江苏省四校2022学年高二数学上学期期中联测试题
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江苏省四校2022-2022学年高二数学上学期期中联测试题一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.)1.命题“”的否定形式为___________________.2.曲线在处的切线方程是__________.3.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为___________.4.已知函数,则.5.的____________.(从“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,“既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空)6.过点的直线l与圆交于A,B两点,当最小时,直线l的方程为_________________.7.设P是直线上的一个动点,过P作圆的两条切线,若的最大值为60°,则b=.8.已知圆的圆心是双曲线的一个焦点,则此双曲线的渐近线方程为_____________.9.已知命题,命题,若命题是真命题,则实数的取值范围为_____________.10.函数的图像在点处的切线方程是,则等于_________.11.已知是椭圆上的动点,是椭圆的两个焦点,则的取值范围是___________.12.已知直线与圆相切,且在轴、轴上的截距相等,则直线的方程为_______________.13.设,则的最小值为___________.14.已知椭圆的短轴长为2,离心率为,设过右焦点的直线-23-\n与椭圆交于不同的两点,过作直线的垂线,垂足分别为,记,若直线的斜率,则的取值范围为___________.二、解答题(本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)(1)求以椭圆的焦点为顶点,且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.(2)已知抛物线的焦点在轴上,点是抛物线上的一点,M到焦点的距离为5,求抛物线的标准方程.16.(本小题满分14分)已知为实数,点在圆的内部;都有.(1)若为真命题,求的取值范围;(2)若为假命题,求的取值范围;(3)若为假命题,且为真命题,求的取值范围.-23-\n17.(本小题满分15分)已知曲线(1)若,过点的直线交曲线于两点,且,求直线的方程;(2)若曲线表示圆,且直线与圆相交于两点,是否存在实数,使得以为直径的圆过原点,若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由。18.(本小题满分15分)(1)设,若,求在点处的切线方程;(2)若存在过点的直线与曲线和都相切,求的值.19.(本小题满分16分)-23-\n平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是,以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆上一动点的直线,过与轴垂直的直线记为,右准线记为;设直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,证明恒为定值,并求此定值.若连接并延长与直线相交于点,椭圆的右顶点,设直线的斜率为,直线的斜率为,求的取值范围.20.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,已知,,,直线与线段、分别交于点、.(Ⅰ)当时,求以为焦点,且过中点的椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点作直线∥交于点,记的外接圆为圆.第20题PAROF1QxyF2①求证:圆心在定直线上;②圆是否恒过异于点的一个定点?若过,求出该点的坐标;若不过,请说明理由.高二数学上学期四校联测期中答案2022.11.16-23-\n一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.)1.命题“”的否定形式为___________________.答案:2.曲线在处的切线方程是__________.答案:3.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为___________.答案:4.已知函数,则.答案:5.的____________.(从“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,“既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空)答案:充分不必要条件6.过点的直线l与圆交于A,B两点,当最小时,直线l的方程为_________________.答案:7.设P是直线上的一个动点,过P作圆的两条切线,若的最大值为60°,则b=.答案:8.已知圆的圆心是双曲线的一个焦点,则此双曲线的渐近线方程为_____________.答案:9.已知命题,命题,若命题是真命题,则实数的取值范围为_____________.答案:10.函数的图像在点处的切线方程是,则等于_________.答案:2-23-\n7.已知是椭圆上的动点,是椭圆的两个焦点,则的取值范围是___________.答案:8.已知直线与圆相切,且在轴、轴上的截距相等,则直线的方程为_______________.答案:13.设,则的最小值为___________.答案:14.已知椭圆的短轴长为2,离心率为,设过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点,过作直线的垂线,垂足分别为,记,若直线的斜率,则的取值范围为___________.答案:二、解答题(本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)(1)求以椭圆的焦点为顶点,且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.(8分)(2)已知抛物线的焦点在轴上,点是抛物线上的一点,M到焦点的距离为5,求抛物线的标准方程.