值.21.(14分)设数列{an}前n项和为Sn,且Sn+an=2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=a1,bn=,n≥2求证{}为等比数列,并求数列{bn}的通项公式;(Ⅲ)设cn=,求数列{cn}的前n和Tn.-21-\n2022-2022学年山东省泰安市新泰一中高二(上)期中数学试卷(理科)一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.)1.已知,给出下列四个结论:①a<b②a+b<ab③|a|>|b|④ab<b2其中正确结论的序号是()A.①②B.②④C.②③D.③④【考点】命题的真假判断与应用.【专题】不等式的解法及应用.【分析】由条件可b<a<0,然后根据不等式的性质分别进行判断即可.【解答】解:∵,∴b<a<0.①a<b,错误.②∵b<a<0,∴a+b<0,ab>0,∴a+b<ab,正确.③∵b<a<0,∴|a|>|b|不成立.④ab﹣b2=b(a﹣b),∵b<a<0,∴a﹣b>0,即ab﹣b2=b(a﹣b)<0,∴ab<b2成立.∴正确的是②④.故选:B.【点评】本题主要考查不等式的性质,利用条件先判断b<a<0是解决本题的关键,要求熟练掌握不等式的性质及应用.2.在△ABC中,BC=5,B=120°,AB=3,则△ABC的周长等于()-21-\nA.7B.58C.49D.15【考点】余弦定理.【专题】解三角形.【分析】由BC=a,AB=c的长,以及sinB的值,利用余弦定理求出b的值,即可确定出周长.【解答】解:∵在△ABC中,BC=a=5,B=120°,AB=c=3,∴由余弦定理得:AC2=b2=a2+c2﹣2ac•cosB=25+9+15=49,解得:AC=b=7,则△ABC的周长为a+b+c=5+3+7=15.故选D【点评】此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.3.已知一个等差数列的前四项之和为21,末四项之和为67,前n项和为286,则项数n为()A.24B.26C.27D.28【考点】等差数列的前n项和.【专题】计算题.【分析】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于=22,再由前n项和为286==11n,求得n的值.【解答】解:由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于=22,再由前n项和为286==11n,n=26,故选B.【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,前n项和公式的应用,求得首项与末项之和等于=22,是解题的关键,属于基础题.4.已知x,y∈R,则“x+y=1”是“xy≤”的()-21-\nA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】简易逻辑.【分析】由x+y=1,推出xy≤,判定充分性成立;由xy≤,不能得出x+y=1,判定必要性不成立即可.【解答】解:∵x,y∈R,当x+y=1时,y=1﹣x,∴xy=x(1﹣x)=x﹣x2=﹣≤,∴充分性成立;当xy≤时,如x=y=0,x+y=0≠1,∴必要性不成立;∴“x+y=1”是“xy≤”的充分不必要条件.故选:A.【点评】本题考查了充分与必要条件的判定问题,解题时应判定充分性、必要性是否都成立,然后下结论,是基础题.5.已知命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”在它的逆命题、否命题,逆否命题中,真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【考点】四种命题的真假关系;等比数列的通项公式.【专题】简易逻辑.【分析】首先,写出给定命题的逆命题、否命题、逆否命题,然后判断其真假即可.【解答】解:若a,b,c成等比数列,则b2=ac,为真命题逆命题:若b2=ac,则a,b,c成等比数列,为假命题,否命题:若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac,为假命题,逆否命题:若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列,为真命题,在它的逆命题、否命题,逆否命题中为真命题的有1个,故选B.【点评】本题重点考查了四种命题及其真假判断,属于中档题.-21-\n6.在△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,那么△ABC的面积是()A.2B.C.2或4D.或2【考点】向量在几何中的应用.【专题】计算题.【分析】先根据正弦定理求出角C,从而求出角A,再根据三角形的面积公式S=bcsinA进行求解即可.【解答】解:由c=AB=2,b=AC=2,B=30°,根据正弦定理=得:sinC===,∵∠C为三角形的内角,∴∠C=60°或120°,∴∠A=90°或30°在△ABC中,由c=2,b=2,∠A=90°或30°则△ABC面积S=bcsinA=2或.故选D.【点评】本题主要考查了正弦定理,三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键,属于中档题.7.已知F1、F2是椭圆的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A、B两点,在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为()A.6B.5C.4D.3【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题.