浙江省湖州市2021-2022学年高一数学下学期期末调研试卷（PDF版带答案）

2021学年第二学期期末调研测试卷高一数学注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的．1．某中学有初中生700人，高中生300人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从初中生中抽取35人，则样本容量n为A．5B．30C．50D．1002．正方体ABCDABCD中，下列判断错误的是1111．．A．ACBDB．BDCDC．ADACD．ACBC11111111112i3．已知复数z（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数z21i311311A．iB．iC．1iD．1i4444224．已知向量a，b满足a1，ab1，则a(2ab)A.4B.3C.2D.05．在空间中，a，b是不重合的直线，，是不重合的平面，则能推出a//b成立的是A．a,b,//B．a//,bC．a,bD．a,b6．长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为,,，则2222223A.coscoscos2B.coscoscos22222223C.sinsinsin2D.sinsinsin27．已知A,B,C为球O的球面上的三个点，O为ABC的外接圆，若O的面积为4π，11ABBCACOO，则球O的表面积为1A.64πB.48πC.36πD.32π\n8．圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑,其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15315)m，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测123得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为6A.20mB.30mC.203mD.303m二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．设A,B为两个互斥事件，且P(A)0,P(B)0，则下列说法正确的是A.P(AB)0B.P(AB)P(A)P(B)C.P(AB)P(A)P(B)D.P(AB)110．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；1c2a2b2一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S[c2a2()2]（S为三42角形的面积，a,b,c为三角形的三边），现有ABC满足sinA:sinB:sinC2:3:7，且ABC的面积S63，则下列结论正确的是ABCA.ABC的周长为1027B.ABC的三个内角满足AB2C421C.ABC的外接圆半径为D.ABC的中线CD的长为32311．棱长均为1的正三棱锥VABC中，M，N，Q分别是棱AB，BC，VC的中点，下列说法正确的是A．VABCB．平面MNQ截正三棱锥所得截面的面积为142C．MQ//BCD．异面直线VM和BQ所成角的余弦值等于312．已知平面向量a,b,c满足cxayb，且ac0，bc0，则下列说法正确的是A．若ab0，则可能x0，y0B．若ab0，则可能x0，y0C．若ab0，则可能x0，y0D．若ab0，则可能x0，y0\n第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．2213．已知复数zm5m6(m3m)i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数m为▲．14．已知在ABC中，AB2，AC1，A，A的角平分线交线段BC于M，则3AM▲．15．甲、乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为60kg，方差为100，乙队体重的平均数为64kg，方差为200，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1:3，那么甲、乙两队全部队员的方差等于▲．16．已知矩形ABCD，AB2，AD1，沿BD将ABD折起成ABD.若点A在平面BCD上的射影落在BCD的内部(不包括边界)，则四面体ABCD的体积的取值范围是▲．四、解答题:本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某发红包单位进行一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，组织员工在几个大型小区随机抽取50名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：年龄(岁)[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]调查人数mn141286参与的人数3412632表中所调查的居民年龄在[10，20)的人数是在[20，30)的人数的两倍少8人．(Ⅰ)求表中m，n的值，并补全如图所示的频率分布直方图；(Ⅱ)在被调查的居民中，若从年龄在[10，20)，[20，30)内的居民中各随机选取1人参加抽奖活动，求选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率．18．如图，已知四棱锥VABCD的底面是矩形，VD平面ABCD，AB2AD2VD2，E,F,G分别是棱AB,VC,CD的中点.(Ⅰ)求证：EF//平面VAD；(Ⅱ)求二面角AVEG的大小．\n19.为抗击新冠肺炎，某单位组织中、老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功(每针接种后是否合格相互755之间没有影响)．根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为，，；867833老年员工乙在每针接种合格的概率分别为，，．944(Ⅰ)甲、乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？(Ⅱ)若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率．1220．在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足ACABbab.2(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)求sinAsinBsinC的取值范围．21．如图，A,B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧AB（含端点）上的动点.记OCOAOB（,均为实数）．1(Ⅰ)若O到弦AB的距离是，（i）当点C恰好运动到劣弧AB的中点时，求ACCB的值；2（ii）求的取值范围；5(Ⅱ)若3OAOB，记向量2OAOB和向量OAOB的夹角为，22求cos的最小值．22．如图，已知四棱锥VABCD，底面ABCD是矩形，VDCD，VDBC，点E是棱VD上一动点（不含端点）．(Ⅰ)求证：平面ADE平面VCD；(Ⅱ)当CD2AD2且VCD时，若直6线VC与平面ADE所成的线面角[,]，求点E的运动轨迹的长度．32\n2021学年第二学期期末调研测试卷高一数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的.题号12345678答案CCDBCAAD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.题号9101112答案ACDABABDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.2332513.2；14.；15.178；16.(,)3615四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某发红包单位进行一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，组织员工在几个大型小区随机抽取50名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：年龄(岁)[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]调查人数mn141286参与的人数3412632表中所调查的居民年龄在[10，20)的人数是在[20，30)的人数的两倍少8人．