广东省2022学年度深圳市南头中学第一学期期中考试高一数学试卷

广东省深圳市南头中学2022-2022学年度第一学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列关系正确的是（　　）A.⌀⊆{0}B.⌀∈{0}C.0∈⌀D.{0}⊆⌀2.函数f（x）=1+x+1x的定义域是（　　）A.[−1,+∞)B.(−∞,0)∪(0,+∞)C.[−1,0)∪(0,+∞)D.R3.设全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={x|x-1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）A.{x|x≤−1或x≥3}B.{x|x<1或x≥3}C.{x|x≤1}D.{x|x≤−1}4.已知函数f（x）=x2,x<0x+1,x≥0，则f[f（-2）]的值为（　　）A.1B.2C.4D.55.已知函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，则下列结论中不正确的是（　　）A.f(x)在(−∞,0]和[0,+∞)上的单调性相反B.图象过原点，且关于原点对称C.f(2022)+f(−2022)=f(0)D.如果x>0时，有f(x)>0成立，那么x<0时，f(x)<0也成立6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　）A.y=xB.y=1xC.y=−x3D.y=(12)x7.命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（　　）A.∀n∈N*，f(n)>nB.∀n∉N*，f(n)>nC.∃n∈N*，f(n)>nD.∃n∉N*，f(n)>n8.函数f（x）=1+log2x与g（x）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）A.B.C.D.9.如果不等式|x-a|＜1成立的充分不必要条件是12＜x＜32，则实数a的取值范围是（　　）A.12<a<32B.12≤a≤32C.a>32或a<12D.a≥32或a≤1210.已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（　　）A.(a−1)(b−1)<0B.(a−1)(a−b)>0C.(b−1)(b−a)<0D.(b−1)(b−a)>011.一个玩具厂一年中12月份的产量是1月份产量的a倍，那么该玩具厂这一年中产量的月平均增长率是（　　）11/11\nA.11a−1B.12a−1C.a11D.a121.已知正实数x，y满足log2（x+7y）=0，则能使得不等式log2x+log2y≤m恒成立的整数m的最小值为（　　）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）2.已知函数y=ax+lne（a＞0，且a≠1，常数e=2.71828…为自然对数的底数）的图象恒过定点P（m，n），则m-n=______．3.已知函数f（x）为奇函数，且当x∈（-∞，0）时，f（x）=x（1-x），则f（3）=______．4.设a=log0.40.3，b=0.40.4，c=0.40.3，将a，b，c从小到大依次排列为______．5.函数y=ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）6.计算下列各式的值：（1）(235)0+2−2(214)−12−(0.01)0.5（2）2log214+lg120−lg5+(2−1)lg1．7.已知集合A={x|（x-a）[x-（a+3）]≤0}（a∈R），B={x|x2-4x-5＞0}．（ 1 ） 若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（ 2 ） 若A∪B=B，求实数a的取值范围．8.已知函数f(x)=2x−mx的图象过点P（1，1）（1）求实数m的值，并证明函数f（x）为奇函数；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．11/11\n1.某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k（k＞0），若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．（1）求k的值；（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．2.本小题满分12分，已知函数f(x)=2−x+1x2−1，集合A={x|m-2＜x＜2m}．（1）求函数f（x）的定义域D；（2）若“x∈D”是“x∈A”的必要条件，求实数m的取值范围．3.已知a＞0，函数f(x)=log2(1x+a)．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若命题“∀x∈（0，2），f（x+a）＞f（a2）”为真命题，求实数a的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求实数a的取值范围．11/11\n答案和解析1.【答案】A【解析】解：空集是任何集合的子集；∴∅⊆{0}正确．故选：A．根据空集是任何集合的子集即可判断出选项A正确．考查集合元素的概念，元素与集合的关系，空集是任何集合的子集．2.【答案】C【解析】解：由，解得：x≥-1且x≠0．∴函数f（x）=+的定义域是[-1，0）∪（0，+∞）．故选：C．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合即可得到函数的定义域．本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3.【答案】D【解析】解：由图象可知阴影部分对应的集合为∁U（A∪B），由x2-2x-3＜0得-1＜x＜3，即A=（-1，3），∵B={x|x≥1}，∴A∪B=（-1，+∞），则∁U（A∪B）=（-∞，-1]，故选：D．由阴影部分表示的集合为∁U（A∪B），然后根据集合的运算即可．本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：f（-2）=4f[f（-2）]=f（4）=4+1=5故选：D．