湖北省仙桃市、天门市、潜江市2022学年高二(上)期末数学试卷(文科)
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湖北省仙桃市、天门市、潜江市2022-2022学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.过点(1,2)且垂直于y轴的直线方程为( )A.y=2B.x=1C.y=1D.x=2【答案】A【解析】解:根据题意,依次分析选项:对于A,y=2过点(1,2)且垂直于y轴,符合题意;对于B,x=1过点(1,2)但垂直于x轴,不符合题意;对于C,y=1垂直于y轴但不经过点(1,2),不符合题意;对于D,x=2垂直于x轴,不经过点(1,2),不符合题意;故选:A.根据题意,结合直线的方程的形式依次分析选项,即可得答案.本题考查直线的方程,注意垂直与y轴的直线的形式,属于基础题.2.已知m,n是两条不重合的直线,α,β是不重合的平面,下面四个命题中正确的是( )A.若m⊂α,n//α,则m//nB.若m⊥n,m⊥β,则n//βC.若α∩β=n,m//n,则m//α且m//βD.若m⊥α,m⊥β,则α//β【答案】D【解析】解:由m,n是两条不重合的直线,α,β是不重合的平面,知:在A中,若m⊂α,n//α,则m与n平行或异面,故A错误;在B中,若m⊥n,m⊥β,则n//β或n⊂β,故B错误;在C中,若α∩β=n,m//n,则m//α且m//β或m//α且m⊂β或m⊂α且m//β,故C错误;在D中,若m⊥α,m⊥β,则由面面平行的判定定理得α//β,故D正确.故选:D.在A中,m与n平行或异面;在B中,n//β或n⊂β;在C中,m//α且m//β或m//α且m⊂β或m⊂α且m//β;在D中,由面面平行的判定定理得α//β.本题考查命题真假的判断,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识的灵活运用,是中档题.3.已知双曲线方程为y29−x24=1,则其渐近线方程为( )9/10A.y=±32xB.y=±23xC.y=±94xD.y=±49x【答案】A【解析】解:双曲线方程为y29−x24=1,则渐近线方程为:x2±y3=0即y=±32x.故选:A.直接利用双曲线方程求解双曲线的渐近线即可.本题考查双曲线的简单性质的应用,基本知识的考查.1.点A,B的坐标分别是(−1,0),(1,0),直线AM与BM相交于点M,且直线AM与BM的斜率的商是λ(λ≠1),则点M的轨迹是( )A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线【答案】A【解析】解:设点M的坐标为(x,y),则∵点A,B的坐标分别是(−1,0),(1,0),直线AM与BM的斜率的商是λ(λ≠1),∴yx+1yx−1=λ,x−1x+1=λ,可得λx−x+1+λ=0.则点M的轨迹是直线.故选:A.设点M的坐标,利用直线AM与BM的斜率的商是λ(λ≠1),建立方程,即可求得点M的轨迹方程.本题考查轨迹方程,考查学生的计算能力,属于基础题.2.从半径为6cm的圆形纸片上剪下一个圆心角为120∘的扇形,将剪下来的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为( )A.22cmB.35cmC.25cmD.42cm【答案】D【解析】解:设所围成圆锥的底面半径为r,高为h,则母线长为l=6cm,如图所示;由120∘=2π3,所以扇形的弧长为2π3×6=2πr,解得r=2(cm);所以圆锥的高为h=62−22=42(cm).故选:D.根据扇形的弧长等于底面圆的周长求出底面圆半径r,再利用勾股定理求圆锥的高.本题考查了圆锥的结构特征与应用问题,是基础题.9/101.已知某几何体是由一个侧棱长为6的三棱柱沿着一条棱切去一块后所得,其三视图如图所示,侧视图是一个等边三角形,则切去部分的体积等于( )A.43B.83C.123D.203【答案】A【解析】解:根据几何体的三视图,转换为几何体:即:底面边长为4的等边三角形高为6的直棱柱,切去一个高底面为4的三角形高为3的三棱锥.故切去部分的体积为:V=13⋅12⋅4⋅23⋅3=43.故选:A.首先把几何体的三视图转换为几何体,进一步利用几何体的体积公式求出结果.本题考查的知识要点:三视图和几何体的转换,几何体的体积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.2.直线l1,l2分别过点M(1,4),N(3,1),它们分别绕点M和N旋转,但必须保持平行,那么它们之间的距离d的最大值是( )A.5B.4C.13D.3【答案】C【解析】解:当两条平行直线l1,l2都与MN垂直时,它们之间的距离取得最大值为:|MN|=(1−3)2+(4−1)2=13.故选:C.当两条平行直线l1,l2都与MN垂直时,它们之间的距离取得最大值.本题两平行线间距离的最大值的求法,考查平行线的性质、两点之间距离公式,考查运算求解能力,是基础题.3.已知圆C:x2+y2−8x+15=0,直线y=kx+2上至少存在一点P,使得以P为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围是( )A.