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广东省汕头市金山中学高二数学上学期期中试题理
广东省汕头市金山中学高二数学上学期期中试题理
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汕头市金山中学2022-2022学年度第一学期期中考试高二理科数学试题卷本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,则的元素个数为()A.0B.1C.2D.32.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( )3.圆与圆的位置关系为()A.内切 B.相交 C.外切D.相离4.下列命题中正确的有()个。①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行。②空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。③四面体的四个面中,最多有四个直角三角形。④若两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线。⑤若两个平面垂直,过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面。A.1B.2C.3D.45.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°6.已知过点和的直线与直线平行,则的值为A. B. C. D.7.已知满足约束条件,若的最大值为4,8\n则=( )A.B.C.D.8.过点的直线,将圆形区域分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程是A.B.C.D.9.过点可作圆的两条切线,则实数的取值范围为( )A.或B.C.D.或10.若是球的球面上两点,,为该球面上的动点,若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为A.B.C.D.11.已知矩形,=1,.将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折过程中A.存在某个位置,使得直线与直线垂直B.存在某个位置,使得直线与直线垂直C.存在某个位置,使得直线与直线垂直D.对任意位置,三对直线“与”,“与”,“与”均不垂直12.在平面直角坐标系中,两点,间的“﹣距离”定义为.则平面内与x轴上两个不同的定点的“﹣距离”之和等于定值(大于||)的点的轨迹可以是( )ABCD8\n第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知两直线。当时,。14.在平面直角坐标系中,点关于直线的对称点的坐标为__________.15.已知则的取值范围是__________.16.设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则||·||的最大值是________.三、解答题:(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.在中,已知,。(1)求的长。(2)求的值。18.为数列的前项和。已知,。(1)求的通项公式。(2)设,求数列的前项和。19.如图,在三棱柱中,,在底面的射影为的中点,是的中点。(1)证明:平面;(2)求二面角的平面角的余弦值。8\n20.在平面直角坐标系中,已知圆和圆(1)若直线过点且被圆截得的弦长为,求直线的方程;(2)设为平面上的点,满足:存在过点的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点的坐标。21.已知过原点的动直线与圆:相交于不同的两点.(1)求圆的圆心坐标。(2)求线段的中点的轨迹的方程,并求出轨迹中的取值范围。(3)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围:若不存在,说明理由。8\n参考答案CABCCBBAACBA13.14.15.16.16.解析:易求定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,因为P为直线x+my=0与mx-y-m+3=0的交点,且易知两直线垂直,则PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立),当P与A或B重合时,|PA|·|PB|=0,故|PA|·|PB|的最大值是5.答案:517.解(1)(2),,18.(I)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3两式相减得an+12﹣an2+2(an+1﹣an)=4an+1,即2(an+1+an)=an+12﹣an2=(an+1+an)(an+1﹣an),∵an>0,∴an+1﹣an=2,∵a12+2a1=4a1+3,∴a1=﹣1(舍)或a1=3,则{an}是首项为3,公差d=2的等差数列,∴{an}的通项公式an=3+2(n﹣1)=2n+1:(Ⅱ)∵an=2n+1,∴bn===(﹣),∴数列{bn}的前n项和Tn=(﹣+…+﹣)=(﹣)=.19.(Ⅰ)设E为BC的中点,由题意的.因为AB=AC,所以.故.由D,E分别为的中点,得,从而,所以为平行四边形.故8\n又因为,所以(Ⅱ)作.由.由,得由,因此的平面角.由,得,由余弦定理得20解:(1)设直线的方程为:,即由垂径定理,得:圆心到直线的距离,点到直线距离公式,得:求直线的方程为:或,即或(2)设点P坐标为,直线、的方程分别为:,即:因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得::圆心到直线与直线的距离相等。故有:,化简得:关于的方程有无穷多解,有:,或8\n解之得:点P坐标为或。21.(1)圆:化为,所以,圆的圆心坐标为;(2)设线段的中点,由圆的性质可得垂直于直线设直线的方程为(易知直线的斜率存在),所以,,所以所以即因为动直线与圆相交,所以,所以,所以,所以,解得或,又因为,所以.所以满足,即的轨迹的方程为.(3)由题意知直线表示过定点,斜率为的直线.结合图形,表示的是一段关于轴对称,起点为按逆时针方向运动到的圆弧.根据对称性,只需讨论在X轴对称下方的圆弧.设,则,而当直线与轨迹相切时,,解得.在这里暂取,因为,所以结合图形,可得对于X轴对称下方的圆弧,当或时,8\n直线L与X轴对称下方的圆弧有且只有一个交点,根据对称性可知或.综上所述:当或时,直线与曲线只有一交点.答案:(1);(2);(3)存在,或.8
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