-2在x＜0这段上代入这段的解析式，将4代入x≥0段的解析式，求出函数值．本题考查求分段函数的函数值：据自变量所属范围，分段代入求．5.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若f（x）为奇函数，则f（x）在（-∞，0]和[0，+∞）上的单调性相同，A错误；对于B，若f（x）为定义在R上奇函数，则其图象过原点，且关于原点对称，B正确；11/11\n对于C，若f（x）为奇函数，则f（-2022）=-f（2022），则f（-2022）+f（2022）=0，C正确；对于D，若x＞0时，有f（x）＞0成立，那么x＜0时，f（x）=-f（-x）＜0，C正确；故选：A．根据题意，结合函数单调性的定义和性质依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：y=x斜率为1，在定义域R上是增函数；y=在（-∞，0）和（0，+∞）上均是减函数，但当x＜0时，y＜0，当x＞0时，y＞0，故y=在定义域上不是减函数．（）-x=2x≠±（）x，故y=（）x为非奇非偶函数，故选：C．根据函数的奇偶性定义和单调区间判断．本题考查了基本初等函数的奇偶性和单调性，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．故选：C．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．8.【答案】D【解析】解：g（x）=2•（）x，∴g（x）为减函数，且经过点（0，2），排除B，C；f（x）=1+log2x为增函数，且经过点（，0），排除A；故选：D．化简g（x）的解析式，利用函数的单调性和图象的截距进行判断．本题考查了函数图象的判断，一般从函数的单调性，特殊点等方面去判断，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：根据题意，不等式|x-a|＜1的解集是a-1＜x＜a+1，设此命题为p，命题，为q；则p的充分不必要条件是q，即q表示的集合是p表示集合的真子集；11/11\n则有，（等号不同时成立）；解可得；故选：B．一题意，解不等式|x-a|＜1得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式组则有，（等号不同时成立）；，解可得答案．本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，对于本题应注意得到的不等式的等号不同时成立，需要验证分析．10.【答案】D【解析】解：若a＞1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＞a＞1，此时b-a＞0，b＞1，即（b-1）（b-a）＞0，若0＜a＜1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＜a＜1，此时b-a＜0，b＜1，即（b-1）（b-a）＞0，综上（b-1）（b-a）＞0，故选：D．根据对数的运算性质，结合a＞1或0＜a＜1进行判断即可．本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础．11.【答案】A【解析】解：设月平均增长率为x，一月份的产量为1，∵一年中12月份的产量是1月份产量的a倍，∴（1+x）11=a，即1+x=，即x=-1，故选：A．设月平均增长率为x，建立方程关系，进行求解即可．本题主要考查指数幂的求解，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．12.【答案】B【解析】解：正实数x，y满足log2（x+7y）=0，∴x+7y=1．∴1≥2，化为：xy≤，当且仅当x=7y=时取等号．则不等式log2x+log2y≤m恒成立，化为：2m≥（xy）max，11/11\n∴2m≥．∴能使得不等式log2x+log2y≤m恒成立的正整数m的最小值为1．故选：B．正实数x，y满足log2（x+7y）=0，可得x+7y=1．利用基本不等式的性质可得：xy≤．不等式log2x+log2y≤m恒成立，化为：2m≥（xy）max，即可得出．本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】-2【解析】解：对于已知函数y=ax+lne（a＞0，且a≠1，常数e=2.71828…为自然对数的底数），令x=0求得y=2，可得函数的图象恒过定点（0，2），∵函数的图象经过定点P（m，n），∴m=0，n=2，则m-n=-2，故答案为：-2．令幂指数等于零，求得x、y的值，可得函数的象恒过定点P的坐标，从而得出结论．本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：根据题意，当x∈（-∞，0）时，f（x）=x（1-x），则f（-3）=（-3）×（1+3）=-12，又由函数f（x）为奇函数，则f（3）=-f（-3）=12，故答案为：12．根据题意，由函数的解析式求出f（-3）的值，结合函数的奇偶性可得f（3）的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15.【答案】b＜c＜a【解析】解：log0.40.3＞log0.40.4=1，0.40.4＜0.40.3＜0.40=1；∴b＜c＜a．故答案为：b＜c＜a．容易看出，，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数和指数函数的单调性，减函数的定义．16.【答案】12或32【解析】解：当a＞1时，y=ax在[1，2]上单调递增，故a2-a=，得a=；当0＜a＜1时，y=ax在[1，2]上单调递减，11/11\n故a-a2=，得a=．故a=或a=．答案或先研究函数的单调性，分两种情况讨论：①当a＞1时，y=ax在[1，2]上单调递增，②当0＜a＜1时，y=ax在[1，2]上单调递减，两个结果取并集．本题主要通过最值，来考查指数函数的单调性，一定记清楚，研究值域时，必须研究单调性．17.【答案】解：（1）原式=1+14×(23)−2×(−12)-0.1=1+16-110=1615．（2）原式=14+lg1205+1=14-2+1=-34．