广东省2022学年广州市仲元中学高一上期中考试数学试题

广东省广州市仲元中学2022-2022学年高一上期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合M={-1，0，1}，集合N={0，1，2}，则M∪N等于（　　）A.{0,1}B.{−1,0，1}C.{0,1，2}D.{−1,0，1，2}2.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）A.{2}B.{4,6}C.{1,3，5}D.{4,6，7，8}3.下列各对函数中，图象完全相同的是（　　）A.y=x与y=(3| x |)3B.y=(x)2与y=| x |C.y=xx与y=x0D.y=x+1x2−1与y=1x−14.函数y=2x−3x−2的定义域是（　　）A.[32,+∞)B.[32,2)∪(2,+∞)C.(32,2)∪(2,+∞)D.(−∞,2)∪(2,+∞)5.下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（　　）A.y=(12)xB.y=1xC.y=−x3D.y=log3(−x)6.若函数f（x）=（a2-a-2）x2+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，则（　　）A.a=2或a=−1B.a=2C.a=−1D.a不存在7.已知f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x2+2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（　　）A.f(x)=−x(x+2)B.f(x)=x(x−2)C.f(x)=−x(x−2)D.f(x)=x(x+2)8.若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f （1）=-2f （1.5）=0.625f （1.25）=-0.984f （1.375）=-0.260f （1.4375）=0.162f （1.40625）=-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（　　）A.1.2B.1.3C.1.4D.1.59.若函数y=ax+b-1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，则有（　　）A.a>1且b≤0B.a>1且b≤1C.0<a<1且b≤0d.0<a<1且b≤110.已知a=5log23.4，b=5log43.6，c=（15）log70.3，则（>a>cB.a>c>bC.c>a>bD.a>b>c11.函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（　　）11/12A.B.C.D.1.已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）=log12(x+1)，x∈[0，1)1−|x−3|，x∈[1，+∞)，则关于x的函数y=f（x）-a，（-1＜a＜0）的所有零点之和为（　　）A.2a−1B.2−a−1C.1−2−aD.1−2a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）2.函数y=ax-1-5（a＞0且a≠1）的图象恒过定点______．3.已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x-x2）}，则M∩N=______．4.方程4x-2x-1-3=0的解是______．5.已知f(x)=logax,x>1(3a−1)x+4a,x≤1是R上的减函数，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）6.计算下列各式：（1）（0.027）23+（27125）−13-（279）0.5（2）lg25+23lg8+lg5•lg20+（lg2）27.已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|1≤x≤6}，C={x|m+1≤x≤2m}．（Ⅰ）求A∩B．（Ⅱ）若B∪C=B，求实数m的取值范围．8.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x（1）求函数f（x）的解析式，并画出函数f（x）的图象．（2）根据图象写出的单调区间和值域．11/121.已知函数f（x）=x1+x2是定义在（-1，1）上的函数．（1）用定义法证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；（2）解不等式f（x-1）+f（x）＜0．2.已知函数f（x）=lnx+1x−1．（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）对于x∈[2，6]，f（x）＞lnm(x−1)(7−x)恒成立，求实数m的取值范围．3.已知函数f（x）=1-2ax-a2x（a＞1）（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7，求a的值和函数f（x）的最大值．11/1211/12答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为M={-1，0，1}，N={0，1，2}，所以M∪N={-1，0，1}∪{0，1，2}={-1，0，1，2}．故选：D．集合M和集合N都是含有三个元素的集合，把两个集合的所有元素找出写在花括号内即可，注意不要违背集合中元素的互异性．本题考查了并集及其运算，考查了并集的概念，是会考题型，是基础题．2.【答案】B【解析】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，∵CUA={4，6，7，8}，∴（CUA）∩B={4，6}．故选：B．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，根据集合的运算求解即可．本题考查集合的基本运算和韦恩图，属基本题．3.【答案】C【解析】解：对于A、∵y=x的定义域为R，的定义域为R．两个函数的对应法则不相同，∴不是同一个函数．对于B、∵的定义域[0，+∞），y=|x|的定义域均为R．∴两个函数不是同一个函数．对于C、∵的定义域为R且x≠0，y=x0的定义域为R且x≠0．对应法则相同，∴两个函数是同一个函数．对于D、的定义域是x≠±1，的定义域是x≠1，定义域不相同，∴不是同一个函数．故选：C．