广东省广州实验中学2022届高三数学上学期第二次阶段性考试试题理

2022-2022广东实验中学高三上学期第二次阶段考试题理科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合则（）A．B．C．D．2.设复数，则复数的虚部为（）A．B．C．iD．i3.已知等边三角形ABC，边长为1，则等于（）A．B．C．D．4．执行如图的程序框图，当k的值为2022时，则输出的S值为（）A．B．C．D．5.设等比数列的公比为，则“”是是递减数列的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.已知函数为定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①②y=f(-x)③y=xf(x)④y=f(x)-xA．①③B．②③C．①④D．②④-13-7．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的图象与y＝－1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos2x的图象()A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．设,则二项式展开式中的第4项为（）A．B．C．D．9.已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A．B．C．D．10.若等于（）A．B．C．D．11.甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，若甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为（）A．B．C．D．12.过抛物线的焦点且斜率为2的直线交C于A,B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则P的值为（）A．1B．2C．4D．8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.双曲线的离心率为。14．已知满足约束条件，且的最小值为6，则常数；-13-15．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且，则不等式的解集为．16.在中，已知角，，则边c=。第II卷三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知是一个公差大于0的等差数列，且满足，1）求数列的通项公式；2）若数列满足：，求数列的前项和。18.（本小题满分12分）某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．19．（本题满分12分）如左图，四边形中，是的中点，将左图沿直线折起，使得二面角为如右图.（1）求证：平面（2）求直线与平面所成角的余弦值.-13-20.（本题满分12分）已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为、，为正三角形且周长为6.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知圆:，若直线与椭圆只有一个公共点，且直线与圆相切于点；求的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数，.已知函数有两个零点，且.（1）求的取值范围；（2）证明随着的减小而增大；（3）证明随着的减小而增大.四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．（本大题10分）22．【选修4-1：几何证明选讲】如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，过点A作圆的切线交BC的延长线于点F．（1）求证：△ABE∽△ADC；（2）若BD=4CD=4CF=8，求△ABC的外接圆的半径．-13-23．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】直角坐标系中曲线C的参数方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）经过点M（2，1）作直线交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线的斜率．24．【选修4-5：不等式选讲】已知函数，k∈R，且的解集为．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且，求证：．2022高三11月第2次月考理科数学参考答案第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1～12CBCCDDBACABC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14．15．16.第II卷三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知是一个公差大于0的等差数列，且满足，1）求数列的通项公式；2）若数列满足：，求数列的前项和。解：1），……………1分……………2分-13-，……………4分2）由，得：又，（，……………5分两式相减得：……………6分又，则……………7分……………8分记……………9分相减得：则，……………11分……………12分18.（本小题满分12分）某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．解：（I）因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有8人，所以该班有8÷0.2=40人所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为-13-40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3．……………4分（II）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20……………5分，，，，……………10分所以ξ的分布列为X1617181920P所以．所以ξ的数学期望为．……………12分19．（本题满分12分）如左图，四边形中，是的中点，将左图沿直线折起，使得二面角为如右图.（1）求证：平面（2）求直线与平面所成角的余弦值.-13-20.（本题满分12分）已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为、，为正三角形且周长为6.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知圆:，若直线与椭圆只有一个公共点，且直线与圆相切于点；求的最大值．解：（Ⅰ）解：由题设得解得：，故的方程为.……………4分（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，由直线与圆相切，得①……………6分由，因为直线与椭圆相切，所以，得②，……………7分所以.……………8分-13-由，可得------------③……………10分由①②④，将④代入③得，……………11分当且仅当所以……………12分21．（本小题满分12分）已知函数，.已知函数有两个零点，且.（1）求的取值范围；（2）证明随着的减小而增大；（3）证明随着的减小而增大.（Ⅰ）解：由，可得.……………1分下面分两种情况讨论：（1）时在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意.……………2分（2）时，由，得.当变化时，，的变化情况如下表：＋0－↗↘这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.……………3分于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：-13-1°；2°存在，满足；3°存在，满足.由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.所以，的取值范围是.……………5分（Ⅱ）证明：由，有.设，由，知在上单调递增，在上单调递减.并且，当时，；当时，.由已知，满足，.由，及的单调性，可得，.对于任意的，设，，其中；，其中.因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得.又由，得.所以，随着的减小而增大.……………8分（Ⅲ）证明：由，，可得，.故.设，则，且解得，.所以，.①令，，则.-13-令，得.当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，，由此可得，故在上单调递增.因此，由①可得随着的增大而增大.而由（Ⅱ），随着的减小而增大，所以随着的减小而增大.……………12分四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．（本大题10分）22．【选修4-1：几何证明选讲】如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，过点A作圆的切线交BC的延长线于点F．（1）求证：△ABE∽△ADC；（2）若BD=4CD=4CF=8，求△ABC的外接圆的半径．解：（1）证明：∵AE是直径，∴…（1分）又∵∠AEB=∠ACD…（2分）∴△ABE∽△ADC…（4分）（2）解：∵过点A作圆的切线交BC的延长线于点F，∴AF2=FC•FB∴FA=2，…（5分）∴AD=2…（7分）∴AC=2…（8分）∴AB=6，…（9分）由（1）得∴AE=6-13-∴△ABC的外接圆的半径为3．…（10分）23．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】直角坐标系中曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）经过点M（2，1）作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的斜率．解答：解：（1）变形曲线C的参数方程可得，∵cos2θ+sin2θ=1，∴曲线C的直角坐标方程为+=1；……………5分（2）设直线l的倾斜角为θ，可得直线l的参数方程为（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程并整理得（cos2θ+4sin2θ）t2+（4cosθ+8sinθ）t﹣8=0由韦达定理可得t1+t2=，t1t2=由题意可知t1=﹣2t2，代入上式得12sin2θ+16sinθcosθ+3cos2θ=0，即12k2+16k+3=0，解方程可得直线的斜率为k=……………10分24．【选修4-5：不等式选讲】已知函数f（x）=k﹣|x﹣3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且，求证：．解答：（Ⅰ）解：f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]，即为|x|≤k的解集为[﹣1，1]，（k＞0），即有[﹣k，k]=[﹣1，1]，解得k=1；……………5分（Ⅱ）证明：将k=1代入可得，++=1（a，b，c＞0），-13-则a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2=3+2+2+2=9，当且仅当a=2b=3c，上式取得等号．则有．……………10分-13-