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广东省普宁市第一中学高二数学上学期期中试题理
广东省普宁市第一中学高二数学上学期期中试题理
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2022-2022学年度第一学期期中考试高二级数学(理科)试题一、选择题:本大题共8个小题;每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,集合,集合.则集合可表示为A.B.C.D.2.复数满足(其中为虚数单位),则=A.B.C.D.3.下列函数中,为奇函数的是A.B.C.D.4.下面几种推理中是演绎推理的为A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电;B.猜想数列的通项公式为;C.半径为圆的面积,则单位圆的面积;D.由平面直角坐标系中圆的方程为,推测空间直角坐标系中球的方程为5.已知,若,则A.4B.5C.D.6.“”是“函数在区间上单调递减”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件图1C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.如图1,在矩形内:记抛物线与直线围成的区域为(图中阴影部分).则区域M面积与矩形面积之比为A.B.C.D.-15-\n8.已知可导函数满足,则当时,和大小关系为A.B.C.D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分.图2正视图侧视图俯视图9.函数的定义域为.10.某几何体的三视图如图3所示,其正视图是边长为2的正方形,侧视图和俯视图都是等腰直角三角形,则此几何体的体积是.11.已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且双曲线的渐近线方程为,则双曲线的方程为.12.设实数满足向量,.若,则实数的最大值为.13.在数列中,已知,,且数列是等比数列,则.14.已知,且,推测当时,有__________________________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.(本小题满分12分)已知函数的图像经过点.(1)求的值;(2)在中,、、所对的边分别为、、,若,且.求.16.(本小题满分12分)已知数列的前项和满足:,且-15-\n(1)求(2)猜想的通项公式,并用数学归纳法证明-15-\n17.(本小题满分14分)图3如图3所示,平面平面,且四边形为矩形,四边形为直角梯形,,,,.(1)求证平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值;(3)求直线与平面所成角的余弦值.18.(本小题满分14分)已知数列的前项和为,且满足.(1)求,的值;(2)求;(3)设,数列的前项和为,求证:.19.(本小题满分14分)设双曲线C:(a>0,b>0)的一个焦点坐标为(,0),离心率,A、B是双曲线上的两点,AB的中点M(1,2).(1)求双曲线C的方程;(2)求直线AB方程;(3)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?20.(本小题满分14分)设函数.(1)若函数在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(2)当a=1时,求函数在区间[t,t+3]上的最大值.-15-\n2022-2022学年度第一学期期中考试试室座位号高二级数学(理科)试题答题卷班级:高二()班姓名:座号:试室号:_______uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuu题号一二151617181920总分得分注意:用2B铅笔填涂,填涂的正确方法是▇;信息点框内必须涂满涂黑,否则填涂无效;修改时用橡皮擦干净。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.7[A][B][C][D]8[A][B][C][D]5[A][B][C][D]6[A][B][C][D]3[A][B][C][D]4[A][B][C][D]1[A][B][C][D]2[A][B][C][D]二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.9.10.11.12.13.14.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.(满分12分)16.(满分12分)-15-\n17.(满分14分)-15-\n18.(满分14分)19.(满分14分)-15-\n20.(满分14分)-15-\n参考答案一、选择题:本大题每小题5分,满分40分.12345678CBDCAABB二、填空题:本大题每小题5分,满分30分.9.;10.;11.;12.;13.; 14.; 三、解答题15.解:(1)由题意可得,即.……………………………2分,,,.……………5分(2),,……………………………………………………7分.…………………………………………8分由(1)知,.,,……………………………10分又,.……………12分16.(1),所以,,又∵,所以.,所以,所以.(2)猜想.证明:当时,由(1)知成立.-15-\n假设时,成立.所以所以当时猜想也成立.综上可知,猜想对一切都成立.17.解:(法一)(1)取中点为,连接、,且,·,则且.·…………2分四边形为矩形,且,且,,则.平面,平面,平面.……………………………………………………4分(2)过点作的平行线交的延长线于,连接,,,,,,,四点共面.四边形为直角梯形,四边形为矩形,,,又,平面,,又平面平面,为平面与平面所成锐二面角的平面角.……………………7分,.即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.……………………9分(3)过点作于,连接,根据(2)知,,,四点共面,,,,-15-\n又,平面,,则.又,平面.直线与平面所成角为.……………………………11分,,,,,.即直线与平面所成角的余弦值为.……………………………14分(法二)(1)四边形为直角梯形,四边形为矩形,,,又平面平面,且平面平面,平面.以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系.根据题意我们可得以下点的坐标:,,,,,,则,.………………2分,,为平面的一个法向量.又,平面.…………………………………………………………4分(2)设平面的一个法向量为,则,,,取,得.……………………………6分平面,平面一个法向量为,设平面与平面所成锐二面角的大小为,-15-\n则.因此,平面与平面所成锐二面角的余弦值为.…………………9分(3)根据(2)知平面一个法向量为,,,………12分设直线与平面所成角为,则.因此,直线与平面所成角的余弦值为.………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力.18.解:(1)当时,有,解得.当时,有,解得.……………2分(2)(法一)当时,有,……………①.…………………②①—②得:,即:.…………5分..………………………………………8分另解:.又当时,有,.…………………………8分(法二)根据,,猜想:.………………………………3分用数学归纳法证明如下:(Ⅰ)当时,有,猜想成立.(Ⅱ)假设当时,猜想也成立,即:.那么当时,有,即:,………………………①-15-\n又,…………………………②①-②得:,解,得.当时,猜想也成立.因此,由数学归纳法证得成立.………………………………………8分(3),……………………………10分.………………………………………14分19.解:(1)依题意得,解得a=1.(1分)所以,(2分)故双曲线C的方程为.(3分)(2)设,则有.两式相减得:,(4分)由题意得,,,(5分)所以,即.(6分)故直线AB的方程为.(7分)(3)假设A、B、C、D四点共圆,且圆心为P.因为AB为圆P的弦,所以圆心P在AB垂直平分线CD上;又CD为圆P的弦且垂直平分AB,故圆心P为CD中点M.(8分)下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.-15-\n由得:A(-1,0),B(3,4).(9分)由(1)得直线CD方程:,(10分)由得:C(-3+,6-),D(-3-,6+),(11分)所以CD的中点M(-3,6).(12分)因为,,,,(13分)所以,即A、B、C、D四点在以点M(-3,6)为圆心,为半径的圆上.(14分)20.解:(1)∵∴,(1分)令,解得(2分)当x变化时,,的变化情况如下表:0—0↗极大值↘极小值↗故函数的单调递增区间为(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间为(-1,a);(4分) 因此在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,要使函数在区间内恰有两个零点,当且仅当,(5分) 解得,所以a的取值范围是(0,).(6分)(2)当a=1时,.由(1)可知,函数的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单调递减区间为(-1,1);.(7分)-15-\n①当t+3<-1,即t<-4时,因为在区间[t,t+3]上单调递增,所以在区间[t,t+3]上的最大值为;(9分) ②当,即时,因为在区间上单调递增,在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,且,所以在区间上的最大值为.(10分)由,即时,且-1Î[t,t+3],所以在上的最大值为;(11分)③当t+3>2,即t>-1时,由②得在区间上的最大值为.因为在区间(1,+∞)上单调递增,所以,故在上的最大值为.(13分)综上所述,当a=1时,在[t,t+3]上的最大值.(14分)-15-
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高中 - 数学
发布时间:2022-08-25 20:42:39
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