先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数，需要两个条件：①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足．4.【答案】B【解析】解：要使原式有意义只需：，解得且x≠2，11/12故函数的定义域为[）∪（2，+∞）．故选：B．由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出x的不等式组，求解即可．求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的x的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．5.【答案】C【解析】解：A中的函数是指数函数，不符合题意；B中的函数在定义域内不具有单调性，故不对；C中的函数是奇函数，且在定义域内是减函数，是正确选项；D中的函数定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选：C．根据奇函数的定义与函数的单调性对四个选项逐一判断，不难得出答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，解题关键根据每个函数的解析式研究其定义域的对称性及函数图象的对称性以及函数的单调性是否是递减的性质．6.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=（a2-a-2）x2+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，可判断必须为一次函数．∴a2-a-2=0，且a+1≠0即a=2，故选：B．函数f（x）=（a2-a-2）x2+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，可判断必须为一次函数．根据条件可得答案．本题考查了函数的性质，对函数解析式的熟练理解掌握．7.【答案】D【解析】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），当x≥0时，f（x）=-x2+2x，设x＜0，则-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）2+2（-x）]=x2+2x，故选：D．f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x2+2x，设x＜0时则-x＞0，转化为已知求解．本题考查了运用奇偶性求解析式，注意自变量的转化．8.【答案】C【解析】解：由图中参考数据可得f（1.43750）＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1，11/12所以近似根为1.4故选：C．由图中参考数据可得f（1.43750＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1可得答案．本题本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．9.【答案】C【解析】解：当0＜a＜1时，y=ax的图象经过第一二象限，且恒经过点（0，1），∵函数y=ax+b-1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，∴y=ax的图象向下平移大于等于一个单位，即1-b≥1，即b≤0，当a＞1时，函数，y=ax的图象经过第一二象限，无论如何平移都进过第一象限，综上所述，函数y=ax+b-1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，则有0＜a＜1且b≤0．故选：C．根据指数函数的图象和性质，以及图象的平移即可得到答案．本题主要考查了指数函数的图象的性质和图象的平移，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：a=，b=，c=（）=5，∵log23.4＞＞=l．∴a＞b＞c．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A．∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．11/12对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．12.【答案】B【解析】解：作函数f（x）与y=a的图象如下，结合图象可知，函数f（x）与y=a的图象共有5个交点，故函数F（x）=f（x）-a有5个零点，设5个零点分别为b＜c＜d＜e＜f，∴b+c=2×（-3）=-6，e+f=2×3=6，=a，故x=-1+2-a，即d=-1+2-a，故b+c+d+e+f=-1+2-a，故选：B．作函数f（x）与y=a的图象，从而可得函数F（x）=f（x）-a有5个零点，设5个零点分别为b＜c＜d＜e＜f，从而结合图象解得．本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．13.【答案】（1，-4）【解析】解：对于函数y=ax-1-5（a＞0且a≠1），令x-1=0，求得x=1，y=-4，可得它的图象恒过定点（1，-4），故答案为：（1，-4）．令幂指数等于零，求得x、y的值，可得图象恒过定点的坐标．本题主要考查指数函数的图象恒过定点问题，属于基础题．14.【答案】（1，2）【解析】解：集合M={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}=（1，+∞），N={x|y=lg（2x-x2）}={x|2x-x2＞0}={x|0＜x＜2}=（0，2），则M∩N=（1，2）．故答案为：（1，2）．11/12求定义域和值域得出集合M、N，根据交集的定义写出M∩N．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：因为4x-2x-1-3=0，所以2×（2x）2-2x-6=0，所以2x=-（舍）或2x=2，解得x=1，故答案为：由二次方程的解法得：因为4x-2x-1-3=0，所以2×（2x）2-2x-6=0，所以2x=-（舍）或2x=2，解得x=1，得解本题考查了二次方程的解法，属中档题16.