福建省四地六校高二数学上学期第三次联考12月试题理
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“四地六校”联考2022-2022学年上学期第三次月考高二数学试题(理科)(时间:120分钟总分:150分)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只且仅有一项是符合题目要求的。1.已知命题:,则()A.B.C.D.2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为,则抛物线的方程是()A.B.C.D.3.如图,空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD的中点,则等于()A.B.C.D.4.墙上挂有一边长为a的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径为的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是()A.B.C.D.与a的取值有关5.“”是“方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件6.某厂节能降耗技术改造后,在生产过程中记录了产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如右表所示,根据右表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为,那么a的值等于()A.0.35B.3.15C.3.5D.0.47.直线:y=kx+1与双曲线2x2-y2=1有且仅有一个公共点,则直线条数为()A.2B.4C.6D.315\n8.设双曲线的渐近线方程为则的值为()A.4B.3C.2D.19.下列结论错误的是()A.命题“若,则”与命题“若则”互为逆否命题;B.命题,命题则为真;C.“若则”的逆命题为真命题;D.若为假命题,则、均为假命题.10.程序框图如下:如果上述程序运行的结果为S=1320,那么判断框中应填入() A. B. C. D.11.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1,F2,若曲线r上存在点P满足=4:3:2,则曲线r的离心率等于()A.B.或2C.2D.12.设表示不超过实数的最大整数,则在坐标平面上,满足的点所形成的图形的面积为()A.2B.4C.6D.8第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的相应位置.13.某公司共有员工名,现须新设一些部门,要采用分层抽样方法从全体员工中抽取人,已知某部门有200名员工,那么从该部门抽取的工人数是 14.右图是某市歌手大奖赛中评委组为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为 15.F是抛物线的焦点,A是抛物线E上任意一点。现给出下列四个结论:①以线段AF为直径的圆必与y轴相切;②当点A为坐标原点时,|AF|为最短;③若点B是抛物线E上异于点A的一点,则当直线AB过焦点F时,|AF|+|BF|取得最小值;④点B、C是抛物线E上异于点A的不同两点,若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列,则点A、B、C的横坐标亦成等差数列。其中正确结论的序号有 15\n16.过抛物线的焦点F作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧),则=.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)设:实数x满足,:实数满足(Ⅰ)若,且为真,求实数的取值范围.(Ⅱ)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.18.(本小题满分12分)为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干学生的百米成绩,成绩全部介于13秒与18秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组[13,14);第二组[14,15);……;第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19,且第二组的频数为8.(Ⅰ)将频率当作概率,请估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数;(Ⅱ)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩;(Ⅲ)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.19.(本小题满分12分)如图,在长方体中,,,为中点.(Ⅰ)求与平面所成角的正弦值;(Ⅱ)在棱上是否存在一点,使得∥平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由.15\n20.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且经过点,直线交椭圆于不同的两点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求的取值范围;(Ⅲ)若直线不过点,求证:直线的斜率互为相反数.21.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱中,是中点.(I)求证:平面;(II)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22.(本小题满分12分)已知动圆C过定点(1,0),且与直线x=-1相切.(Ⅰ)求动圆圆心C的轨迹方程;(Ⅱ)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为和,当时,求证直线AB恒过一定点M,并求M坐标。15\n“四地六校”联考2022-2022学年上学期第三次月考高二数学答题卷(理科)(考试时间:120分钟总分:150分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)15\n题号123456789101112答案18、二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13、 14、 15、 16、 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17、(本小题满分10分)18、(本小题满分12分)15\n19、(本小题满分12分)20、(本小题满分12分)15\n21、(本小题满分12分)22、(本小题满分115\n“四地六校”联考2022-2022学年上学期第三次月考高二(理科)数学参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分题号123456789101112答案CDCABABCCDAB18、二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分15\n13、2014、1.6 15、①②③④ 16、三、解答题:本大题共6小题,共70分.17解:(Ⅰ)由得,又,所以,当时,,即为真时,实数的取值范围是;……………(2分)由,得,即为真时,实数的取值范围是;(4分)为真,则真且真,所以实数的取值范围是.……………………(5分)(Ⅱ)是的充分不必要条件,即且设,,则,……………………………………………(7分)又,,则,且,所以实数的取值范围是……………………(10分)18解:(Ⅰ)百米成绩在[16,17)内的频率为0.321=0.32---------------------------------------1分0.321000=320∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人。-------------------------------2分(Ⅱ)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x,8x,19x依题意,得3x+8x+19x+0.321+0.081=1,∴x=0.02--------------------------------------5分设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩,则∴n=50∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩。---------------------------------7分(Ⅲ)百米成绩在第一组的学生数有30.02150=3,记他们的成绩为a,b,c-------8分百米成绩在第五组的学生数有0.08150=4,成绩为m,n,p,q--------------9分则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q},共21个------------10分其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},共12个,15\n---------------11分所以P=----------------------------------------------------------------12分19(Ⅰ)证明:如图建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则即令,则………………4分………………6分所以与平面所成角的正弦值为………………7分(Ⅱ)假设在棱上存在一点,使得∥平面.设的坐标为,则因为∥平面所以,即,,解得,…………10分所以在棱上存在一点,使得∥平面,此时的长.……12分20.(Ⅰ)设椭圆的方程为,因为,所以,又因为,所以,解得,故椭圆方程为.…………………4分15\n(Ⅱ)将代入并整理得,解得.…………………7分(Ⅲ)设直线的斜率分别为和,只要证明.设,,则.…………………8分所以直线的斜率互为相反数.…………………12分21.(I)证明:连接交于点,连接因为为正方形,所以为中点,又为中点,所以为的中位线,所以………………2分又平面,平面所以平面………………4分(Ⅱ)解:因为,设平面的法向量为,则有,得,则,………………7分因为平面,取平面的法向量为15\n………………11分………………10分平面与平面所成锐二面角的余弦值………………12分22.解:(Ⅰ)设动圆圆心M(x,y),依题意点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线其方程为y2=4x.…………4分(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得x1≠x2且x1x2≠0,则所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky2-4y+4b=0.…………6分由韦达定理得…………7分因所以,…………8分解得y1y2=16,又y1y2=所以b=4k;…………11分因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB恒过定点(-4,0).…………12分高二数学月考三命题双向细目表(理科)题型题号考查知识点考查层次(能力要求)考查分值15\n层次识记理解掌握灵活运用选择题1含有量词命题否定理解52抛物线的性质方程理解53空间向量运算掌握54几何概型理解55椭圆方程、充要条件了解56回归直线掌握57双曲线与直线位置关系了解58双曲线渐近线掌握59逻辑掌握510程序框图理解511圆锥曲线定义、离心率掌握512椭圆的知识综合问题掌握5填空题13分层抽样了解514茎叶图、方差理解515抛物线定义解题灵活运用516抛物线的综合应用灵活运用5解1简易逻辑的应用理解115\n答题1频率分布直方图、古典概型掌握11空间向量在立体几何中应用1之线面角理解2直线与椭圆关系综合问题之弦长、弦中点、面积最值理解12间向量在立体几何中应用之二面角掌握12直线与抛物线关系之定点问题灵活运用115
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