云南师范大学附属中学2023届高三数学高考适应性月考卷（一）（PDF版带解析）

“”秘密＊启用前7.我国首先研制成功的双曲线新闻灯，如图1'利用了双曲线的光学性质：Fi,凡是双曲线的左、右焦点，从凡发出的光线m射在双曲线右支上一点P,经点P反射后，反射光线n的反向延长线过凡；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分LFPF12.若双曲Xy�--=1数学试卷线C的方程为'则下列结论不正确的是916y注意事项：_,___。1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮图1擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答元效．A.射线n所在直线的斜率为k,则kE(-i,生）333.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．B.当m_l_n时，IPF1I·IPF2I=32C.当n过栽Q(7,5)时，光由凡到P再到Q所经过的路程为13一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是D.若T(l,O),直线PT与C相切，则IPF2I=12冗28.若在(0,+oo)上，函数J(x)=ae-+2lna的图象恒在函数g(x)=lnx+3的图象上方，则a的符合题目要求的）取值范围为1.已知集合A=jx1-2::s;x::s;ll,集合B=jxIlog=22x<l\,则AnBA.(1,+oo)B.(Fe,+oo)C.(e,+oo)D.(e,+oo)A.0B.(0,1]二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）蠼C.[-2,1]D.(O,2)9.已知(x-)的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则2iJ2.复数一了＝l-1A.-1+iB.-1-i10年）仍研C.l+iD.1-il／三荨量－1T.�:s/：三3.将函数f(x)=sinx的图象向右平移个单位，得到厂／：2三根jA.y=sinx的图象B.y=cosx的图象利用最小二乘法，得到回归直线方程为y=bx+18.7,下列说法正确的是C.y=-sinx的图象D.y=-cosx的图象A.X与y的样本相关系数r>O4.已知a>O,b>O,则"a+b:::;4"是"ab:::;4"的B.回归直线必过点(6,14.2)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.b<OD.预测该品牌汽车使用20年后，残值约为2万元C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.《九章算术》里说：＂斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖朦＂．如图2,“““21r底面是直角三角形的直三棱柱称为堑堵"'沿截面PAC将一个堑堵截成两部分，其==5.已知函数J(x)=2I元I,aJ(log。53),b=J(log45),cf(cos），则3271"了“＂=一—中三棱锥称为鳖腊．在鳖朦P-ABC中，PA_l_AB,AB2,其外接球的体积为，当此3A.a>c>bB.a>b>c鳖膘的体积V最大时，下列结论正确的是C.b>a>cD.c>a>bA.PA=BC=压6.一道有4个选项但只有一个选项正确的选择题，命题者估计某类考生会答该题的概率是0.5,B.V=6一个考生品—并且会答时一定能答对；不会答时考生在4个答案中任选1个已知该类考生中某C.直线PC与平面PAB所成角的正弦值为4回答正确，则他确实会答（不是蒙对）的概率等于c平－汉D.P-ABC内切球的半径为一—-A.0.25B.0.5C.0.75D.0.83图2数学·第1页（共4页）口二二一二一一己数学．第2页（共4页）\n2212.类比三角函数的定义，把角a的终边与双曲线x-y=1交点的纵坐标和横坐标分别叫做a19.(本小题满分12分）ea-e-aea+e飞如图3,6ABC是边长为4/3的等边三角形，E,F分别是AB,AC的中点，G是6ABC的重的双曲正弦函数sinha、双曲余弦函数cosha.已知sinha=,cosha=,下列结论22心，将6AEF沿EF折起，使点A到达点P的位置，点P在平面BEFC的射影为点G.正确的是(1)证明：BE上PC;A.cosh飞+sinh飞=1(2)求平面PEF与平面PBC夹角的余弦值B.sinh(a+/3)=sinhacoshf3+coshasin昭C.(coshx)'=sinhx20.(本小题满分12分）D.若直线y=c(c为常数）与曲线y=sinhx,y=coshx共有三个交点，横坐标分别为X1'X2'2014年9月教育部发布关于深化考试招生制度改革的实施意见，B部分省份先行改革实践，目前，全国多数省份进入新高考改革．