【分析】由椭圆的定义得,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=16,由此可求出|AB|的长.-21-\n【解答】解:由椭圆的定义得两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=16,又因为在△AF1B中,有两边之和是10,所以第三边的长度为:16﹣10=6故选A.【点评】本题考查椭圆的基本性质和应用,解题时要注意公式的合理运用.本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与其他曲线的关系.要求学生综合掌握如直线、椭圆、抛物线等圆锥曲线的基本性质.8.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【考点】正弦定理.【专题】解三角形.【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1,可得A=,由此可得△ABC的形状.【解答】解:△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,即sin(B+C)=sinAsinA,可得sinA=1,故A=,故三角形为直角三角形,故选B.【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题.9.已知x,y满足,则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为()A.(2,﹣2)B.(﹣4,0)C.(4,0)D.(7,3)-21-\n【考点】简单线性规划.【专题】计算题;作图题;不等式的解法及应用.【分析】由题意作出其平面区域,将z=y﹣x化为y=x+z,z相当于直线y=x+z的纵截距,由图象可得最优解.【解答】解:由题意作出其平面区域,将z=y﹣x化为y=x+z,z相当于直线y=x+z的纵截距,则由平面区域可知,使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为(4,0);故选C.【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.10.已知a>0,b>0,,若不等式2a+b≥4m恒成立,则m的最大值为()A.10B.9C.8D.7【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【专题】计算题;不等式的解法及应用.-21-\n【分析】利用2a+b=4(2a+b)(),结合基本不等式,不等式2a+b≥4m恒成立,即可求出m的最大值.【解答】解:∵a>0,b>0,∴2a+b>0∵,∴2a+b=4(2a+b)()=4(5+)≥36,∵不等式2a+b≥4m恒成立,∴36≥4m,∴m≤9,∴m的最大值为9,故选:B.【点评】本题主要考查了恒成立问题与最值的求解的相互转化,解题的关键是配凑基本不等式成立的条件.二、填空题:(本大题5小题,每小题5分,共25分)11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(,),椭圆C的方程为+y2=1.【考点】椭圆的标准方程.【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用椭圆的定义求出a,从而可得b,即可求出椭圆C的方程.【解答】解:∵椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(,),∴2a=|PF1|+|PF2|=2.∴a=.又由已知c=1,∴b=1,-21-\n∴椭圆C的方程为+y2=1.故答案为:+y2=1.【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质,正确运用椭圆的定义是关键.12.不等式x2﹣ax﹣b<0的解集是(2,3),则不等式bx2﹣ax﹣1>0的解集是(﹣,﹣).【考点】一元二次不等式的应用.【专题】计算题.【分析】根据不等式x2﹣ax﹣b<0的解为2<x<3,得到一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2,x2=3,利用根据根与系数的关系可得a=5,b=﹣6,因此不等式bx2﹣ax﹣1>0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1>0,解之即得﹣<x<﹣,所示解集为(﹣,﹣).【解答】解:∵不等式x2﹣ax﹣b<0的解为2<x<3,∴一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2,x2=3,根据根与系数的关系可得:,所以a=5,b=﹣6;不等式bx2﹣ax﹣1>0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1>0,整理,得6x2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,解之得﹣<x<﹣∴不等式bx2﹣ax﹣1>0的解集是(﹣,﹣)故答案为:(﹣,﹣)【点评】本题给出含有字母参数的一元二次不等式的解集,求参数的值并解另一个一元二次不等式的解集,着重考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程根与系数的关系等知识点,属于基础题.-21-\n13.已知Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,且=,(n∈N+)则+=.