(6分)解:(1)椭圆的焦点为,顶点为----------------4分双曲线的标准方程可设为由题意知-23-\n-----------------6分则双曲线的标准方程为------------------8分(2)由题意知,抛物线的标准方程可设为--------------10分------------------12分抛物线的标准方程为------------------------14分16.(本小题满分14分)已知为实数,点在圆的内部;都有.(1)若为真命题,求的取值范围;(2)若为假命题,求的取值范围;(3)若为假命题,且为真命题,求的取值范围.解:(1)为真命题解得------------4分(2)为真命题时,恒成立解得为假命题时,-----------8分(3)为假命题,且为真命题一真一假------------9分,则------------11分,则----------13分-----------14分17.(本小题满分15分)-23-\n已知曲线(1)若,过点的直线交曲线于两点,且,求直线的方程;(7分)(2)若曲线表示圆,且直线与圆相交于两点,是否存在实数,使得以为直径的圆过原点,若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由。(8分)解:(1)圆设圆心到直线的距离为则---------------2分若的斜率不存在,则符合题意;----------------4分若的斜率存在,设为,则即解得,可得------------6分综上,直线的方程为或.-------------7分(2)曲线表示圆且直线与圆相交-------------9分设过两点的圆的方程为----------------11分圆心在上,且过原点-23-\n-------------13分解得------------15分(法二)曲线表示圆且直线与圆相交-------------9分设A,B坐标,将直线与圆联立,消去y得到关于x的一元二次方程,得到韦达定理------11分利用向量数量积等于0,得到关于m的方程----------13分解得m的值-------------15分18.(本小题满分15分)(1)设,若,求在点处的切线方程;(5分)(2)若存在过点的直线与曲线和都相切,求的值.(10分)解:(1)因为--------------1分--------------3分-23-\n在点处的切线方程为---------------5分(2)设曲线的切点为,------------7分又该切线过点解得-------------9分1.当时,切点为,切线又直线与相切满足------------------12分2.当时,切点为,切线又直线与相切满足------------------15分综上19.(本小题满分16分)平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是,以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆上.-23-\n(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆上一动点的直线,过与轴垂直的直线记为,右准线记为;设直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,证明恒为定值,并求此定值.若连接并延长与直线相交于点,椭圆的右顶点,设直线的斜率为,直线的斜率为,求的取值范围.解:(1)由题意知2a=4,则a=2,由e==,求得c=1,------------2分b2=a2﹣c2=3∴椭圆C的标准方程为;-----------4分(2)①证明:直线l1:x=1,直线l2:x=4.把x=1代入直线1:+=1,解得----------6分把x=4代入直线1:+=1方程,解得y=,----------8分-23-\n∴--------10分②由,解得=3(1﹣)(﹣2≤x0<2),x0≠﹣1.直线l1的方程为:x=1;直线l2的方程为:x=4.直线PF1的方程为:y﹣0=(x+1),令x=4,可得yQ=.点Q,∵,k2=,----------12分∴k1•k2==.-------13分∵点P在椭圆C上,∴,∴k1•k2==.∵﹣1<x0<2,∴∈(,+∞),∴k1•k2<﹣.∴k1•k2的取值范围是k1k2∈(﹣∞,﹣).---------16分20.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,已知,,,直线与线段、分别交于点、.-23-\n(Ⅰ)当时,求以为焦点,且过中点的椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点作直线∥交于点,记的外接圆为圆.①求证:圆心在定直线上;第20题PAROF1QxyF2②圆是否恒过异于点的一个定点?若过,求出该点的坐标;若不过,请说明理由.【解】:(Ⅰ)设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分而,所以,故椭圆的标准方程为…………………5分(Ⅱ)①解法一:易得直线,所以可得,再由∥,得……………8分则线段的中垂线方程为,线段的中垂线方程为,由,解得的外接圆的圆心坐标为………10分经验证,该圆心在定直线上……………………………11分解法二:易得直线,所以可得,再由∥,得………………………8分设的外接圆的方程为,则,解得…10分所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上…11分-23-\n②由①可得圆C的方程为………13分该方程可整理为,则由,解得或,所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为………………16分高二数学上学期四校联测期中试卷2022.11.16一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.)1.命题“”的否定形式为___________________.答案:2.曲线在处的切线方程是__________.答案:3.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为___________.答案:4.已知函数,则.答案:5.的____________.(从“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,“既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空)答案:充分不必要条件6.