河北省唐山市滦县2022届高三数学上学期期中试题理
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2022-2022学年度第一学期期中考试高三理科数学试题第I卷(选择题)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)2.复数z满足z(1﹣i)=|1+i|,则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在区间[1,2]上任选两个数x,y,则y<的概率为A.2ln2﹣1B.1﹣ln2C.D.ln24.在等比数列{an}中,a1=4,公比为q,前n项和为Sn,若数列{Sn+2}也是等比数列,则q等于 A.2B.﹣2C.3D.﹣35.函数f(x)=x|x|.若存在x∈[1,+∞),使得f(x﹣2k)﹣k<0,则k的取值范围是A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(,+∞)D.(,+∞)6.若,则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=A.0B.1C.32D.﹣17.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.32B.18C.16D.108.如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”,执行该程序框图(图中“mMODn”表示m除以n的余数),若输入的m,n分别为495,135,则输出的m=A.0B.5C.45D.90-8-\n9.设函数的图象关于直线x=对称,它的周期是π,则A.f(x)的一个对称中心是(,0)B.f(x)在[]上是减函数C.f(x)的图象过点(0,)D.将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到y=3sinωx的图象10.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点F(﹣c,0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为E,延长FE交抛物线y2=4cx于点P,O为坐标原点,若=(+),则双曲线的离心率为A.B.C.D.11.设正实数x,y,z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0.则当取得最大值时,的最大值为( )A.0B.1C.D.312.若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称(P,Q)是函数y=f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)=有两个“伙伴点组”,则实数k的取值范围是A.(-∞,0)B.(0,1)C.D.(0,+∞)第II卷(非选择题)二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.D为△ABC的BC边上一点,,过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F,若,其中λ>0,μ>0,= .14.若实数满足,则的最小值为.15.已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点,设|FA|>|FB|,则= .16.在正三棱锥V﹣ABC内,有一个半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的三个侧面都相切,若半球的半径为2,则正三棱锥的体积的最小时,其底面边长为 .-8-\n三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17.在右图所示的四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠BCD=150°,∠BAC=60°,AC=2,AB=+1.(1)求BC;(2)求△ACD的面积.18.如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.(1)设点M为棱PD的中点,求证:EM∥平面ABCD;(2)线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值为?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.19.汽车4S店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式,包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等.某品牌汽车4S店为了了解A,B,C三种类型汽车质量问题,对售出的三种类型汽车各取前100辆进行跟踪服务,发现各车型一年内需要维修的车辆数如下表1.(1)某公司一次性从4S店购买该品牌A,B,C型汽车各一辆,记ξ表示这三辆车一年内需要维修的车辆数,求ξ的分布列及数学期望.(把各类型汽车维修的频率视为其需要维修的概率).(2)该品牌汽车4S店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的各种价格进行试销相等时间,得到数据如下表2.预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从=bx+a,(b=-0.2,a=-b)的关系,且该产品的成本是500元/件,为使4S店获得最大利润(利润=销售收入-成本),该产品的单价应定为多少元?表1车型ABC频数202040表2单位x(元)800820840860880900销量y(件)90848380756820.设椭圆C:+=1(a>b>0),F1,F2为左、右焦点,B为短轴端点,且S△BF1F2=4,离心率为,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M,N-8-\n,且满足|+|=|-|?若存在,求出该圆的方程,若不存在,说明理由.21.已知函数f(x)=.(1)当x≥0时,f(x)≤(m>0)恒成立,求实数m的取值范围;(2)求证:f(x)lnx<.