[−35,1]B.[−54,1]C.[−43,0]D.[−53,0]【答案】C【解析】解:问题等价于圆心(4,0)到直线l的距离小于等于2,∴|4k−0+2|k2+1≤2,解得−43≤k≤0,故选:C.问题等价于圆心(4,0)到直线l的距离小于等于2.9/10本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题.1.设F为抛物线C:x2=4y的焦点,过F且倾斜角为60∘的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A.334B.94C.9D.4【答案】D【解析】解:抛物线C:x2=4y的焦点(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),∴F且倾斜角为60∘的直线y=3x+1,∴x2=4yy=3x+1,整理得:x2−43x−4=0,由韦达定理可知:x1+x2=43,y1+y2=14由抛物线的性质可知:|AB|=p+y1+y2=2+14=16,点O到直线y=3x+1的距离d,d=13+1=12,∴则△OAB的面积S,S=12⋅|AB|⋅d=12×12×16=4,故选:D.根据抛物线的方程求得焦点坐标,根据直线的倾斜角求得直线方程,代入抛物线方程,利用韦达定理求得x1+x2,由抛物线的性质可知|AB|=p+y1+y2,利用点到直线的距离公式求得O到直线y=3x+1的距离d,根据三角形的面积公式S=12⋅|AB|⋅d,即可求得则△OAB的面积.本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理,点到直线的距离公式及三角形的面积公式,考查计算能力,属于中档题.2.平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A,α//平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,则直线m与直线BC所成角的正弦值为( )A.32B.22C.1D.12【答案】B【解析】解:如图:α//平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,可知:m//B1D1//BD,∴∠DBC是直线m与直线BC所成角(或所成角的补角),∵BC⊥DC,BC⊥DC,∴∠DBC=45∘,∴sin∠DBC=22.∴直线m与直线BC所成角的正弦值为22.故选:B.作出α//平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,可知:m//B1D1//BD,从而∠DBC是直线m与直线BC所成角(9/10或所成角的补角),由此能求出直线m与直线BC所成角的正弦值.本题考查异面直线所成角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.1.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),过其右焦点F作x轴的垂线交双曲线于A、B两点,若双曲线的左顶点C满足CA⋅CB≥0,则双曲线离心率的最大值是( )A.3B.2C.5D.3【答案】B【解析】解:如图∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),的左顶点为C(−a,0),过其左焦点F作x轴的垂线交双曲线于A(c,b2a),B(c,−b2a)两点,CA⋅CB≥0,可得:(a+c)2−b4a2≥0,∴a2+ac≥c2−a2,∴e2−e−2=0,解得e=2,或e=−1舍去,故选:B.由已知条件,结合双曲线性质,通过CA⋅CB≥0,由此能求出双曲线的离心率的取值范围.本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法,是中档题,解题时要注意数形结合思想的合理运用.2.如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面内BCC1B1的动点,且A1F//平面D1AE,给出下列命题:①点F的轨迹是一条线段;②A1F与D1E不可能平行;③A1F与BE是异面直线;④平面A1FC1不可能与平面AED1平行.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】解:对于①,设平面AD1E与直线BC交于点G,连接AG、EG,则G为BC的中点,分别取B1B、B1C1的中点M、N,连接AM、MN、AN,∵A1M//D1E,A1M⊄平面D1AE,D1E⊂平面D1AE,∴A1M//平面D1AE.同理可得MN//平面D1AE,∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线9/10∴平面A1MN//平面D1AE,由此结合A1F//平面D1AE,可得直线A1F⊂平面A1MN,即点F是线段MN上上的动点,①正确;对于②,由①知,平面A1MN//平面D1AE,当F与点M重合时,A1F//D1E,∴②错误;对于③,∵平面A1MN//平面D1AE,BE和平面D1AE相交,∴A1F与BE是异面直线,③正确;对于④,由FC1与EG相交,可得平面A1FC1与平面AED1相交,④正确.