图3X3,则x1+x2+x3>In(1+迈）改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）目成绩组成13.已知平面向量a=(l,2),b=(-2,y),若a...Lb,则Ia+bI=.一方案：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目“”14.成语五音不全中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音中任选3门参加选择性考试””“““”阶把这五个音阶排成一列，形成一个音序．满足徵羽两音阶相邻且在宫音阶方案二：3门选择性科目由学生先从物理、历史2门科目中任选1门，再从思想政治、地之前的不同音序的种数为．（用数字作答）理、化学、生物4门科目中任选2门参加选择性考试．215.设抛物线C:y=2px(p>O)的焦点为F,准线l与x轴交点为K,点A在C上，点A的横坐(1)某省执行方案一，甲同学对选择性科目的选择是随机的，求甲同学在选择物理科目的标为2,IAFI=3,以F为圆心且与直线AK相切的圆的方程为条件下，选择化学科目的概率；”“(2)某省执行方案二，为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有16."物不知数问题：今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七”“”6名首选物理，4名首选历史．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查，将其中首选数之，剩二．间物几何？即著名的孙子问题，最早由《孙子算经》提出，研究的是整历史的人数记作X,求随机变量X的分布列和数学期望除与同余的问题现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列la九｝，则此数列的中位数为．四、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.(本小题满分12分）17.(本小题满分10分）2在圆C:x'寸=2入（入>0)上任取一点P(x。,y。)，记Q[环产Yo).当P在圆C上运动时，点从心b斗迈ac=a+c气(2)acosB=bsinA;®sinB+cosB=丘中选择一个补充到下面问题的条件2中，并解决该问题：Q的轨迹记为r.1T(1)写出r的标准方程，并说明r的离心率是定值（与入无关）；在6:.ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b，c,已知A=-,b=互，且3(2)当入=5,入=1时，r分别记为I'1'八，若直线l:x=my-l与I'1,几交于4个点，在(1)求B;直线l上从上到下顺次记为A,B,C,D.(2)求6:.ABC的面积少IABI与!CDI是否相等？证明你的结论；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分＠已知F(l,0),求6ABF面积的最大值22.(本小题满分12分）18.(本小题满分12分）巳知函数f(x)=2x-sinx.已知数列伍J的前n项和为Sn,Sn=2an-l.'IT(1)求数列i叮的通项公式；(})'tfxE(Q,一],f(x)郔x,求实数a的取值范围；2(2)若数列lbnl满足an.bn=logza九，求数列丸l的前n项和T旷－入lnx=－(2)3x1,x2E(0,+oo),x1子X2'使f丘）1Ji伍）入lnx2,求证：XX12<入气数学·第3页（共4页）二己口一二一圈口数学·第4页（共4页）\n数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案BADABDCC【解析】1．B{|0xx2}，所以AB{|0xx≤1}，故选B．2i2i(1i)2i(1i)2．i(1i)1i，故选A．21i(1i)(1i)1iπππ3．fx()sinx的图象向右平移个单位，得sinxsinxcosx的图象，故选222D．22abab44．若a0，b0，ab≤4，则ab≤ab≤≤4，若a0，b0，222ab≤4，例如ab1，3.5，此时ab≤4成立，但此时ab4.54，所以“ab≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，故选A．2π1cos5．方法一：a2|log0.53|2log323，b2|log5|422log55，c23222，所以abc，故选B．||x方法二：函数fx()2为偶函数，在(0，上单调递增，)2π11af(log3)f(log3)f(log3)，log5log5，cfcosff，0.522423221因为log3log51，所以abc，故选B．2226．