【考点】数列的求和.【专题】计算题.【分析】由等差数列的性质,知+==,由此能够求出结果.【解答】解:∵Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,且=,(n∈N+),∴+====.故答案为:.【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.14.已知函数f(x)=﹣x2+2x+b2﹣b+1(b∈R),若当x∈时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞).【考点】一元二次不等式的解法.【专题】不等式的解法及应用.【分析】考查函数f(x)的图象与性质,得出函数f(x)在上是单调增函数,由f(x)min>0求出b的取值范围即可.【解答】解:∵函数f(x)=﹣x2+2x+b2﹣b+1的对称轴为x=1,且开口向下,∴函数f(x)在上是单调递增函数,而f(x)>0恒成立,-21-\n∴f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣2+b2﹣b+1>0,解得b<﹣1或b>2,∴b的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞).故答案为:(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞).【点评】本题考查了利用函数的图象与性质求不等式的解集的问题,解题时应熟记基本初等函数的图象与性质,是基础题.15.下列命题中真命题为(2).(1)命题“∀x>0,x2﹣x≤0”的否定是“∃x≤0,x2﹣x>0”(2)在三角形ABC中,A>B,则sinA>sinB.(3)已知数列{an},则“an,an+1,an+2成等比数列”是“=an•an+2”的充要条件(4)已知函数f(x)=lgx+,则函数f(x)的最小值为2.【考点】命题的真假判断与应用.【专题】简易逻辑.【分析】(1),写出命题“∀x>0,x2﹣x≤0”的否定,可判断(1);(2),在三角形ABC中,利用大角对大边及正弦定理可判断(2);(3),利用充分必要条件的概念可分析判断(3);(4),f(x)=lgx+,分x>1与0<x<1两种情况讨论,利用对数函数的单调性质可判断(4).【解答】解:对于(1),命题“∀x>0,x2﹣x≤0”的否定是“∃x>0,x2﹣x>0”,故(1)错误;对于(2),在三角形ABC中,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB,故(2)正确;对于(3),数列{an}中,若an,an+1,an+2成等比数列,则=an•an+2,即充分性成立;反之,若=an•an+2,则数列{an}不一定是等比数列,如an=0,满足=an•an+2,但该数列不是等比数列,即必要性不成立,故(3)错误;对于(4),函数f(x)=lgx+,则当x>1时,函数f(x)的最小值为2,当0<x<1时,f(x)=lgx+<0,故(4)错误.-21-\n综上所述,只有(2)正确,故答案为:(2).【点评】本题考查命题的真假判断与应用,综合考查命题的否定、正弦定理的应用及等比数列的性质、充分必要条件的概念及应用,考查对数函数的性质,属于中档题.三、解答题:(本大题共6题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)16.在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且,(1)求角C的值;(2)若a=1,△ABC的面积为,求c的值.【考点】正弦定理.【专题】解三角形.【分析】(1)在锐角△ABC中,由及正弦定理得求出,从而求得C的值.(2)由面积公式求得b=2,由余弦定理求得c2的值,从而求得c的值.【解答】解:(1)在锐角△ABC中,由及正弦定理得,,…∵sinA≠0,∴,∵△ABC是锐角三角形,∴.…(2)由面积公式得,,∵,∴b=2,….由余弦定理得,c2=a2+b2﹣2abcosC=,∴.…【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,已知三角函数值求角的大小,属于中档题.17.已知p:2x2﹣3x+1≤0,q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0(1)若a=,且p∧q为真,求实数x的取值范围.(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【考点】复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】简易逻辑.-21-\n【分析】(1)先解出p,q下的不等式,从而得到p:,q:a≤x≤a+1,所以a=时,p:.由p∧q为真知p,q都为真,所以求p,q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围;(2)由p是q的充分不必要条件便可得到,解该不等式组即得实数a的取值范围.【解答】解:p:,q:a≤x≤a+1;∴(1)若a=,则q:;∵p∧q为真,∴p,q都为真;∴,∴;∴实数x的取值范围为;(2)若p是q的充分不必要条件,即由p能得到q,而由q得不到p;∴,∴;∴实数a的取值范围为.【点评】考查解一元二次不等式,p∧q真假和p,q真假的关系,以及充分不必要条件的概念.18.等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn.等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,a3=b3.