海南省海口四中2022学年高一数学下学期期末考试试题
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海南省海口四中2022-2022学年高一数学下学期期末考试试题一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.在等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=9,则数列{an}的公差为()A.1B.2C.3D.42.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,c=2,则A=()A. B.C.D.3.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=,则c可用向量a,b表示为()A.B.C.D.4.下列命题中,正确的是( )A.若,,则B.若,则C.若,则D.若,,则5.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn,若a3a4a8=8,则Ⅱ9=()A.512B.256C.81D.167.在边长为1的等边△ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a=()A.B.0C.D.38.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=()A.B.10C.D.9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还。”其意思为:有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天所走的路程为前一天的一半,走了6天到达目的地,请问第二天走了()A.192里B.96里C.48里D.24里10.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于()A.3B.1C.D.11.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,则这个三角形的最大边等于( )A.4B.14C.4或14D.2412.已知不等式(x+y)≥16对任意的正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.3B.6C.9D.1212\n二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)1.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=___________.2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,sinB=,C=,则b= .3.实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是________________.4.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________.三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)5.已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=a+an(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值;(2)求数列{an}的通项公式.6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC.(1)求角A的大小;(2)若cosB=,a=3,求c的值.7.等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.12\n1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)cosA=acosC.(1)求角A的大小;(2)若a=3,b=2c,求△ABC的面积.2.已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.(1)若a=2,试求函数y=(x>0)的最小值;(2)对于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,试求a的取值范围.3.数列{an}满足a1=1,an+1=2an(n∈N*),Sn为其前n项和.数列{bn}为等差数列,且满足b1=a1,b4=S3.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,证明:≤Tn<.12\n答案和解析1.【答案】D【解析】略2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题.【解答】解:易知cosA===,又A∈(0,π),所以A=,故选C.3.【答案】A【解析】略4.【答案】C【解析】【分析】此题考查利用不等式的性质比较大小,注意不等式的性质应用的条件.【解答】解:举出反例:虽然5>-1>-2但5×(-1)<2×(2),故A不正确;对于B:若c<0,则不成立, 出反例:虽然5>4,3>1,但5-3<4-1,故D不确; ∵,∴,∴a<b,故C正确;选C.5.【答案】B【解析】略6.【答案】A【解析】略12\n7.【答案】A【解析】依题意有a·b+b·c+c·a=++=-,故选A.8.【答案】D【解析】略9.【答案】B【解析】【分析】本题考查等比数列的求和公式,求出数列的首项是解决问题的关键,属基础题.由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列,由求和公式可得首项,可得答案.【解答】解:由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列,由题意和等比数列的求和公式可得=378,解得a1=192,∴第此人二天走192×=96步.故选B.10.【答案】D【解析】略11.【答案】B【解析】解:∵a-b=4,a+c=2b,∴a=c+8,b=c+4∴a为最大边∵最大角为120°,∴(c+8)2=c2+(c+4)2-2c(c+4)cos120°∴c2-2c-24=0∴c=6或-4(负值舍去)∴a=c+8=14故选B.12\n先确定最大边,再利用余弦定理求出最小边c的值,即可求得结论.