综上,以上正确的命题是①③④共3个.故选:D.①设平面AD1E∩BC=G,连接AG、EG,分别取B1B、B1C1的中点M、N,连接AM、MN、AN,得F是线段MN上的动点;②由平面A1MN//平面D1AE,得点F与M重合时A1F与D1E平行;③由平面A1MN//平面D1AE,BE和平面D1AE相交,得A1F与BE是异面直线;④由FC1与EG相交,可得平面A1FC1与平面AED1相交.本题考查空间中的线线、线面、面面平行的判定定理和性质定理的应用,是综合题.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)1.已知椭圆x216+y26=1的左右焦点分别为F1,F2,过右焦点F2的直线AB与椭圆交于A,B两点,则△ABF1的周长为______.【答案】16【解析】解:椭圆x216+y26=1的a=4,三角形ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a=16.故答案为:16.三角形ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a.本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2.已知实数x,y满足不等式组x−y≥0x+y+2≥02x−y−2≤0,则y+3x+3的最大值为______.【答案】1【解析】解:实数x,y满足不等式组x−y≥0x+y+2≥02x−y−2≤0的可行域如图:y+3x+3的几何意义是可行域内的点A(2,2)9/10与P(−3,−3)连线的斜率,目标函数z=y+3x+3的最大值为2+32+3=1,故答案为:1.作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论.此题考查了简单的线性规划,体现了数形结合的数学思想方法及数学转化思想方法,是中档题.1.在三棱锥A−BCD中,AB⊥平面ACD,∠CAD=90∘,AB=2,AC=3,AD=4,则三棱锥A−BCD的外接球的表面积为______.【答案】29π【解析】解:∵∠CAD=90∘,所以,△ACD的外接圆直径为CD=AC2+AD2=5,∵AB⊥平面ACD,所以,三棱锥A−BCD的外接球的直径为2R=AB2+CD2=29.因此,三棱锥A−BCD的外接球的表面积为4πR2=π×(2R)2=29π.故答案为:29π.先计算出△ACD的外接圆直径CD的长度,然后利用公式2R=AB2+CD2可得出外接球的半径,最后利用球体的表面积公式可得出答案.本题考查球体表面积的计算,解决这类问题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径,考查计算能力,属于中等题.2.给出下列三个命题,其中所有错误命题的序号是______.①抛物线y2=8x的准线方程为y=2;②过点M(2,4)作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线t仅有1条;③P是抛物线y2=8x上一动点,以P为圆心作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经过一个定点Q(2,0).【答案】①②【解析】解:①抛物线y2=8x的准线方程为x=−2,故①错误;②由M在抛物线y2=8x上,过点M(2,4)作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线t有2条,1条为切线,另一条为过M平行于对称轴的直线,故②错误;③抛物线y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=−2,P是抛物线y2=8x上一动点,以P为圆心作与抛物线准线相切的圆,可得P到准线距离为圆的半径,由抛物线的定义可得P到焦点的距离为P到准线的距离,则这个圆一定经过一个定点Q(2,0),故③正确.故答案为:①②.由抛物线的准线方程,可判断①;考虑M在抛物线上,可得所求直线可为切线或过M平行于对称轴的直线,可判断②;由抛物线的定义和直线与圆相切的条件,可判断③.本题考查抛物线的定义、方程和性质,同时考查直线和圆的位置关系,主要是相切,考查方程思想和数形结合思想,属于基础题.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)9/101.求满足下列条件的曲线的标准方程.(1)过点(−3,2)的抛物线;(2)实轴、虚轴长之和为28且实轴长大于虚轴长,焦距等于20的双曲线.【答案】解:(1)依题意可设抛物线的方程为y2=−2px或x2=2py(p>0)则4=−2p×(−3)或9=2p×2,∴p=23或p=94,∴抛物线的标准方程为:y2=−43x或x2=92y…………………………(5分)(漏解扣2分)(2)由题意得2a+2b=282c=20c2=a2+b2(7分),解得a=6b=8c=10(舍)或a=8b=6c=10(8分)由于双曲线的焦点位置不确定,∴所求双曲线的标准方程为x264−y236=1或y264−x236=1.