辽宁省沈阳二中2022届高三数学上学期12月月考试题理
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沈阳二中2022-2022学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收高三(16届)数学试题(理科)说明:1.测试时间:120分钟总分:150分2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷(60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设,则()A.B.C.D.2.已知数列{xn}满足x1=1,x2=,且+=(n≥2),则xn等于( )A.n-1 B.n C. D.3.下列四个结论:①若,则恒成立;②命题“若”的逆否命题为“若”;③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件;④命题“”的否定是“”.其中正确结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知函数的图像是连续不断的,有如下的,的对应表123456136.1315.552-3.9210.88-52.488-232.064则函数存在零点的区间有( )A.区间B.区间C.区间D.区间5.已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥βB.若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥βC.若m⊥α,n∥β,且m⊥n,则α⊥βD.若m⊥α,n∥β,且m∥n,则α∥β6.已知的值为()-11-\nA.﹣1B.﹣2C.D.27.已知x∈(0,+∞),观察下列各式:x+≥2,x+=++≥3,x+=+++≥4,…,类比有x+≥n+1(n∈N*),则a等于()A.nB.2n C.n2 D.nn8.6名志愿者(其中4名男生,2名女生)义务参加宣传活动,他们自由分成两组完成不同的两项任务,但要求每组最多4人,女生不能单独成组,则不同的工作安排方式有( )A.40种B.48种 C.60种 D.68种9.设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形区域(含边界),若点(x,y)∈D,则的取值范围是( )A.[﹣1,] B.[﹣1,1] C.[0,] D.[0,]10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.B.C.D.11.如图,、是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形,则双曲线的离心率为()A.4B.C.D.12.设函数在上存在导数,,有,在上-11-\n,若,则实数的取值范围为()A.B.C.D.第Ⅱ卷(90分)一、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.13.一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男、女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是________.14.等比数列{an}中,a3=9前三项和为S3=3x2dx,则公比q的值是________.15.已知直三棱柱中,,侧面的面积为,则直三棱柱外接球表面积的最小值为.16.已知椭圆(a>b>0),圆O:x2+y2=b2,过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N,则=_____三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知数列{an}中,a1=2,an=an-1+2n(n∈N*,n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和Sn.18.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinCcosC-cos2C=,且c=3.(1)求角C;(2)若向量m=(1,sinA)与n=(2,sinB)共线,求a,b的值.19.(本小题满分12分)某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法.-11-\n收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:时).(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4时的概率;(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附χ2=P(χ2>k)0.050.010k3.8416.63520.(本小题满分12分)如图,边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,其中AB∥CD,AB⊥BC,DC=BC=AB=1,点M在线段EC上.(Ⅰ)证明:平面BDM⊥平面ADEF;(Ⅱ)判断点M的位置,使得平面BDM与平面ABF所成锐二面角为.21.(本小题满分12分)-11-\n已知椭圆M的左、右焦点分别为F1(-,0)、F2(,0),且抛物线x2=4y的焦点为椭圆M的顶点,过点P(0,2)的直线l与椭圆M交于不同的两点A、B.(1)求椭圆M的方程;(2)求△OAB面积的取值范围;(3)若S△OAB=,是否存在大于1的常数m,使得椭圆M上存在点Q,满足=m(+)?若存在,试求出m的值;若不存在,试说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lnx,g(x)=+bx(a≠0)(Ⅰ)若a=﹣2时,函数h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设φ(x)=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函数φ(x)的最小值;(Ⅲ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.数学试题答案(理科)1-----12BDCCADDBBABB-11-\n13.1214.1或﹣15.16.17.