本题考查余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.12.【答案】C【解析】略13.【答案】-6【解析】【分析】本题考查了平面向量共线的充要条件.直接利用向量共线的充要条件列出方程求解得结论.【解答】解:向量,,由得 ,解得m=-6.故答案为-6.14.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查正弦定理,首先根据,得出∠B的度数,进而得出∠A的度数,然后根据正弦定理得出b的值.【解答】解:∵sinB=且B∈(0,π),∴B=或B=.又∵C=,B+C<π,12\n∴B=,A=π-B-C=.∵a=,由正弦定理得=,即=,解得b=1.故答案为1.15.【答案】6【解析】【分析】本题考查了基本不等式和指数运算的性质,解题的关键是基本不等式的熟练运用.利用基本不等式和指数运算的性质即可得出. 【解答】解:∵实数x,y满足x+2y=2,∴,当且仅当x=2y=1时取等号.因此3x+9y的最小值为6.故答案为6.16.【答案】【解析】【分析】本题考查直线的斜率公式的应用,属于基础题.先设出当直线l过B时直线l的倾斜角为α,求出tanα,当直线l过A时直线l的倾斜角为β,求出tanβ,则直线l斜率的取值范围可求.【解答】解:当直线l过B时设直线l的倾斜角为α(0≤α<π),则tanα=,当直线l过A时设直线l的倾斜角为β(0≤β<π),则tanβ=,直线l斜率的取值范围为.12\n故答案为.17.【答案】解:(1)由 (n∈N*),可得 ,解得a1=1; ,解得a2=2;同理,a3=3,a4=4.(2) ,①,当n≥2时, ,②,①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.由于an+an-1≠0,所以an-an-1=1,又由(1)知a1=1,故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.【解析】本题考查了数列的递推关系、等差数列的判定和通项公式,是中档题.(1)由题意得 ,解得a1, ,解得a2,同理,a3,a4.(2) ,①,当n≥2时, ,②,由①-②得an-an-1=1,所以数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,从而得出结果.12\n18.【答案】解:(1)由正弦定理可得,由余弦定理:,∵∴;(2)由(1)可知,sinA=,∵,B为三角形的内角, ∴,∴, 由正弦定理,得.【解析】此题考查了正弦、余弦定理,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解本题的关键.(1)利用余弦定理表示出,已知等式利用正弦定理化简,代入计算求出的值,即可确定出A的度数;(2)由cosB的值求出sinB的值,再由cosA与sinA的值,利用两角和与差的正弦函数公式化简,把各自的值代入求出的值,即为sinC的值,利用正弦定理求出c的值即可.19.【答案】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,∵a3+a4=4,a5+a7=6.∴,解得:,∴an=;(Ⅱ)∵bn=[an],∴b1=b2=b3=1,b4=b5=2,b6=b7=b8=3,b9=b10=412\n.故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24.【解析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,根据已知构造关于首项和公差方程组,解得答案;(Ⅱ)根据bn=[an],列出数列{bn}的前10项,相加可得答案.本题考查的知识点是等差数列的通项公式,等差数列的性质,难度中档.20.【答案】解:(1)因为(2b-c)cosA=acosC,由正弦定理得:2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosA=sin(A+C),所以2sinBcosA=sinB,∵0<B<π,∴sinB≠0,所以,因为0<A<π,所以;(2) 因为b=2c,所以,解得,∴,所以.【解析】本题考查余弦定理,正弦定理,三角形中的三角函数,三角形面积公式的综合应用,属于基本知识的考查.(1)由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知可得2sinBcosA=sinB,由sinB≠0,可得,结合A的范围,即可解得A的值; (2)由b=2c及余弦定理结合,解得c,b,由三角形面积公式即可得解.21.【答案】解:(1)依题意得y===x+-4.因为x>0,所以x+≥2. 当且仅当x=,即x=1时,等号成立.12\n所以y≥-2. 所以当x=1时,y=的最小值为-2.(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,所以要使得“任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立”只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.当x=0时,显然恒成立,a∈R;当x∈(0,2]时,有a≥,令g(x)=,则g(x)=在(0,2]上单调递增,∴g(x)max=g(2)=.∴a≥.综上得a的取值范围是[,+∞).【解析】本题考查利用基本不等式求最值以及利用函数的单调性求最值.(1)函数y=(x>0)=,由基本不等式可求得最小值;(2)不等式即为,由函数的单调性求出最大值,就得到a的取值范围.22.【答案】解:(1)因为,所以数列是等比数列,且,又,所以,所以,,因为是等差数列,且,,所以,所以.(2)由题意,,所以,12\n所以,,因为当,,所以是一个递增数列,所以,又(),综上所述,.【解析】本题主要考查等差数列与等比数列,数列的递推以及不等式关系.(1)利用题中条件求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比,按照定义求、的通项公式;(2)将求出的数列、的通项代入得到的通项公式,求得的表达式,根据不等式性质及单调性得出结论即可.12
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