高二数学下学期期末联考试题

高二数学下学期期末联考试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．祝各位同学考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则“”是“”的（）．（A）必要非充分条件；（B）充分非必要条件；（C）充要条件；（D）既不充分也不必要条件．2．经过点（0，0），且与以（2，－1）为方向向量的直线垂直的直线方程为（）．（A）；（B）；（C）；（D）．3．已知动点P（，）满足，则点P的轨迹是（）．（A）椭圆；（B）双曲线；（C）抛物线；（D）两相交直线．4．（文科）给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果两条直线同垂直一个平面，那么这两条直线平行．其中真命题的个数是（）．（A）4；（B）3；（C）2；（D）1．（理科）对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与（　　）．（A）平行；（B）相交；（C）垂直；（D）互为异面直线．5．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（）．（A）；（B）；（C）；（D）．6．已知直线：与以A（1，4）、B（3，1）为端点的线段相交，则实数10/10\n的取值范围是（）．（A）；（B）；（C）；（D）或．7．已知圆C：及直线：．当直线被圆C截得的弦长为时，则（　　）．（A）；　（B）；　（C）；　（D）．8．已知点A（3，2），F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，当取得最小值时，点P的坐标是（）．（A）（0，0）；　（B）（2，2）；　（C）（－2，－2）　（D）（2，0）．9．（文科）已知，，，则的最小值是（）．（A）；（B）；（C）；（D）5．（理科）已知，则有（）．（A）最大值；（B）最小值；（C）最大值1；（D）最小值1．10．点P是双曲线上的一点，和分别是双曲线的左、右焦点，，则的面积是（）．（A）24；　　（B）16；　　　（C）8；　　　（D）12．11．如图1，PA⊥平面ABC，∠ACB＝，且PA＝AC＝BC＝，则异面直线PB与AC所成的角是（）．（A）；（B）；（C）；（D）．图112．（文科）已知椭圆的左，右焦点分别为、，点P10/10\n在椭圆上，且，则此椭圆的离心率的最小值为（）．（A）；（B）；（C）；（D）．（理科）已知E、F是椭圆的左、右焦点，是椭圆的一条准线，点P在上，则∠EPF的最大值是（）．（A）；（B）；（C）；　（D）．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．，是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则．其中真命题的编号是．（写出所有真命题的编号）14．对于圆上任一点，不等式恒成立，则实数的取值范围．15．设满足约束条件：则目标函数的最大值是．16．已知抛物线的对称轴为，焦点为（1，1），则此抛物线的准线方程是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设，解关于的不等式：．18．（12分）过抛物线10/10\n的焦点的一条直线和此抛物线相交于两个点A、B，经过点A和抛物线顶点的直线交准线于点M．求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）直线MB平行于抛物线的对称轴．19．（12分）如图2，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN⊥CD．（Ⅱ）在棱PD上是否存在一点E，使得图2AE∥平面PMC？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）如图3，过圆上的动点P向圆（）引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，直线AB与轴、轴分别交于M、N两点，求△MON面积的最小值．21．（12分）已知，，求证：．22．（14分）文科做（Ⅰ）、（Ⅱ）；理科做（Ⅰ）、（Ⅲ）．图3已知点B（2，0），，O为坐标原点，动点P满足．（Ⅰ）求点P的轨迹的方程；（Ⅱ）当为何值时，直线：与轨迹相交于不同的两点M、N，且满足？（Ⅲ）是否存在直线：与轨迹相交于不同的两点M、N，且满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．