过点的直线l与圆交于A,B两点,当最小时,直线l的方程为_________________.答案:7.设P是直线上的一个动点,过P作圆的两条切线,若的最大值为60°,则b=.答案:8.已知圆的圆心是双曲线-23-\n的一个焦点,则此双曲线的渐近线方程为_____________.答案:7.已知命题,命题,若命题是真命题,则实数的取值范围为_____________.答案:8.函数的图像在点处的切线方程是,则等于_________.答案:29.已知是椭圆上的动点,是椭圆的两个焦点,则的取值范围是___________.答案:10.已知直线与圆相切,且在轴、轴上的截距相等,则直线的方程为_______________.答案:13.设,则的最小值为___________.答案:14.已知椭圆的短轴长为2,离心率为,设过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点,过作直线的垂线,垂足分别为,记,若直线的斜率,则的取值范围为___________.答案:二、解答题(本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)-23-\n(1)求以椭圆的焦点为顶点,且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.(2)已知抛物线的焦点在轴上,点是抛物线上的一点,M到焦点的距离为5,求抛物线的标准方程.解:(1)椭圆的焦点为,顶点为双曲线的标准方程可设为由题意知则双曲线的标准方程为(2)由题意知,抛物线的标准方程可设为抛物线的标准方程为16.(本小题满分14分)已知为实数,点在圆的内部;都有.(1)若为真命题,求的取值范围;(2)若为假命题,求的取值范围;(3)若为假命题,且为真命题,求的取值范围.解:(1)为真命题解得15.为真命题时,恒成立解得为假命题时,16.为假命题,且为真命题-23-\n一真一假,则,则17.(本小题满分15分)已知曲线(2)若,过点的直线交曲线于两点,且,求直线的方程;(3)若曲线表示圆,且直线与圆相交于两点,是否存在实数,使得以为直径的圆过原点,若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由。解:(1)圆设圆心到直线的距离为则若的斜率不存在,则符合题意;若的斜率存在,设为,则即解得,可得综上,直线的方程为或.(2)曲线表示圆设过两点的圆的方程为-23-\n圆心在上,且过原点解得(2)(本小题满分15分)(1)设,若,求在点处的切线方程;(2)若存在过点的直线与曲线和都相切,求的值.解:(1)因为在点处的切线方程为(2)设曲线的切点为,又该切线过点解得1.当时,切点为,切线-23-\n又直线与相切满足2.当时,切点为,切线又直线与相切满足综上18.(本小题满分16分)平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是,以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆上.19.求椭圆的方程;20.过椭圆上一动点的直线,过与轴垂直的直线记为,右准线记为;设直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,证明恒为定值,并求此定值.若连接并延长与直线相交于点,椭圆的右顶点,设直线的斜率为,直线的斜率为,求的取值范围.【考点】椭圆的简单性质.-23-\n【分析】(1)以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点E在椭圆C上.可得|EF1|+|EF2|=3+1=2a,解得a=2.又e==,a2=b2+c2,解得c,b2,即可得到椭圆C的方程;(2)①直线l1:x=1,直线l2:x=4.把x=1代入直线1,解得y,可得M坐标.同理可得N坐标.又=,利用两点之间的距离公式可得=为定值.②由由,解得=.直线l1的方程为:x=1;直线l2的方程为:x=4.直线PF1的方程为:y﹣0=(x+1),由于﹣1<x0<2,可得∈(,+∞),即可得出k1k2,利用函数的性质即可得出.【解答】解:(1)由题意知2a=4,则a=2,由e==,求得c=1,b2=a2﹣c2=3∴椭圆C的标准方程为;(2)①证明:直线l1:x=1,直线l2:x=4.把x=1代入直线1:+=1,解得y=,∴M,把x=4代入直线1:+=1方程,解得y=,∴N,∴②由,解得=3(1﹣)(﹣2≤x0<2),x0≠﹣1.-23-\n直线l1的方程为:x=1;直线l2的方程为:x=4.直线PF1的方程为:y﹣0=(x+1),令x=4,可得yQ═.点Q,∵,k2=,∴k1•k2==.∵点P在椭圆C上,∴,∴k1•k2==.∵﹣1<x0<2,∴∈(,+∞),∴k1•k2<﹣.∴k1•k2的取值范围是k1k2∈(﹣∞,﹣).20.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,已知,,,直线与线段、分别交于点、.(Ⅰ)当时,求以为焦点,且过中点的椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点作直线∥交于点,记的外接圆为圆.①求证:圆心在定直线上;第20题PAROF1QxyF2②圆是否恒过异于点的一个定点?若过,求出该点的坐标;若不过,请说明理由.-23-\n【解】:(Ⅰ)设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分而,所以,故椭圆的标准方程为…………………5分(Ⅱ)①解法一:易得直线,所以可得,再由∥,得……………8分则线段的中垂线方程为,线段的中垂线方程为,由,解得的外接圆的圆心坐标为………10分经验证,该圆心在定直线上……………………………11分解法二:易得直线,所以可得,再由∥,得………………………8分设的外接圆的方程为,则,解得…10分所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上…11分②由①可得圆C的方程为………13分该方程可整理为,则由,解得或,-23-\n所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为………………16分-23-
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