(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前n项和Tn.【考点】数列的求和;等差数列的性质.【专题】等差数列与等比数列.-21-\n【分析】(Ⅰ)设{an}公差为d,数列{bn}的公比为q,由已知可得,由此能求出数列{an}与{bn}的通项公式.(Ⅱ)由,得,由此利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和Tn.【解答】解:(Ⅰ)设{an}公差为d,数列{bn}的公比为q,由已知可得,又q>0,∴,∴an=3+3(n﹣1)=3n,.(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{an}中,a1=3,an=3n,∴,∴,∴Tn=(1﹣)==.【点评】本题考查数列{an}与{bn}的通项公式和数列{}的前n项和Tn的求法,是中档题,解题时要注意裂项求和法的合理运用.19.经过长期观察得到:在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为-21-\n(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大,最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?【考点】其他不等式的解法;根据实际问题选择函数类型.【专题】计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.【分析】(1)将车流量y与汽车的平均速度v之间的函数关系y=(v>0)化简为y=,应用基本不等式即可求得v为多少时,车流量最大及最大车流量.(2)依题意,解不等式>10,即可求得答案.【解答】解:由题意有y==≤=当且仅当v=,即v=30时上式等号成立,此时ymax=≈11.3(千辆/小时)(2)由条件得>10,整理得v2﹣68v+900<0,即(v﹣50)(v﹣18)<0,∴18<v<50故当v=30千米/小时时车流量最大,且最大车流量为11.3千辆/小时若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在18<v<50所表示的范围内.【点评】本题考查分式不等式的解法,突出考查基本不等式的应用,考查转化思想方程思想,考查理解与运算能力,属于中档题.20.(13分)设的△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=1,b=2,cosC=.(1)求c的值;(2)求cos(A﹣C)的值.-21-\n【考点】余弦定理;两角和与差的余弦函数.【专题】解三角形.【分析】(1)利用余弦定理列出关系式,将a,b,cosC的值代入即可求出c的值;(2)由cosC的值求出sinC的值,由正弦定理列出关系式,将a,c,sinC的值代入求出sinA的值,进而求出cosA的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简,将各自的值代入计算即可求出值.【解答】解:(1)∵△ABC中,a=1,b=2,cosC=,∴由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4,则c=2;(2)∵cosC=,∴sinC==,∵a=1,b=c=2,∴由正弦定理=得:=,解得:sinA=,∵a<b,∴A<B,即A为锐角,∴cosA==,则cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC=×+×=.【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解本题的关键.21.(14分)设数列{an}前n项和为Sn,且Sn+an=2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=a1,bn=,n≥2求证{}为等比数列,并求数列{bn}的通项公式;(Ⅲ)设cn=,求数列{cn}的前n和Tn.-21-\n【考点】数列递推式;数列的求和.【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)由数列递推式可得Sn+1+an+1=2,与原数列递推式作差可得数列{an}是等比数列,则数列{an}的通项公式可求;(Ⅱ)由b1=a1求得b1,把bn=变形可得{}为等比数列,求其通项公式后可得数列{bn}的通项公式;(Ⅲ)把{an},{bn}的通项公式代入cn=,利用错位相减法求数列{cn}的前n和Tn.【解答】(Ⅰ)解:由Sn+an=2,得Sn+1+an+1=2,两式相减,得2an+1=an,∴(常数),∴数列{an}是等比数列,又n=1时,S1+a1=2,∴;(Ⅱ)证明:由b1=a1=1,且n≥2时,bn=,得bnbn﹣1+3bn=3bn﹣1,∴,∴{}是以1为首项,为公差的等差数列,∴,故;(Ⅲ)解:cn==,,,以上两式相减得,-21-\n==.∴.【点评】本题考查数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了错位相减法求数列的和,是中档题.-21-

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所属: 高中 - 语文
发布时间:2022-08-25 20:35:09 页数:21
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文章作者:U-336598

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