设事件A表示“答对”，事件B表示“会答”，该考生会答该题的概率是p，则PB()p，1PBA()PBPAB()(|)PB()1p，PAB(|)1，PAB(|)，PBA(|)4PA()PBPAB()(|)PBPAB()(|)pp1440.50.8，故选D.113p130.5pp(1)4\n7．由题F(50)，，F(50)，，设|PF|u，|PF|v，由双曲线定义，uv6，渐近线斜1212444率为，射线n所在直线的斜率的范围为，，故A正确；当mn时，3332222uv10(uv)2uv100uv32，即|PF||PF|32，故B正确；当n过点1222Q(75)，时，|FQ|(75)(50)13，光由F到P再到Q所经过的路程为12|FP||PQ||FP|6|PQ||FQ|61367，故C错误；若T(10)，，直线PT与C211u||FT631相切，则PT平分FPF，由角平分线定理得，又uv6，所以v12，12v|FT|422即|PF|12，故D正确.综上，故选C.2x2x28．由题对任意实数x0，ae2lna3lnx，即aelnx2lna30恒成立，一方11面，当x1时，aae2ln30，令ha()ae2lna3，易知ha()是增函数，h(e)0，1所以ha()h(e)，得ae；当a≤e时，则ha()≤h(e)，即aae2ln3≤0，于是x2ae2lna3lnx对x1不成立，与题设矛盾；另一方面，当ae时，x2x2x1xaelnx2lna3eexln2lne3ex，易知ln1e1≥x，x1x1lnxx≤1，可得e≥x，lnxx≥1，elnx1≥x(x1)10，所以当aex2时，aelnx2lna30恒成立，故选C．二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ADBCACDBCD【解析】nk1knk1279．x展开式的通项公式为TxC，由题CC，得n9，所以2kn12nnxxkk9k1kk93kTCx(1)Cx，93k0，k3，所以展开式中的常数项为k1929x9331T(1)C84，利用赋值法，可得展开式中所有项的系数和是10，综上，4921正确答案为A，D，故选AD.10．y随x的增大呈递减的趋势，所以x与y为负相关关系，所以x与y的样本相关系数\nr0，回归直线方程为yˆbxˆ18.7的bˆ0，因为x6，y14.2，回归直线yˆbxˆ18.7必过点(614.2)，，所以14.26bˆ18.7，得bˆ0.75，当x20时，yˆ0.752018.73.7（万元），综上，正确答案为B，C，故选BC.4332π11．PC的中点即为PABC的外接球的球心，设外接球的半径为R，则πR，得332222222R2，PAABBCPC4RPABC12，鳖臑PABC的体积111122VABBCPA(2BCPA)≤(BCPA)2，当且仅当PABC3266BCPA6时，(V)2；直线PC与平面PAB所成角即为BPC，PABCmaxBC6sinBPC；设鳖臑PABC的内切球半径为r，由等体积法PC411111VABBCABPAACPAPBBC2r，得PABC32222(26106)r31566，所以r，综上，正确答案为A，C，D，故选ACD.1563222222(ee)(ee)ee12．coshsinhcosh21，事实上，4422222(ee)(ee)coshsinh1，故A不正确；sinhcoshcoshsinh44()eeeeeeeeeesinh()，故B正确；22222xxxxxxeeeeee(cosh)xxsinh，故C正确；函数sinhx是奇函数，且222在R上单调递增，值域为()，，所以直线yc与双曲正弦曲线只有一个交点，eexxeexxeexx11xxcoshx是偶函数，≥ee1，于是由题可知c1，1，222eexx11xx0，由1得(e)xx1122e10，ex112，xln(12)，所以2312xxxln(12)，故D正确．综上，正确答案为B，C，D，故选BCD.123三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）\n题号131415162232答案1024(xy1)100717【解析】13．由题ab1(2)2y0，得y1，所以ab(1(2)21)(13)，，，||ab22(1)310.414．方法一：把“徵”“羽”看成一个元素，与“宫”“商”“角”进行排列，共有A种排42法，“徵”“羽”进行排列，有A种排法，根据对称性，“徵”“羽”两音阶相邻且在2142“宫”音阶之前与之后，各占排法种数的一半，故所求音序种数为AA24.422方法二：把“徵”“羽”看成一个元素，在排好顺序的4个位置中选两个，按“宫”在22后，“徵”“羽”在前的顺序，有C种排法，另两个位置排“商”“角”，有A种排422222法，“徵”“羽”又可交换顺序排列，有A种排法，故所求音序种数为CAA24.2422pp215．根据抛物线定义，|AF|x23，得p2，抛物线方程为yx4，F(10)，，A22K(10)，，根据对称性，不妨设点A在第一象限，则A(222)，，直线AK的方程为22yx(1)，即22xy322，点0F(10)，到直线AK的距离2(1)|2213022|422232，所求圆方程为(xy1).