甘肃省天水市一中高二数学上学期第二学段考试试题文

天水一中高二级2022----2022学年度第一学期第二学段考试数学试题（文）（满分：100分时间：90分钟）一、单选题（每小题4分，共40分）1．设a,b,c∈R，且a>b，则（）A．ac>bcB．1a<1bC．a2>b2D．a3>b32．抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．(0,116)B．(0,1)C．(1,0)D．(116,0)3．设p：角α是钝角，设q:角α满足α>π2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知等差数列an的前n项和Sn，且S10=4，则a3+a8=（）A．2B．35C．45D．255．双曲线x24−y2=1的焦点到渐近线的距离为A．2B．2C．1D．36．抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)A．-1716B．-1516C．1716D．15167．已知F1,F2是椭圆x216+y29=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于点A,B，若AB=5,则AF1+BF1=（）A．9B．10C．11D．128．若P点在椭圆x22+y2=1上，F1 ， F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为（）A．2B．1C．32D．129．如图，过抛物线y2=2pxp>0的焦点F的直线交抛物线于点A、B3，交其准线l于点C，若点F是AC的中点，且AF=4，则线段AB的长为（）A．5B．6C．163D．20310．设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点,，则椭圆离心率的取值范围为(　　)A．0,22B．22,53C．23,53D．53,1二、填空题（每小题4分，共16分）11．命题“∀x∈N，x2+1<0”的否定是______________．12．已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2=b2+c2–2bcsinA，则内角A的大小是____________．13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px(p>0)的焦点在直线2x+y−2=0上，则p的值为_______．14．椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．已知∠POA=60∘，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为．三、解答题15．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设a=4，c=3，cosB=18．（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．16．（10分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=−7，S3=−15．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．17．（12分）已知O为坐标原点，抛物线y2=–x与直线y=k（x+1）相交于A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于10时，求实数k的值．18．（12分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为32，点(3,12)在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A(−2,0)作直线AQ交椭圆C于另外一点Q，交y轴于点R，P为椭圆C上一点，且AQ//OP3，求证：|AQ|⋅|AR||OP|2为定值．3参考答案（文）1-5．DCACC6-10.BCBCB11．∃x∈N，x2+1≥012.π413．214．25515．（1）22；（2）974．（1）∵a=4，c=3，cosB=18．∴由余弦定理可得b=a2+c2-2accosB=42+32-2×4×3×18=22．故b的值22．（2）∵cosB=18，B为三角形的内角，∴sinB=1-cos2B=1-(18)2=378，又a=4，c=3，∴S△ABC=12acsinB=12×4×3×378=974．16．（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．17．（1）证明见解析；（2）±16.（1）显然k≠0．联立y2=–xy=k（x+1），消去x，得ky2+y–k=0．如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≠0，x2≠0，由根与系数的关系可得y1+y2=–1k，y1·y2=–1．因为A，B在抛物线y2=–x上，所以y12=–x1，y22=–x2，y12·y22=x1x2．因为kOA·kOB=y1x1·y2x2=y1y2x1x2=1y1y2=–1，所以OA⊥OB．（2）设直线y=k（x+1）与x轴交于点N，令y=0，则x=–1，即N（–1，0）．因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=12ON·|y1|+12ON·|y2|=12ON·|y1–y2|=12×1×(y1+y2)2-4y1y2=12(-1k)2+4，所以10=121k2+4，解得k=±16．18．（Ⅰ）x24+y2=1；（Ⅱ）证明见解析.（Ⅰ）由题可得e=ca=32,，且：32a2+122b2=1，a2=b2+c2，所以a=2,c=3,b=1,所以椭圆C程为x24+y2=1.（Ⅱ）设直线AQ:y=k(x+2),R(0,2k),y=k(x+2),x24+y2=1,⇒(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0，由韦达定理可得：x1+x2=-16k21+4k2,x1⋅x2=16k2-41+4k2,x1=-2,x2=xQ=2-8k21+4k2，则|AQ|=1+k2|xQ-x1|=1+k2|2-8k21+4k2+2|=1+k2⋅41+4k2,|AR|=1+k2|0-(-2)|=21+k2,|OP|=1+k2|xP-0|，令直线OP为y=kx且令yp>0,xp>0.y=kx,x24+y2=1,得(1+4k2)x2-4=0,可得韦达定理：x1+x2=0,x1⋅x2=-41+4k2,x2=xp=41+4k2，所以|OP|=21+k21+4k2，|AQ|⋅|AR||OP|2=41+4k2⋅241+4k2=2，所以定值为2．