……………………(10分)(漏解扣2分)【解析】(1)设出抛物线方程,利用抛物线经过的点,求解抛物线方程即可.(2)利用已知条件列出方程组求出实半轴长,虚半轴长,即可得到双曲线方程.本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用,双曲线方程的求法,考查计算能力.2.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(−1,4),B(−2,−1),C(2,3).(1)在△ABC中求边AC的高线所在直线的一般方程;(2)求平行四边形ABCD的对角线BD的长度;(3)求平行四边形ABCD的面积.【答案】解:(1)∵kAC=4−3−1−2=−13,∴边AC的高线的斜率k=3,∴边AC的高线所在的直线方程为y+1=3(x+2),即3x−y+5=0;………………………(4分)(2)设AC的中点为M,则M(12,72),设D(x,y),则−2+x2=12−1+y2=72,解得y=8x=3,∴点D(3,8),∴|BD|=(−2−3)2+(−1−8)2=106;……………………(8分)(3)易知直线BC方程为:x−y+1=0,|BC|=42,则点A(−1,4)到BC的距离为d=|−1−4+1|2=22,∴平行四边形ABCD的面积为S=|BC|⋅d=16.…………………………(12分)9/10【解析】(1)根据题意求出直线的斜率,写出直线的方程;(2)求出AC的中点M,根据对称性求出点D的坐标,再求|BD|的值;(3)求出边长|BC|和点A到直线BC的距离,再计算平行四边形ABCD的面积.本题考查了点到直线的距离与应用问题,也考查了直线方程的应用问题,是基础题.1.已知圆O:x2+y2=4,直线l:y=kx+4.(1)若直线l与圆O交于不同的两点A,B,当|AB|=2时,求实数k的值;(2)若k=1,P是直线上的动点,过P作圆O的两条切线PC、PD,切点分别为C、D,试探究:直线CD是否过定点.若存在,请求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)∵|AB|=2,设O到AB的距离为d,则d2+(|AB|2)2=r2,∴点O到l的距离d=3,即4k2+1=3,解得k=±393;(2)由题意可知,O,P,C,D四点共圆且在以OP为直径的圆上,设P(t,t+4),则此圆的方程为x(x−t)+y(y−t−4)=0,即x2−tx+y2−(t+4)y=0.又C,D在圆O:x2+y2=4上,两圆方程相减得:lCD:tx+(t+4)y=4.即(x+y)t+(4y−4)=0.由4y−4=0x+y=0,解得y=1x=−1.故直线CD过定点:(−1,4).【解析】(1)由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离,再由点到直线的距离公式列式求得k;(2)由题意可知,O,P,C,D四点共圆且在以OP为直径的圆上,设P(t,t+4),写出以OP为直径的圆的方程,与已知圆的方程作差求得CD所在直线方程,再由直线系方程求得直线CD所过定点.本题考查直线与圆位置关系的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.2.已知椭圆C:x24+y22=1,直线l:y=kx+1,若椭圆C上存在两个不同的点P,Q关于l对称,设PQ的中点为M.(1)证明:点M在某定直线上;(2)求实数k的取值范围.【答案】解:(1)当k=0时,显然不符合题意,舍; …………………(1分)当k≠0时,设直线PQ方程为y=−1kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),则由x124+y122=1x224+y222=1相减,整理得,y1−y2x1−x2⋅y0x0=−12,即−1k⋅y0x0=−12,∴kx0=2y0…………………………………………(4分)又M∈l,∴y0=kx0+1∴y0=2y0+1,即y0=−1∴M(−2k,−1)故点M在定直线y=−1上.…………………………………………………(6分)(2)由(1)得点M(−2k,−1)9/10,由题意知,点M必在椭圆内部,………………………………………………(8分)∴(−2k)24+(−1)22<1,解得k<−2或k>2……………………………………(12分)(说明:若利用△>0,结合点M在直线l上,利用韦达定理求出答案,根据实际情况酌情给分.)【解析】(1)当k=0时,显然不符合题意,舍;当k≠0时,设直线PQ方程为y=−1kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),利用平方差法,转化求解即可.(2)求出M(−2k,−1),点M必在椭圆内部列出不等式求解即可.本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力.9/10
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