湖南省醴陵市2022届高三数学上学期第一次联考试题理
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湖南省醴陵市2022届高三数学上学期第一次联考试题理考试时量:120分钟;总分:150分注意事项:1.请在答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题仅有一个答案是正确的)1.已知全集,集合,,则( )A. B. C. D. 2.已知(为虚数单位),则复数的虚部为( )A. B. 1 C. D. 23.下列命题中正确的是()A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题B.“a>0,b>0”是“”的充要条件C.命题“x2﹣3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2﹣3x+2≠0”D.命题p:,使得x2+x﹣1<0,则¬p:,使得x2+x﹣1≥04.已知F1,F2是双曲线E:的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,-17-\n且sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )A. B. C. D. 25.设等差数列的前项和为,且,,则满足的最大自然数为( )A. 12 B. 13 C. 22 D. 23XYAXyBXyCXyD6.函数(其中为自然对数的底数)图象的大致形状是( )XYAXyBXyCXyDXYAXyBXyCXyD7.已知抛物线的焦点为,准线为,且过点,在抛物线上,若点,则的最小值为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 58.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )A. B. C. D. -17-\n9.某班上午有五节课,分别安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化学相邻,数学与物理不相邻,且数学课不排第一节,则不同排课方法的种数是( )A. 16 B. 24 C. 8 D. 1210.函数()的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为( )A.B.C.D.11.已知数列的前n项和为,且满足,,,记,数列的前n项和为,若对,恒成立,则k的取值范围为()A. B. C. D. 12.已知四面体ABCD的外接球球心O恰好在棱AD上,且,,,则这个四面体的体积为( )-17-\nA. B. C. D. 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.若满足不等式,则的最大值为________.14.已知向量与的夹角为,,,则________.15.已知函数,,若存在常数,对,唯一的,使得,则称常数是函数在上的“几何平均数”.已知函数,,则在上的“几何平均数”是.16.已知函数,函数有三个零点,则实数的取值范围为________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答题需要写出必要的解答过程)17.(本小题满分12分)设的内角的对边分别为a,b,c且.(1)求角B的大小;(2)若,,求边a和c的值.18.(本小题满分12分)某数学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,结果如下表:记成绩不低于70分者为“成绩优良”.-17-\n分数[50,59)[60,69)[70,79)[80,89)[90,100]甲班频数56441乙班频数13655(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计(2)甲乙两班成绩未达优良的同学共15位,老师现从中任意抽取3人进行谈话,以便了解学习情况.在这3人中,记乙班成绩不优良的人数为,求的分布列及数学期望.附: . 临界值表如下:0.01019.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,,,DQPCBA且.(1)证明:;(2)若为的中点,且,求二面角的大小.-17-\n20.(本小题满分12分)已知椭圆:(),过点,离心率为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ),是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于,两点,交椭圆于另一个点,求面积取得最大值时直线的方程.21.(本小题满分12分)已知函数,曲线在x=1处的切线方程为。(1)求a和b的值;(2)求函数在上的最大值;(3)证明:当x>0时,.22.(本小题满分10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为,其中.(Ⅰ)求的极坐标方程;(Ⅱ)若与交于不同两点A和B,且,求的最大值.-17-\n2022届高三第一次联考数学(理科)参考答案一、单选题(每小题5分,共60分)题号123456789101112答案CDDACBBCABAD11.【答案】A【解答】由,得,两式作差得又,,可求得a3=4,所以数列是等比数列,且,代入 ,所以而恒成立,所以,故选A【分析】,得到两式子一减得到,进而求出的通项,将其通项代入,裂项得到,求其前n项和可以采用裂项相消法,最后便可以计算出k的范围。12.【答案】D【解答】∵,AC=2,∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC,∴△ABC外接圆的直径为AC,圆心O′为AC的中点∵球心O恰好在侧棱DA上,∴,又外接球球心O恰好在棱AD上,所以O为AD中点,所以//BC.即,,四面体的体积为.故答案为:D.【分析】由数据得到AB⊥BC,则直角△ABC外接圆的直径为AC,圆心O′为AC的中点,-17-\n得到DC⊥面ABC,再由体积公式求体积.二、填空题(每小题5分,共20分)13.【答案】14.【答案】615.【答案】16.【答案】16.【解答】由题得有三个零点,所以有三个零点,所以函数h(x)的图像就是坐标系中的粗线部分,y=a(x-2)表示过定点(2,0)的直线,所以直线和粗线有三个交点.所以由题得,.所以,所以a的取值范围为.【分析】本题的突破口是研研究结构特征,从而将g(x)=0的零点问题转化为,于是可以通过作图加以研究解决。三、解答题(本大题共6小题,共70分)-17-\n17.【解答】(1)解:bsinA=acosB,由正弦定理可得.................2分即得>0.....................................................................................................................4分,................................................................................5分..........................................................................................................................................6分..(2)解:sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,...............................................................................8分由余弦定理,,解得...............................................................................10分................................................................................12分【分析】(1)利用正弦定理边化角,得B角的正切,求得B.(2)利用正弦定理角化边,再用余弦定理解得a和c.18.