福建省建瓯市芝华中学2022届高三数学上学期第一次月考试题理

2022-2022学年度上学期高三第一次阶段考考试理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|log2x＜0}，则M∩N等于（　　）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，3）2．设函数f（x）=，则f（f（e））=（　　）A．0B．1C．2D．ln（e2+1）3．若命题p：∃α∈R，cos（π﹣α）=cosα；命题q：∀x∈R，x2+1＞0．则下面结论正确的是（　　）A．p是假命题B．￢q是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题4.已知满足约束条件，则的最小值为（）A．-6B．-3C.-4D．-25.函数y=xsinx在[﹣π，π]上的图象是（　　）A．B．C．D．6.已知向量满足，则（）A．B．C.D．7.如图，ABCD是边长为l的正方形，O为AD的中点，抛物线的顶点为O，且通过点C，则阴影部分的面积为（　　）　-11-\nA．B．C．D．8.已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）A．B．C.D．9.已知是奇函数，且，当时，，则（）A．B．C．D．10.等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为(　　)A．1-B．1-C.D.11.函数的图象在上恰有两个最大值点，则的取值范围为（）A．B．C．D．12.如图,是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（）A．B．C.D．第Ⅱ卷二、填空题:本题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上-11-\n13.若a＞1，则a＋的最小值是．14.已知，则．15.已知三棱锥平面，其中，，四点均在球的表面上，则球的表面积为．．16.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积.弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为．（实际面积-弧田面积）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小：（2）若，．求的面积．18.（本题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝-2SnSn-1(n≥2)．(1)求证：数列是等差数列；(2)求Sn和an.-11-\n19.（本题满分12分）设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.(1)求ω的值.(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到,求y=g(x)的单调递增区间、对称轴和对称中心.20.（本题满分12分）已知等比数列的各项均为正数，，且的等差中项为.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，数列的前项和为，证明：.21.（本题满分12分）四棱锥中，底面为直角梯形，，，，且平面平面．（1）求证：；-11-\n（2）在线段上是否存在一点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22.（本题满分12分）设函数．（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．-11-\n试卷答案一、选择题1-5:CCDCA6-10:BDCDC11、12：CB二、填空题13.314.15.16.三、解答题17.【答案】（1）；（2）4．【解析】（1）在中，由正弦定理得．······1分即，又角为三角形内角，，所以，···········3分即，···········4分又因为，所以．···········6分（2）在中，由余弦定理得：，则．···········7分即．···········8分解得（舍）或．···········10分所以．···········12分18.解：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn-Sn-1＝-2SnSn-1，因为S1＝a1≠0，由递推关系知Sn≠0(n∈N*)，将等式Sn-Sn-1＝-2SnSn-1，两边同除以SnSn-1，得-＝2(n≥2)，＝＝2，所以是首项为2，公差为2的等差数列．-11-\n(2)因为＝＋(n-1)d＝2n，所以Sn＝.当n≥2时，an＝Sn-Sn-1＝-，当n＝1时，a1＝不适合上式，所以an＝19.【解析】(1)f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2=sin+2,依题意得=,故ω的值为.(2)依题意得:g(x)=sin+2=sin+2,由2kπ-≤3x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),故y=g(x)的单调递增区间为(k∈Z),因为g(x)=sin+2,所以由3x-=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,所以y=g(x)的对称轴为x=+,k∈Z.由3x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,所以y=g(x)的对称中心为.综上所述,y=g(x)的单调递增区间为(k∈Z),对称轴为x=+,k∈Z,对称中心为,.20.（1）设等比数列的公比为，-11-\n由题意，得……………………………………………………………………………2分即两式相除，得，解得或，………………………………………4分∵,∴,解得，…………………………………5分所以.…………………………………………6分（2）由（1）得，……………………………7分∴，………………………………………9分∴………11分∴.………………………………………………12分21.解：（1）过点作，交于，连接．∵，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，又平面平面，∴平面，∵平面，∴；（2）∵平面平面，平面平面，∴-11-\n平面．以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，假设存在点，使得二面角的大小为，则．设平面的一个法向量为，则，∴，令，得，∵平面，∴为平面的一个法向量．∴，解得，∴．22.解：（1）当时，，∴在处的切线斜率，由，得，∴，∴．（2）易知函数的定义域为，又，-11-\n由题意，得的最小值为负，∴．（注：结合函数图象同样可以得到），∴∴，∴；（3）令，其中，则，则，则，∴在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不妨设，即，可得，（*）则在区间内单调递增，在区间内单调递减，∴，，将（*）式代入上式，得．根据题意恒成立，又∵，当且仅当时，取等号，∴，-11-\n∴，代入（*）式，得，即，又，∴，∴存在满足条件的实数，且．-11-