(22)22(3)171716．由题意可知，a2既是3的倍数，又是5的倍数，即an215(1)，所以an1513，nnn当n135时，a151351320122022，当n136时，a151361320271351362022，所以n123，，，，135，数列{}a共有135项，因此中位数为第68项，na1568131007.68四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）222解：（1）选择条件①b2acac：\n222222acb2由b2acac及余弦定理，得cosB，22acπ又0Bπ，所以B.…………………………………………………………………（44分）选择条件②acosBbsinA：由正弦定理及acosBbsinA，得sincosABsinsinBA，因为sinAB0cos，0，所以tanA1，π又0Bπ，所以B.…………………………………………………………………（44分）选择条件③sinBBcos2：π法一：运用辅助角公式，由sinBBcos2，得sinB1，4ππ5π又0Bπ，所以B，444πππ所以B，B.…………………………………………………………………（4424分）22方法二：sinBBcos2，两边平方，得sinB2sincosBBcosB2，sin2B1，又0Bπ，所以02B2π，ππ所以2B，B.……………………………………………………………………（424分）π2sinbAsin3（2）由正弦定理，a3，sinBπsin4ππ321262sinCsin[π(AB)]sin(AB)sin，3422224116233所以△ABC的面积为SabsinC32.△ABC2244……………………………………………………………………………………………（10分）\n18．（本小题满分12分）*解：（1）因为Sa21，所以S2a1(n≥2，nN)，nnnn11……………………………………………………………………………………………（2分）*所以aSS2a2a(n≥2，nN)，nnn11nn*所以a2a(n≥2，nN)，…………………………………………………………（4nn1分）当n1时，aS21a，a1，1111所以数列{}a是首项a1，公比q2的等比数列，n1n1所以a2.……………………………………………………………………………（6n分）n1logalog2n12n2（2）由abloga得b，nn2nnnn11a22n012n1所以T，………………………………………………………（8n21n1222分）1012nn21T，n23nn12222221111n1两式相减，得T………………………………………（10分）n21nn22222111n122nn111，122nn12n1所以T2.………………………………………………………………………（12nn12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图1，连接CE，因△ABC是等边三角形，E是AB的中点，G是△ABC的重心，所以G在CE上，BECE，又点P在平面BEFC的射影为点G，即PG平面BEFC，BE平面BEFC，所以PGBE，又PGCEG，所以BE平面PCE，图1\n又PC平面PCE，所以BEPC.……………………………………………………………………………………………（4分）（2）解：（几何法）如图2，过点P作l//BC，连接AG，与EF，BC分别交于点O，点D.因为EF，分别是AB，AC的中点，所以EF//BC，所以l//EF//BC，l是平面PEF与平面PBC所成二面角的棱.由△ABC是等边三角形，G是△ABC的重心，图2知点O，点D分别是线段EF，BC的中点.同（1）同理可证：BC平面POD，所以l平面POD，于是lOP，lDP，OPD为平面PEF与平面PBC所成二面角的平面角.……………………………………………………………………………………………（8分）1由等边三角形△ABC的边长为43，可得POODAD3，OG1，GD2，22222PGOPOG22，PDPGGD23，2223(23)33在△POD中，由余弦定理，得cosOPD，232333所以平面PEF与平面PBC夹角的余弦值为.3……………………………………………………………………………………………（12分）（解析法）如图3，取EF的中点O，由题OEOG，以O为坐标原点，以OEOG，分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则E(300)，，，F(300)，，，B(2330)，，，图3C(2330)，，，P(0122)，，，\n所以PE(3，1，22)，PF(3，1，22)，PB(232，，22)，PC(232，，22)，……………………………………………………………………………………………（6分）设平面PEF的法向量