【解答】(1)解:根据题意得2×2列联表如下:甲班乙班总计成绩优良91625成绩不优良11415-17-\n总计202040..........................2分根据2×2列联表中的数据,得的观测值为,.......................................................4分在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.............6分(2)由题可知的可能取值为0,1,2,3........................................................................7分;;;.的分布列为:X0123P..............................................10分所以...............................................12分【分析】(1)将列联表填写完整,结合K2的计算公式,计算结果,即可得出答案。(2)分别计算出X=0,1,2,3的概率,列出分布列,计算期望,即可得出答案。19.【解答】(1)证明:∵,-17-\n∴,,∴........................................................1分又∵底面,∴........................................................2分∵,∴平面.............................................3分平面,.......................................4分∴平面平面...................................5分(2)解:由(1)知,DA,DB,DP两两垂直,分别以,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示,设AD=1得AB=2,,令,则,,,,,...............6分∴.∴,∴.....................................................................7分故,.-17-\n................................................8分设平面的法向量为,则,令,得,即..........................................................9分易知平面的一个法向量为,........................................10分则.............................................................11分∴二面角的大小为.............................................................12分【分析】(1)根据勾股定理得出BC⊥BD,结合PD⊥BC可得BC⊥平面PBD,利用平面与平面垂直的判定得出平面PBD⊥平面PBC;(2)建立坐标系,求出平面QBD和平面BCD的法向量,用空间向量求平面间的夹角,得出二面角的大小.(注:由于命题出现失误,此题第2问存在问题,应该没有固定结果,为使评价近似合理,建议阅卷作如下标准记分:学生采用“设AD=1”方法所得出参考答案中结果的记满分,学生采用设其他具体数据算出余弦值或角度的记满分,如果学生考虑周密认为只能设AD为字母参数而算不出结果也得满分。命题组给大家带来麻烦还敬请谅解)19.【解答】解:(1)由题意得.........................................2分-17-\n解得........................................4分所以椭圆方程为.........................5分方法二:由得....................................1分.....................................................................................2分由椭圆经过点P(0,2))得...................................3分所以......................................................................................4分所以椭圆方程为..................................................5分(2)由题知直线的斜率存在,不妨设为,则:.........................6分若时,直线的方程为,的方程为,易求得,,此时........................................7分若时,则直线:.圆心到直线的距离为.直线被圆截得的弦长为.-17-\n......................................8分.由 ,得,故 .......................................9分所以 .......................................10分当时上式等号成立......................................11分因为,所以面积取得最大值时直线的方程应该是.....................................12分【分析】(1)结合椭圆的基本性质列方程,即可得出答案。(2)分k=0和k不为0两种情况讨论,结合直线l1的方程和圆方程,用k表示|AB|的长,结合直线l2和椭圆方程,利用所截的弦长为,表示线段PD,结合三角形面积计算公式,即可得出答案。21【解答】解:(1),.................................1分由题设得,,,...........2分-17-\n解得,.................................3分(2)法1:由(1)知,,.........4分因为当时,所以当时,,故在上单调递增,.................................5分所以.................................6分法2:由(1)知,,.........4分在上单调递减,在上单调递增,所以,所以在上单调递增,...........................5分所以,............................6分(3)因为,又由(2)知,过点,且在处的切线方程为,故可猜测:当时,的图象恒在切线的上方.........7分下证:当时,.设,则,由(2)知,在上单调递减,在上单调递增,又,所以存在,使得所以当时,;当,,-17-\n故在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.又(当且仅当时取等号)故.............................10分因为当时,故当时,当且仅当时取等号,所以当时.即,所以,即成立(当时等号成立).……12分22【答案】解:(Ⅰ)消去参数得到的普通方程为..........................2分再将,代入的普通方程中,得到的极坐标方程为......................................................................4分(Ⅱ)将代入,得.....................................................................6分令,得,已知,解得-17-\n ......................................................................7分设,则,则............................................8分所以......................9分又,所以当即时的最大值为................................................10分【解析】(1)将参数方程化成普通方程,再利用代入,化简,即可得出答案;(2)把题目所求的式子转化成三角函数的形式,再求三角表达式的最大值,即可得出答案。-17-
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