【解析】（1）利用指数运算性质即可得出．（2）利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：A={x|（x-a）[x-（a+3）]≤0}={x|a≤x≤a+3}，B={x|x2-4x-5＞0}={x|x＜-1或x＞5}，…（4分）（1）要使A∩B=∅，则需满足下列不等式组a≥−1a+3≤5，解此不等式组得-1≤a≤2，则实数a的取值范围为[-1，2]…（8分）（2）要使A∪B=B，即A是B的子集，则需满足a+3＜-1或a＞5，解得a＞5或a＜-4，即a的取值范围是{a|a＞5或a＜-4}…（12分）【解析】（1）先化简集合A，B，再根据A∩B=∅，即可求得a的值．（2）先求A∪B=B，即A是B的子集，即可求得a的取值范围．本题考查了集合间的关系和运算，深刻理解集合间的关系和运算法则是解决此题的关键．19.【答案】解：（1）根据题意，函数f(x)=2x−mx的图象过点P（1，1）则有1=2-m，解可得m=1，则f（x）=2x-1x，其定义域为{x|x≠0}，且f（-x）=2（-x）-1(−x)=-（2x-1x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数；（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）=2x-1x，则（0，+∞）上为增函数，证明：设0＜x111/11\n＜x2，则f（x1）-f（x2）=（2x1-1x1）-（2x2-1x2）=2（x1-x2）（x1x2+1x1x2），又由0＜x1＜x2，则（x1-x2）＜0，则f（x1）-f（x2）＜0，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．【解析】（1）根据题意，将P的坐标代入函数的解析式，可得1=2-m，解可得m的值，即可得函数f（x）的解析式，求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义分析可得结论；（2）根据题意，设0＜x1＜x2，由作差法分析可得结论．本题考查函数奇偶性、单调性的判断，关键是求出m的值，属于基础题．20.【答案】解：设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元，题中的比例系数设为k，每批购入x台，则共需分3600x批，每批费用2000x元．由题意知y=3600x×400+k×2000x，当x=400时，y=43600，解得k=120∴y=3600x×400+100x≥23600x×400×100x=24000（元）当且仅当3600x×400=100x，即x=120时等号成立．故只需每批购入120台，可以使资金够用．【解析】解答本题的关键是要求出运费和保管费的总费用y关于每批购入台数x的函数解析式，然后利用基本不等式进行解答．但由于储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总价值（不含运费）的比例系数未知，故我们要先根据若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费共43 600元，求出比例k．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．21.【答案】解：（1）要使f（x）有意义，则：x2−1>02−x≥0；解得x≤-1，或1＜x≤2；∴f（x）的定义域D={x|1＜x≤2，或x≤-1}；（2）∵“x∈D”是“x∈A”的必要条件；∴A⊆D；∴①A=∅时，m-2≥2m；∴m≤-2；11/11\n②A≠∅时，2m≤−1m>−2或m＞−2m−2≥12m≤2；解得−2＜m≤−12；∴实数m的取值范围为(−∞，−12]．【解析】（1）可看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足，从而得出D={x|1＜x≤2，或x≤-1}；（2）根据“x∈D”是“x∈A”的必要条件即可得出A⊆D，从而讨论A是否为空集：A=∅时，m-2≥2m；A≠∅时，或，解出m的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，必要条件和子集的概念，空集的定义．22.【答案】解：（1）当a=5时，f（x）＞0，即为log2（5+1x）＞0，可得5+1x＞1，即1+4xx＞0，解得x＞0或x＜-14，即原不等式的解集为（-∞，-14）∪（0，+∞）；（2）a＞0，函数f(x)=log2(1x+a)在x＞0递减，“∀x∈（0，2），f（x+a）＞f（a2）”为真命题，即有x+a＜a2在x∈（0，2）恒成立，可得a2-a≥2，解得a≥2；（3）由f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0得log2（1x+a）-log2[（a-4）x+2a-5]=0．即log2（1x+a）=log2[（a-4）x+2a-5]，即1x+a=（a-4）x+2a-5＞0，①则（a-4）x2+（a-5）x-1=0，即（x+1）[（a-4）x-1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，成立；当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，成立；当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=1a−4，若x=-1是方程①的解，则1x+a=a-1＞0，即a＞1，若x=1a−4是方程①的解，则1x+a=2a-4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a11/11\n≤2，或a=3或a=4．【解析】（1）运用对数的单调性和分式不等式的解法可得所求解集；（2）由a＞0，函数在x＞0递减，可得x+a＜a2在x∈（0，2）恒成立，由恒成立思想可得所求范围；（3）由对数方程的解法和分类讨论思想方法，可得所求范围．本题考查不等式的解法和不等式恒成立问题解法，以及函数方程的转化思想，考查分类讨论思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．11/11