【答案】[17，13)【解析】解：由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）=（3a-1）x+4a在（-∞，1]，函数h（x）=logax在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1）∴∴故答案为：由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）=（3a-1）x+4a在（-∞，1]，函数h（x）=logax在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1），代入解不等式可求a的范围本题主要考查了分段函数的单调性的应用，解题的关键主要应用一次函数与对数函数的单调性，要注意在端点值1处的处理．17.【答案】解：（1）原式=0.22+53−53=0.22；（2）原式=2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）2=2+lg2•lg5+（lg5）2+lg2•lg5+（lg2）2=2+lg5•（lg2+lg5）+lg2•（lg5+lg2）=2+lg5+lg2=2+1=3．【解析】（1）进行分数指数幂的运算即可；11/12（2）进行对数式的运算即可．考查分数指数幂和对数的运算．18.【答案】解：（Ⅰ）∵A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|1≤x≤6}，∴A∩B={x|3≤x≤6}；（Ⅱ）∵B∪C=B，∴C⊆B，当C=∅时，则有m+1＞2m，即m＜1；当C≠∅时，则有m+1≤2mm+1≥12m≤6，即1≤m≤3，综上所述，m的取值范围是m≤3．【解析】（Ⅰ）由A与B，求出两集合的交集即可；（Ⅱ）由B与C的并集为B，得到C为B的子集，分C为空集与不为空集两种情况求出m的范围即可．此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．19.【答案】解：（1）由x≥0时，f（x）=x2-2x，当x＜0时，-x＞0，∴f（-x）=x2+2x又函数f（x）为偶函数，∴f（x）=x2+2x-------------3’故函数的解析式为f(x)=x2+2x(x<0)x2−2x(x≥0)-------------4’函数图象如下图所示：--------------7’（2）由函数的图象可知，函数f（x）的单调递增区间为[-1，0]、[1，+∞）单调递减区间为（-∞，-1]、[0，1]，函数f（x）的值域为[-1，+∞）------12’【解析】（1）当x＜0时，-x＞0，由已知中当x≥0时，f（x）=x2-2x，及函数f（x）是定义在R上的偶函数，可求出当x＜0时函数的解析式，进而得到答案，再由二次函数的图象画法可得到函数的草图；（2）根据图象下降对应函数的单调递减区间，图象上升对应函数的单调递11/12增区间，分析出函数值的取值范围后可得到答案本题考查的知识点是函数图象，函数的单调区间，函数的值域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．20.【答案】解：（1）证明：对于任意的x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，则：f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，∵-1＜x1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，x1x2＜1，∴1-x1x2＞0．∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数在（-1，1）上是增函数．（2）由函数的解析式及（1）知，f（x）是奇函数且在（-1，1）上递增，f（x-1）+f（x）＜0，即：f（x-1）＜-f（x）=f（-x），结合函数的定义域和单调性可得关于实数x的不等式：−1＜x−1＜1−1＜x＜1x−1＜−x，求解关于实数x的不等式组可得：0＜x＜12，则不等式的解集为(0，12)．【解析】（1）利用函数的解析式结合函数的单调性的定义证明函数单调递增即可；（2）由函数的奇偶性结合（1）的结论得到关于实数x的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．本题考查了函数奇偶性的判断，函数单调性的判断，抽象函数的解法等，属于中档题．21.【答案】解：（1）函数f（x）=lnx+1x−1，∴x+1x−1＞0，解得：x＞1或x＜-1，函数f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜-1}．f（x）=lnx+1x−1，那么：f（-x）=ln1−x−x−1=ln（x−1x+1）=ln(x+1x−1)−1=-lnx+1x−1=-f（x）故函数f（x）是奇函数；（2）由题意：x∈[2，6]，∴（x-1）（7-x）＞0，∵m(x−1)(7−x)＞0，可得：m＞0．即：lnx+1x−1＞lnm(x−1)(7−x)恒成立，整理：lnx+1x−1-lnm(x−1)(7−x)＞0，化简：ln(x+1)(7−x)m＞0，可得：(x+1)(7−x)m＞1，（x+1）（7-x）-m＞0，即：-x2+6x+7＞m，（x∈[2，6]）恒成立，只需m小于-x2+6x+711/12的最小值．令：y=-x2+6x+7=-（x-3）2+16开口向下，x∈[2，6]，当x=6时，y取得最小值，即ymin=−(6−3)2+16=7，所以：实数m的取值范围（0，7）．【解析】（1）对数函数的指数大于0，从而求解定义域．根据函数的奇偶性进行判断即可．（2）利用对数函数的性质化简不等式，转化为二次函数的问题求解m的取值范围．本题考查了对数函数的性质的运用能力和化简计算能力．属于基础题．22.【答案】解：（Ⅰ）设ax=t＞0∴y=-t2-2t+1=-（t+1）2+2∵t=-1∉（1，+∞），∴y═-t2-2t+1在（0，+∞）上是减函数∴y＜1，所以f（x）的值域为（-∞，1）；（Ⅱ）∵x∈[-2，1]a＞1∴t∈[1a2，a]由t=-1∉[1a2，a]∴y=-t2-2t+1在[1a2，a]上是减函数-a2-2a+1=-7∴a=2或a=-4（不合题意舍去）当t=1a2=14时y有最大值，即ymax=-（14）2-2×14+1=716．【解析】（Ⅰ）先进行换元，还原以后写出新变量t的取值范围，则函数变化为关于t的二次函数，问题转化为二次函数的单调性和值域，根据二次函数的性质，得到结果．（Ⅱ）根据所给的x的范围，写出t的范围，根据二次函数的性质，写出函数在定义域上的最值，根据最小值的结果，做出a的值，进而得到函数的最大值．本题考查函数的最值，考查二次函数的性质，考查指数函数的定义域，是一个综合题目，这种题目可以作为压轴题目的一部分．11/12</a<1且b≤0d.0<a<1且b≤110.已知a=5log23.4，b=5log43.6，c=（15）log70.3，则（>