高三数学下册第一次调研测试

高三数学下册第一次调研测试必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．命题“R，”的否定是▲．2．若集合A=，B=满足A∪B=R，A∩B=，则实数m=▲．3．若是纯虚数，则实数a的值是▲．开始结束A1,S1A≤MS2S+1AA+1S1输出SNY（第4题）4．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是▲．5．若函数（a为常数）在定义域上为奇函数，则k=▲．6．若直线和圆O：没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数为▲．7．曲线C：在x=0处的切线方程为▲．8．下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，男生女生9876530336 66   2001565362877（第8题）则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是▲．9．已知集合，集合，在集合A中任取一个元素p，则p∈B的概率是▲．10．设实数满足则的取值范围是▲．11．已知a，b为不共线的向量，设条件M：；条件N：对一切，不等式恒成立．则M是N的▲条件．12．已知数列{an}中，a1=1，a2=0，对任意正整数n，m(n>m)满足，则a119=▲．21/21高三数学下册第一次调研测试必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．命题“R，”的否定是▲．2．若集合A=，B=满足A∪B=R，A∩B=，则实数m=▲．3．若是纯虚数，则实数a的值是▲．开始结束A1,S1A≤MS2S+1AA+1S1输出SNY（第4题）4．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是▲．5．若函数（a为常数）在定义域上为奇函数，则k=▲．6．若直线和圆O：没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数为▲．7．曲线C：在x=0处的切线方程为▲．8．下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，男生女生9876530336 66   2001565362877（第8题）则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是▲．9．已知集合，集合，在集合A中任取一个元素p，则p∈B的概率是▲．10．设实数满足则的取值范围是▲．11．已知a，b为不共线的向量，设条件M：；条件N：对一切，不等式恒成立．则M是N的▲条件．12．已知数列{an}中，a1=1，a2=0，对任意正整数n，m(n>m)满足，则a119=▲．21/21ABCD（第13题）13．已知正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的俯视图如右图所示，其中四边形是边长为2cm的正方形，则这个四面体的主视图的面积为▲cm2．14．约瑟夫规则：将1，2，3，…，n按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，隔一个删除一个数，直至剩余一个数而终止，依次删除的数为1，3，5，7，…．当时，剩余的一个数为▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，ｂ，ｃ．向量m=,n=满足m//n.（1）求的取值范围；（2）若实数x满足abx=a+b，试确定x的取值范围.16．（本小题满分14分）DCPAB（第16题）在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若平面PAB平面PCD，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由.21/2117．（本小题满分15分）设a为实数，已知函数.（1）当a=1时，求函数的极值．（2）若方程=0有三个不等实数根，求a的取值范围．18．（本小题满分15分）如图，椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两个动点，OMNF2F1yx（第18题）且.（1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；（2）设椭圆的离心率为，MN的最小值为，求椭圆方程.21/2119．（本小题满分16分）下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为Aij.1471013…48121620…712172227…1016222834…1320273441……………（1）证明：存在常数，对任意正整数i、j，总是合数；（2）设 S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列.试证不存在正整数k和m，使得成等比数列；（3）对于（2）中的数列，是否存在正整数p和r ，使得成等差数列．若存在，写出的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．21/2120．（本小题满分16分）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：①f(x)＝；②g(x)＝sinx(x∈(0，π)).（2）若函数h(x)＝lnx(x∈［M，＋∞))是保三角形函数，求M的最小值.附加题部分21.（选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题.每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．PADBCO·A.选修4－1：几何证明选讲如图，PA切⊙O于点，D为的中点，过点D引割线交⊙O于、两点．求证:．B.选修4－2：矩阵与变换已知在一个二阶矩阵M的变换作用下,点变成了点，点变成了点，求矩阵M.21/21A.选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C(2，)，半径R=，求圆C的极坐标方程.B.选修4－5：不等式选讲已知，求证：.22.必做题,本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示.21/21纪念币ABC概率aa将这三个纪念币同时投掷一次,设表示出现正面向上的个数.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率(i=0，1，2，3)中,若的值最大,求a的取值范围.23．必做题,本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知．用数学归纳法证明：.南通市2022届高三第一次调研测试数学参考答案及评分标准必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．【填空题答案】1．R，;2．3;3．1；4．5；5．；6．2；　7．y=2x+3；8．1.5；9．；10．；11．充要；12．－1；13．；14．2．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，ｂ，ｃ．向量m=,21/21n=满足m//n.（1）求的取值范围；（2）若实数x满足abx=a+b，试确定x的取值范围.【解】(1)因为m//n，所以，………………………2分因为三角形ABC的外接圆半径为1,由正弦定理，得.于是.因为.故三角形ABC为直角三角形.………………………5分,因为，所以,故.