解 (1)∵a1=2,an=an-1+2n(n∈N*,n≥2),∴a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,……,an-an-1=2n,以上各式相加得an=a2+4+6+8+…+2n=n(n+1),当n=1时,a1=2也适合上式,∴an=n(n+1)(n∈N*).--------------------------------5分(2)由(1)得an=n(n+1),∴==-,∴Sn=++…+=++…+=.---------------10分18.解 (1)∵sinCcosC-cos2C=,∴sin2C-cos2C=1,即sin=1,∵0<C<π,∴2C-=,解得C=.----------------6分(2)∵m与n共线,∴sinB-2sinA=0,由正弦定理=得b=2a.①∵c=3,由余弦定理得9=a2+b2-2abcos,②联立方程①②得------------------------------12分19.解:(1)300×=90,---------------------------------2分所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4时的概率的估计值为0.75.---4分(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4时,75人的每周平均体育运动时间不超过4时.-11-\n又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得χ2=≈4.762>3.841.所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.---12分20.解答:(Ⅰ)证明:如图,∵DC=BC=1,DC⊥BC,∴BD=,又∵AD=,AB=2,∴AD2+BD2=AB2,则∠ADB=90°,∴AD⊥BD.又∵面ADEF⊥面ABCD,ED⊥AD,面ADEF∩面ABCD=AD,∴ED⊥面ABCD,则BD⊥ED,又∵AD∩DE=D,∴BD⊥面ADEF,又BD⊂面BDM,∴平面BDM⊥平面ADEF;----------------------------------------------4分(Ⅱ)在面DAB内过D作DN⊥AB,垂足为N,∵AB∥CD,∴DN⊥CD,又∵ED⊥面ABCD,∴DN⊥ED,∴以D为坐标原点,DN所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DE所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,∴B(1,1,0),C(0,1,0),E(0,0,),N(1,0,0),设M(x0,y0,z0),由,得,∴x0=0,,则M(0,λ,),设平面BDM的法向量,则,∴,令x=1,得.∵平面ABF的法向量,-11-\n∴,解得:.∴M(0,),∴点M的位置在线段CE的三等分点且靠近C处.-------------------------12分21.解 (1)由题意得抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1).所以椭圆M的一个顶点为(0,1),又其焦点为F1(-,0),F2(,0).故c=,b=1,a=2.所以椭圆M的方程为+y2=1.--------------2分(2)当直线l的斜率不存在时,直线l即为y轴,此时A、B为椭圆M短轴的两个端点,A、B、O三点共线,显然不符合题意.当直线l的斜率存在时,设为k,则直线l的方程为y=kx+2.联立方程代入消去y整理得(4k2+1)x2+16kx+12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由一元二次方程根与系数的关系可得,x1+x2=,x1x2=,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=2-4×=[(-16k)2-48(4k2+1)]=,故|x1-x2|=,|AB|=·|x1-x2|=.而点O到直线l的距离d=,-11-\n所以△OAB的面积S=·|AB|·d=··=.设t=>0,故k2=,所以S===,因为t>0,所以t+≥2=4,当且仅当t=,即t=2时取得等号,此时k2=,解得k=±,S取得最大值1.故△OAB面积的取值范围为(0,1].----------------------------------8分(3)由(2)可知,△OAB的面积S==,即5=4k2+1,两边平方整理得4k4-23k2+19=0,解得k2=1或k2=.设Q(x0,y0),由=m(+),解得x0=m(x1+x2)=,y0=m(y1+y2)=m(kx1+2+kx2+2)=m[k(x1+x2)+4]=m=.故Q,由点Q在椭圆M上可得+2=1,整理得64k2m2+16m2=(4k2+1)2,解得m2=,故m2=或m2=.因为m>1,故m=.---------------------------------------------12分所以存在实数m=,使得椭圆M上存在点Q,满足=m(+).22.解:(I)依题意:h(x)=lnx+x2﹣bx.∵h(x)在(0,+∞)上是增函数,∴对x∈(0,+∞)恒成立,∴,∵x>0,则.--------------------------------------2分∴b的取值范围是.(II)设t=ex,则函数化为y=t2+bt,t∈[1,2].-11-\n∵.∴当,即时,函数y在[1,2]上为增函数,当t=1时,ymin=b+1;当1<﹣<2,即﹣4<b<﹣2时,当t=﹣时,;,即b≤﹣4时,函数y在[1,2]上是减函数,当t=2时,ymin=4+2b.综上所述:----------------------------6分(III)设点P、Q的坐标是(x1,y1),(x2,y2),且0<x1<x2.则点M、N的横坐标为.C1在点M处的切线斜率为.C2在点N处的切线斜率为.假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2.即.则=,∴设,则,(1)令,则,∵u>1,∴r′(u)>0,所以r(u)在[1,+∞)上单调递增,-11-\n故r(u)>r(1)=0,则,与(1)矛盾!----------------12分-11-
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