10/10\n答案与提示:一、选择题1—5BDBCB；6—12BCBBDBB．提示：1．由；反之由不能推得．故“”是“”的充分非必要条件．选（B）．2．由题设知已知直线的斜率为，∴所求直线的斜率为2；又所求直线过原点，故为所求．选（D）．3．由题设知动点P到定点（1，0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，根据双曲线的第二定义可得点P的轨迹为双曲线．选（B）．4．（文科）①、④正确，选（C）．（理科）对于任意的直线与平面，若在平面内，则存在直线m⊥；若不在平面内，且⊥，则平面内任意一条直线都垂直于；若不在平面内，且与不垂直，则它的射影在平面内为一条直线，在平面内必有直线垂直于它的射影，则⊥．故选（C）．5．由知．选（B）．6．由A（1，4）、B（3，1）在直线上或其异侧得．解得．选（B）．10/10\n7．设截得的弦为AB，圆心为，作于H，则由平几知识得．由此得，解得．选（C）．8．点A在抛物线含焦点区域，过A作AP垂直于抛物线的准线交抛物线于点P，则由抛物线的定义知点P（2，2）为所求点．选（B）．9．（文科），选（B）．（理科）令，则．在上是单调递增函数，故的最小值是．选（B）．10．由得，．∴＝12．选（D）．11．如图，过B作BD∥CA，且满足BD＝CA，则∠PBD为PB与AC所成的角．易得四边形ADBC为正方形，由PA⊥平面ABC得BDPD．在Rt△PDB中，，，．选（B）．12．（文科）由题设和焦半径公式得．．∴．即．选（B）．（理科）不妨设右准线交轴于点A，由平几知识知过E、F的圆且与相切于点P时，∠EPF最大．由圆幂定理得．易得∠FPA＝，∠EPA＝，从而∠EPF＝为所求最大值，故选（B）．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．①、④；14．）；15．；16．．提示：13．②、③为假命题；①、④为真命题．10/10\n14．设点，由题设得．即恒成立．而，∴．故的取值范围为）．15．如图，作出不等式表示的可行域（阴影部分）和直线：，将向右上方平行移动，使其经过可行域内的点Ａ时，取得最大值．故当，时，．16．对称轴与抛物线的交点（0，0）为抛物线的顶点，且抛物线的准线垂直于对称轴，焦点（1，1）关于顶点（0，0）的对称点（－1，－1）在准线上，故所求准线方程为．三、解答题17．不等式整理得．当时，不等式为．……………（3分）①当时，，原不等式解集为；……………（6分）②当时，不等式解集为；……………（9分）③当时，，原不等式解集为．……………（12分）18．（Ⅰ）AB方程为，代入抛物线方程得．……………（3分）由韦达定理得．……………（5分）（Ⅱ）OA方程为，与准线方程联立解得M．………（8分）10/10\n∴．……………（11分）故直线MB平行于抛物线的对称轴．……………（12分）19．（Ⅰ）取AC的中点O，连结NO，MO，由N为PC的中点得NO∥PA．……………（2分）又PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD．……………（4分）又∵OM⊥AB，由三垂线定理得AB⊥MN．又∵CD∥AB，∴MN⊥CD．……………（6分）（Ⅱ）存在点E，使得AE∥平面PMC．此时点E为PD的中点．……………（8分）证明如下：取PD的中点E，连结NE，由N是PC的中点得NE∥CD，．又MA∥CD，，∴MA∥NE，MA＝NE．由此可知四边形MNEA是平行四边形，∴AE∥MN．由平面PMC，平面PMC，∴AE∥平面PMC．……………（12分）20．设为圆上任一点，则，．由题设知O、A、P、B在以OP为直径的圆上，该方程为．……………（4分）而AB是圆和以OP为直径的圆的公共弦，将这两圆方程相减得直线AB的方程为．∴，．……………（8分）．10/10\n故△MON面积的最小值为．……………（12分）21．∵，……（3分）∵，∴，即．……………（6分）∴，……………（11分）故．……………（12分）22．（Ⅰ）设点，则，．由题设得．………（3分）即点P到两定点（0，）、（0，－）的距离之和为定值，故轨迹是以（0，）为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为．……（6分）（Ⅱ）设点M、N，线段MN的中点为，由得垂直平分．联立消去得．由得．………（10分）∴，．即．10/10\n由⊥得．故为所求．………（14分）（Ⅲ）若存在直线与椭圆相交于不同的两点M、N，且满足，令线段MN的中点为，则垂直平分．联立两式相减得．∴．又由⊥得．∴，．即．………（10分）又点在椭圆的内部，故．即．解得.又点在直线上，∴．∴（当且仅当时取等号）．故存在直线满足题设条件，此时的取值范围为．………（14分）10/10