………………………7分(2).………………………9分设，则，……………………11分，因为＜0，故在（1，]上单调递减函数.所以.所以实数x的取值范围是.……………………14分16．（本小题满分14分）DCPAB（第16题）在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若平面PAB平面PCD，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由.（1）【证明】因为∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.21/21而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PA.………………3分同理可得AB⊥PA. ………………5分由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=C,所以PA⊥平面ABCD.………………………7分（2）【解】（方法一）不平行.………………………9分证明：假定直线l∥平面ABCD,由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD,所以∥CD.……………………11分同理可得l∥AB,所以AB∥CD.……………………13分这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾,故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行.……………………14分（方法二）因为梯形ABCD中AD∥BC,所以直线AB与直线CD相交，设ABCD=T.……………………11分由TCD，CD平面PCD得T平面PCD.同理T平面PAB.……………………13分即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.所以直线与平面ABCD不平行.……………………14分17．（本小题满分15分）设a为实数，已知函数.（1）当a=1时，求函数的极值．（2）若方程=0有三个不等实数根，求a的取值范围．【解】(1)依题有，故.21/21………………………2分由x02+0－0+↗极大值↘极小值↗………………………5分得在时取得极大值，在时取得极小值.…………7分(2)因为，………………………9分所以方程的两根为a－1和a+1，显然，函数在x=a－1取得极大值，在x=a+1是取得极小值.……………………11分因为方程=0有三个不等实根，所以即解得且.故a的取值范围是.……………………15分18．（本小题满分15分）如图，椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两个动点，OMNF2F1yx（第18题）且.（1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；（2）设椭圆的离心率为，MN的最小值为，求椭圆方程.【解】（1）设椭圆的焦距为2c(c>0)，则其右准线方程为x＝，且F1(－c,0),　F2(c21/21,0).　……………2分设M，则＝.………………………4分因为，所以，即.于是，故∠MON为锐角.所以原点O在圆C外.………………………7分（2）因为椭圆的离心率为，所以a=2c，………………………8分于是M，且………………………9分MN2＝(y1－y2)2＝y12+y22－2y1y2.……………………12分当且仅当y1＝－y2＝或y2＝－y1＝时取“=”号，……………………13分所以(MN)min=2c＝2，于是c=1,从而a＝2，b＝，故所求的椭圆方程是.……………………15分19．（本小题满分16分）下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为Aij.1471013…48121620…712172227…21/211016222834…1320273441……………（1）证明：存在常数，对任意正整数i、j，总是合数；（2）设 S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列.试证不存在正整数k和m，使得成等比数列；（3）对于（2）中的数列，是否存在正整数p和r ，使得成等差数列．若存在，写出的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．（1）【证明】因为第一行数组成的数列{A1j}(j=1,2，…)是以1为首项，公差为3的等差数列，所以A1j＝1+(j－1)×3＝3j－2，第二行数组成的数列{A2j}(j＝1,2，…)是以4为首项，公差为4的等差数列，所以A2j＝4+(j－1)×4＝4j．………………………2分所以A2j－A1j＝4j－(3j－2)＝j＋2，所以第j列数组成的数列{Aij}(i＝1,2，…)是以3j－2为首项，公差为j＋2的等差数列，所以Aij＝3j－2＋(i－1)×(j＋2)＝ij＋2i＋2j－4＝(i＋3)(j＋2)8．……………5分故Aij＋8=(i＋3)(j＋2)是合数．所以当＝8时，对任意正整数i、j，总是合数………………………6分（2）【证明】(反证法)假设存在k、m，，使得成等比数列，即………………………7分∵bn＝Ann＝(n+2)2－421/21∴得，即，………………………10分又∵，且k、m∈N，∴k≥2、m≥3，∴，这与∈Z矛盾，所以不存在正整数k和m，使得成等比数列．……………………12分（3）【解】假设存在满足条件的，那么即.……………………14分不妨令得所以存在使得成等差数列．……………………16分（注：第（3）问中数组不唯一，例如也可以）20．（本小题满分16分）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：①f(x)＝；②g(x)＝sinx(x∈(0，π)).（2）若函数h(x)＝lnx(x∈［M，＋∞))是保三角形函数，求M的最小值.（1）【答】f(x)＝是保三角形函数，g(x)＝sinx(x∈(0，π))不是保三角形函数.【证明】①f(x)＝是保三角形函数.对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，21/21f(a)＝，f(b)＝，f(c)＝.因为(＋)2＝a＋2＋b＞c＋2＞()2，所以＋＞.同理可以证明：＋＞，＋＞.所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故f(x)＝是保三角形函数.………………4分②g(x)＝sinx(x∈(0，π))不是保三角形函数.取，显然这三个数能作为一个三角形的三条边的长.而sin＝1，sin＝，不能作为一个三角形的三边长.所以g(x)＝sinx(x∈(0，π))不是保三角形函数.………………………8分(2)【解】M的最小值为2.……………………10分(i)首先证明当M≥2时，函数h(x)＝lnx(x∈［M，＋∞))是保三角形函数.对任意一个三角形三边长a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，则h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.因为a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，即lna＋lnb＞lnc.同理可证明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长.故函数h(x)＝lnx(x∈［M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函数.……………………13分(ii)其次证明当0