福建省闽粤联合体2022届高三数学上学期第三次联考试题

2022届闽粤联合体第三次联考高三数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若，且；关于的一元二次方程：的一个根大于零，另一个根小于零，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分条件也不必要条件2．下列说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．已知是R上的可导函数，则“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是:“对任意x∈R,均有x2＋x＋1＜0”D．命题“角的终边在第一象限角，则是锐角”的逆否命题为真命题3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于（A）（B）（C）（D）4．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为(A)(B)(C)(D)-10-\n5.某程序的框图如图所示,执行该程序，若输入的为，则输出的的值分别为(A)(B)(C)(D)6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%7.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（A）16（B）20（C）26（D）308.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（A）（B）（C）（D）9.设函数，且其图像关于轴对称，则函数的一个单调递减区间是（）10．P是所在的平面上一点，满足，若，则的面积为（A）3（B）4（C）6（D）811．右图可能是下列哪个函数的图象（A）（B）（C）（D）-10-\n12.若函数满足，且时，，，则函数在区间内的零点的个数为(A)(B)(C)(D)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.甲乙两人从门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有___14．已知的展开式中常数项为，则常数=__________15．已知为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为___________.16．设数列的前n项和为.且，则=_________.三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程）17．（本小题满分12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a＝2csinA．(1)确定角C的大小；(2)若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值．18．（本小题满分12分）ABCDE（图1）（图2）A1BCDE如图1在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；-10-\n19．（本小题满分12分）汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.20．（本小题满分12分）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.21．（本小题满分12分）设函数.（I）求的单调区间；（II）若存在实数，使得，求的取值范围，并证明：.-10-\n四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙的半径为6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点.（Ⅰ）求长；（Ⅱ）当⊥时，求证：.23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的最大距离.24．选修4－5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若的解集为，，求证：．-10-\n数学试题（理科）参考答案一、选择题：ABACCBDACBDC二、填空题：13、30；14、1；15、4；16、（等价形式也给分）.三、17．解：(1)由a＝2csinA及正弦定理得，sinA＝2sinCsinA．-------2分∵sinA≠0，∴sinC＝，∵△ABC是锐角三角形，∴C＝.--------------6分(2)∵C＝，△ABC面积为，∴absin＝，即ab＝6.①-------------------8分∵c＝，∴由余弦定理得a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7.②------10分由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.-------------------12分18．（Ⅰ）证明：在△中，.又.--------------4分由.…………………………6分A1BCDExzy（Ⅱ）如图,以为原点，建立空间直角坐标系．……………………7分．设为平面的一个法向量，因为所以，令，得.所以为平面的一个法向量．……………………10分-10-\n设与平面所成角为．则．所以与平面所成角的正弦值为．…………………12分19．解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为这辆汽车是A型车的概率为0.6………………3分（II）设“事件表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为天”，　　“事件表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为天”，其中　　　则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为　………………5分　　　该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为……8分（Ⅲ）设为A型车出租的天数，则的分布列为12345670.050.100.300.350.150.030.02设为B型车出租的天数，则的分布列为145670.140.200.200.160.150.100.05…10分-10-\n一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天，选择A类型的出租车更加合理.………………12分20．解：（Ⅰ）将代入，得所以抛物线方程为，焦点坐标为………………3分（Ⅱ）设，，，设直线方程为与抛物线方程联立得到，消去，得：则由韦达定理得：………………5分直线的方程为：，即，令，得，同理可得：…………8分又，　　　　　　　　………11分所以，即为定值………………12分21．解:（Ⅰ），则--------------------1分令，则-------------------------2分+0--------4分—极大值-10-\n故函数的增区间为；减区间为.----------------5分(Ⅱ)当时，当时，----------------6分若函数有两个零点，只需，即，--------------8分而此时，，由此可得，故，即，---------------------------10分又.12分22．证明（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCA=∠ODB，∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…………………5分（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180º–∠A–∠ODC=180º–∠COD–∠OCD=∠ADO．∴AD=AO……………………10分23．解：⑴由得，∴……………2分由得.………………5分⑵在上任取一点，则点到直线的距离为.………………7分其中，∴当1，.………………10分-10-\n24．解：（1）当时，不等式为，不等式的解集为；----------------5分（2）即，解得，而解集是，，解得,所以所以．-----------------10分-10-