(Ⅰ)求表中m，n的值，并补全如图所示的频率分布直方图；(Ⅱ)在被调查的居民中，若从年龄在[10，20)，[20，30)内的居民中各随机选取1人参加抽奖活动，求选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率．m＋n＝10，m＝4，17.解：(1)由题意得解得---------2分m＋8＝2n，n＝6.补全频率分布直方图，如图所示：1\n-------------5分(2)记年龄在[10,20)内的居民为a1，A2，A3，A4(其中居民a1没有参与抢红包括动)，年龄在[20,30)内的居民为b1，b2，B3，B4，B5，B6(其中居民b1，b2没有参与抢红包活动)．各选取1人的情形有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A2，b2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，b1)，(A3，b2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(A3，B6)，(A4，b1)，(A4，b2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(A4，B5)，(A4，B6)，共24种．-------------7分其中仅有一人没有参与抢红包活动的情形有10种，-------------9分105所以选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率P＝＝.-------------10分241218．如图，已知四棱锥VABCD的底面是矩形，VD平面ABCD，AB2AD2VD2，E,F,G分别是棱AB,VC,CD的中点.(Ⅰ)求证：EF//平面VAD；(Ⅱ)求二面角AVEG的大小.18.(Ⅰ)证明:取VD的中点I，连接FI,AI,在VDC中，易11得FI//DC,且AE//DC，故AE//FI------------2分22所以四边形AEFI为平行四边形，可得EF//AI又EF平面VAD,AI平面VAD所以EF//平面VAD------------4分（书写不规范统一扣1分）(Ⅱ)如图，过A作AKVE于K，连接KG因为VD面ABCD，所以VDEG,又EGDC,故EG平面VDC，得EGVG,同理可得EAVA2\n又VAVG2,AEDG1，故RtVAERtVGE,又AKVE，故KGVE--------------------7分由二面角定义知，AKG即为二面角AVEG的平面角，--------------------9分6由AKKG，AG2，由余弦定理得21cosAKG，22π故二面角AVEG的大小为AKG.-------------------12分319．为抗击新冠肺炎，某单位组织中、老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功(每针接种后是否合格相755互之间没有影响).根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为，，；867833老年员工乙在每针接种合格的概率分别为，，．944(Ⅰ)甲、乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？(Ⅱ)若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率．19.解：(Ⅰ)记中年员工甲接种成功的事件为A,老年员工乙接种成功的事件为B,75525则PA，-----------3分867488331PB，-----------6分9442PAPB,故中年员工甲接种成功的概率更大；-----------7分(Ⅱ)法一：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为C,则CABABAB-----------9分PCPABABABPABPABPABPAPBPAPBPAPB2512512517311-------------------12分482482482963\n法二：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为C,则CAB,----------9分25123PCPABPAPB11----------11分4829623173PC1PC1.-----------12分482961220．在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足ACABbab，2(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)求sinAsinBsinC的取值范围．b2c2a212解(Ⅰ)ACABbccosAbab------------3分22222222abc1整理得abcab，故cosC2ab2π所以C------------5分3πππ(Ⅱ)由锐角ABC知A0,,BA0,,得A,------------7分232623π故sinAsinBsinCsinAsinA233ππsinAsinAcossincosA233333sinAcosA222π33sinA-----------9分62ππππ2ππ3因为A,，A,，sinA,162633623333所以sinAsinBsinC,-----------12分224\n21．如图，A,B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧AB（含端点）上的动点.记OCOAOB（,均为实数）.1(Ⅰ)若O到弦AB的距离是，（i）当点C恰好运动到劣弧AB的中点时，求ACCB的值；2（ii）求的取值范围；5(Ⅱ)若3OAOB，记向量2OAOB和OAOB的夹角为，2求2cos的最小值.1解：(Ⅰ)由O到弦AB的距离是，可得ABOBAO302故AOB120-----------1分（i）由题意得ACB120,ACCB1,1故ACCBACCBcosAC,CB11cos60-----------3分2（ii）记劣弧AB的中点为D,21OCOAOAOBOA①221OCOBOAOBOB②21①+②得OCOAOB2进一步得2OCOAOB2OCOD2cosOC,OD1,2其中OC,OD0，60-----------7分（其他解法酌情给分）55(Ⅱ)记AOB，由3OAOB两边平方，得cos,1----------8分285\n2OAOBOAOB33cos2OAOB54cos，OAOB22cos22OAOBOAOBcos2OAOB2OAOB233cos91cos54cos22cos254cos911---------10分84cos5915记fx1，显然fx关于xcos,1单调递增，84x5852539所以当xcos时，cosf.---------12分8min84022．如图，已知四棱锥VABCD，底面ABCD是矩形，VDCD，VDBC，点E是棱VC一点（不含端点）.(Ⅰ)求证：平面ADE平面VCD；(Ⅱ)当CD2AD2且VCD时，若直线VC与平面6ADE所成的线面角[,]，求点E的运动轨迹的长度.32解：(Ⅰ)证明：因为VDBC，BC//AD,故ADVD,又ADDC所以AD平面VCDAD平面ADE所以平面ADE平面VCD-----------4分(Ⅱ)首先，取VC中点F,连接DF在等腰VDC中，DFVC①由(Ⅰ)知AD平面VCD，得ADDF②由①②得DF平面ADF,即此时当F与E点重合时，6\nπ直线VC与平面ADE所成的线面角为，-----------6分2其次，由题意易得，存在点F两侧各有两个点，如图分别记为E,E,使得60，E的12运动轨迹即为线段EE.12作CHED于H,又AD平面VCD,得ADCH,故CH平面ADE,所以VCEC在平面ADE的射影为EH，CEH即为直线VC与平面ADE所成的线面角，π即CEH-----------8分13π此时，VCD，CEH，此时H与D重合，163CD43故CE-----------10分1sin603πCE2CD23同理可得VED,,解得CE223sin30sin1203432323故E的运动轨迹长度为EE.-----------12分123337