为m()x，y，z，平面PBC的法向量为n()x，y，z，1112223x1y122z10，x10，则3x1y122z10yz11220，得平面PEF的一个法向量为m(022，，1)，……………………………………………………………………………………………（8分）23x22y222z20，x20，23x22y222z20yz2220，得平面PBC的一个法向量为n(0，21)，，……………………………………………………………………………………………（10分）设平面PEF与平面PBC所成锐二面角的大小为，|mn|22213则cos，|mn|||3333所以平面PEF与平面PBC夹角的余弦值为.3……………………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）“甲同学选择物理”记作事件A，“甲同学选择化学”记作事件B，21C1C154则PA()，PAB()，33C2C566PAB()2则PBA(|).…………………………………………………………………（4PA()5分）（2）随机变量X的取值为0，1，2，3．\n312213C1CC1CC3C1646464PX(0)，PX(1)，PX(2)，PX(3)，3333C6C2C10C3010101010随机变量X的分布列为X01231131P62103011316EX()0123.………………………………………………（126210305分）21．（本小题满分12分）xx，022解：（1）设Qxy()，，则xy002，yy2，02222xy所以xy(2)2，化为1，222xy所以的标准方程为1(0).……………………………………………（32分）22222c2a2，b，cab，e为定值.a2……………………………………………………………………………………………（5分）（2）①设l与的交点为Ax()，y，Dx()，y，l与的交点为Bx()，y，Cx()，y，1112223344xmy1，22联立xy22消x，整理得(2my)2my120，1，22224m4(2m)(12)4(2m42)0，2m24m所以yyyy，xxxxm2，123421234222m22mm2m所以AD的中点与BC的中点坐标均为22，，22mm即AD的中点与BC的中点重合，故|AB||CD|；……………………………………（8分）22xy②直线l：xmy1被椭圆：1截得的弦长为2\n2224(2m42)21mm24221m，2222mm222221m25m45221m10m18所以||AD，2222mm222221m2m41221m2m2||BC，2222mm22211m(10m182m2)|AB|(|AD||BC|)，222m|1m01|2点F到直线l的距离为d，…………………………………（102211mm分）22110mm18228所以△ABF的面积为S||ABd，22m210mm221822所以当m0时，△ABF的面积最大，最大值为2.………………………………（12分）22．（本小题满分12分）sinxπ解：（1）由fx()≤ax得2xsinx≤ax，即a≥2，其中x0，，x2……………………………………………………………………………………………（1分）sinxπsinxxcosx令hx()2，x0，，得hx()，2x2xπ设()sinxxxcosx，x0，，2π则()xxsinx0，所以()x在0，上单调递增，2所以()x(0)sin00cos00，所以hx()0，………………………………（3分）ππ所以hx()在0，上单调递增，hx()在0，上有最大值，22\nπsinπ22hx()h22，max2ππ22所以a的取值范围为2，.………………………………………………………（5π分）（2）fx()lnxfx()lnx，即2xsinxlnx2xsinxlnx，1122111222整理为(lnxln)2(xxx)(sinxsin)x，212121令ux()xsinx，x0，………………………………………………………………（7分）则ux()1cosx≥0，所以ux()xsinx在(0，)上单调递增，不妨设xx，所以xsinxxsinx，从而xxsinxsinx，1211222121所以(lnxln)2(xxx)(sinxsin)2(xxx)(xx)xx，212121212121xx21所以.………………………………………………………………………（9lnxxln21分）x21xxxx2112下面证明：xx，即证明：，12lnxx21lnlnx2x1x1x2t1t1令t，即证明t，其中t1，只要证明lnt0.x1lntt2t1(t1)设vt()ln(tt1)，则vt()0，t2tt11所以vt()在(1，)上单调递增，所以vt()v(1)ln10，1xx21所以xx，………………………………………………………………（1112lnxxln21分）xx21所以xx，12lnxxln212所以xx.……………………………………………………………………………（1212分）