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程将圆(为参数)上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的,得到曲线.(1)求曲线的普通方程;(2)设,是曲线上的任意两点,且,求的值.23.选修4-5:不等式选讲已知函数,.(1)当时,解不等式;(2)若存在满足,求的取值范围.-8-\n滦县二中2022-2022学年度第一学期期中考试试题高三数学理科答案CDACDAACAABB13.314.15.3+216.17.(1)在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=6,所以BC=.(2)在△ABC中,由正弦定理得=,则sin∠ABC=,又0°<∠ABC<120°,所以∠ABC=45°,从而有∠ACB=75°,由∠BCD=150°,得∠ACD=75°,又∠DAC=30°,所以△ACD为等腰三角形,即AD=AC=2,故S△ACD=1.18.(1)证明:因为平面ABCD⊥平面ABPE,且BC⊥AB,所以BC⊥平面ABPE,所以BA,BP,BC两两垂直.以B为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,2,0),D(2,0,1),M,E(2,1,0),C(0,0,1),所以=.易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,1,0),所以·n=·(0,1,0)=0,所以⊥n.又EM⊄平面ABCD,所以EM∥平面ABCD.(2)当点N与点D重合时,直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.理由如下:因为=(2,-2,1),=(2,0,0),设平面PCD的法向量为n1=(x1,y1,z1),由得取y1=1,得平面PCD的一个法向量为n1=(0,1,2).假设线段PD上存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值为.设=λ(0≤λ≤1),则=λ(2,-2,1)=(2λ,-2λ,λ),=+=(2λ,2-2λ,λ).所以sinα=|cos〈,n1〉|====.所以9λ2-8λ+4=5,解得λ=1或λ=-(舍去).因此,线段PD上存在一点N,当N点与D点重合时,直线BN与平面PCD-8-\n所成角的正弦值为.19.(1)根据表格,A型车维修的概率为,B型车维修的概率为,C型车维修的概率为.由题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=××=;P(ξ=1)=××+××+××=;P(ξ=2)=××+××+××=;P(ξ=3)=××=.所以ξ的分布列为:ξ0123P所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.(2)设获得的利润为w元,根据计算可得=850,=80,代入回归方程得=-0.2x+250.所以w=(-0.2x+250)(x-500)=-0.2x2+350x-125000,该函数图象是开口向下,以直线x=-=875为对称轴的抛物线,所以当x=875时,w取得最大值,即为使4S店获得最大利润,该产品的单价应定为875元.20. (1)因为椭圆C:+=1(a>b>0),由题意得S△BF1F2=×2c×b=4,e==,a2=b2+c2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2,使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M,N,且满足|+|=|-|,则有·=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),当切线斜率存在时,设该圆的切线方程为y=kx+m,解方程组得x2+2(kx+m)2=8,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,即8k2-m2+4>0,x1,2=,∴x1+x2=-,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-+m2=,-8-\n要使·=0,需x1x2+y1y2=0,即+=0,所以3m2-8k2-8=0,所以k2=≥0,又8k2-m2+4>0,所以所以m2≥,即m≥或m≤-,因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r=,r2===,r=,所求的圆为x2+y2=,此时圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤-,而当切线的斜率不存在时,切线为x=±,与椭圆+=1的两个交点为或,满足·=0.综上,存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件.21.(1)∵x≥0,f(x)≤(m>0)恒成立,∴m2≥>0在x≥0时恒成立,即m≥在x≥0时恒成立.令g(x)=(x≥0),即g′(x)=≤0,∴g(x)在[0,+∞)上单调递减,∴g(x)max=g(0)=1,∴m的取值范围是[1,+∞).(2)证明:要证f(x)lnx<,即证lnx<,∵x>0,∴x+1>0,只需证lnx<ex-2.令h(x)=ex-2-lnx,则h′(x)=ex-2-,且h′(1)=-1<0,h′(2)=1->0,∴必有x0∈(1,2),使得h′(x0)=0,即ex0-2-=0,∴x0-2=-lnx0.∴h(x)在(0,x0)上是减函数,在(x0,+∞)上是增函数,∴h(x)min=h(x0)=ex0-2-lnx0=+x0-2=>0,∴ex-2-lnx>0,即lnx<ex-2.故f(x)lnx<.22.(1)设为圆上的任意一点,在已知的变换下变为上的点,则有-8-\n(2)曲线C化为极坐标方程得:,设A(),B(),则|OA|=,|OB|====.23.(Ⅰ)当时,,当时,不等式等价于,解得,∴;当时,不等式等价于,即,∴解集为空集;当时,不等式等价于,解得,∴.故原不等式的解集为.(Ⅱ),∵原命题等价于,即,∴.-8-
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