辽宁省大连市2022届高三数学第一次模拟试题(PDF版附答案)
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2022年大连市高三第一次模拟考试数学命题人:王爽陈威郭伟本试卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.2.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数z满足(32i)z13,则z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集UR,集合A{1,2,3,4,5},B{x|0x4},则图中阴影部分表示的集合为(第2题图)A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{4,5}D.{5}3.设等差数列{a}的公差为d,a0,则“a0”是“d0”的n15A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.2021年10月12日,习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出:“绿水青山就是金山银山。良好生态环境既是自然财富,也是经济财富,关系经济社会发展潜力和后劲.”某工厂对产生的废气经过过滤后排放,已知过滤过程中的污染物的残留数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)kt之间的函数关系为PPe(t0),其中k为常数,k0,P为原污染物数量.该00工厂某次过滤废气时,若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%,那么再继续过滤2小时,废气中污染物的残留量约为原污染物的A.5%B.3%C.2%D.1%第1页(数学试卷共5页)\n5.已知数列{a}是递增的等比数列,且aa18,aa32,若{a}的前n项和Sn1423nn166满足SS22,则正整数k等于k10kA.5B.6C.7D.86.现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥,其内部放有一个小球,当小球体积最大时,该圆锥与小球的体积之比是A.9:4B.9:5C.3:2D.3:122xy7.已知双曲线C:1(a0,b0)的两个焦点为F、F,点M,N在C上,2212ab且FF3MN,FMFN,则双曲线C的离心率为121262A.B.32C.22D.5228.若直线ykxb与直线ykxbkk是曲线ylnx的两条切线,也是曲112212x线ye的两条切线,则kkbb的值为12121A.e1B.0C.1D.1e二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.)9.如图,在44方格中,向量a,b,c的始点和终点均为小正方形的顶点,则(第9题图)A.abB.|ab||c|C.abD.acbc10.甲、乙两人进行飞镖游戏,甲的10次成绩分别为8,6,7,7,8,10,10,9,7,8,乙的10次成绩的平均数为8,方差为0.4,则A.甲的10次成绩的极差为4B.甲的10次成绩的75%分位数为8C.甲和乙的20次成绩的平均数为8D.甲和乙的20次成绩的方差为1第2页(数学试卷共5页)\n11.在四棱锥PABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,则A.平面PAD内任意一条直线都不与BC平行B.平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行C.平面PAB和平面PCD的交线不与底面ABCD平行D.平面PAD和平面PBC的交线不与底面ABCD平行12.已知奇函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且恒成立,若f(x)在[0,1]单调递增,则A.f(x)在[1,2]上单调递减B.f(0)0C.f(2022)2022D.f(2023)1第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)213.已知抛物线C:y8x的焦点为F,在C上有一点P,|PF|8,则点P到x轴的距离为_______.21914.已知随机变量~N(1,),且P1Pa3,则(0xa)的xax最小值为_______.15.将A、B、C、D、E这5名同学从左至右排成一排,则满足“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的不同排列方法有________种.16.以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff,1821-1894)的名字命名的第一类切比雪夫多项式Tx和第二类切比雪夫多项式Ux,起源于多倍角的余弦函数和正弦函数nn的展开式,是与棣莫弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列,是计算数学中的特2殊函数.T(x)有许多良好的结论,例如:①T(x)x,T(x)2x1,对于正整n12数n3时,有T(x)2xT(x)T(x)成立.②R,T(cos)cosn成nn1n2n立.由上述结论可得T(cos18)的数值为________.4第3页(数学试卷共5页)\n四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知数列{a}满足a2ana2n,数列{b}满足对任意正整数m2均有n12nn1bbb成立.m1mm1am(1)求{a}的通项公式;n(2)求{b}的前99项和.n18.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且abc(cosBcosA).(1)判断△ABC的形状并给出证明;(2)若ab,求sinAsinBsinC的取值范围.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,AD∥BC,ADCD,且AD1,CD2,BC5,PA2.(1)求证:ABPC;6(2)在线段PD上是否存在一点M,使二面角MACD的余弦值为?若存在,6求三棱锥MABC体积;若不存在,请说明理由.(第19题图)第4页(数学试卷共5页)\n20.(本小题满分12分)甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手,二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作,每次挑战的结果只有成功和失败两种.1(1)甲在每次挑战中,成功的概率都为.设X为甲在3次挑战中成功的次数,求X的2分布列和数学期望;(2)乙在第一次挑战时,成功的概率为0.5,受心理因素影响,从第二次开始,每次成功的概率会发生改变,其规律为:若前一次成功,则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1;若前一次失败,则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1.(ⅰ)求乙在前两次挑战中,恰好成功一次的概率;(ⅱ)求乙在第二次成功的条件下,第三次成功的概率.21.(本小题满分12分)22xy3已知椭圆C:1(ab0)的焦距为2,且经过点P(1,).22ab2(1)求椭圆C的方程;(2)经过椭圆右焦点F且斜率为k(k0)的动直线l与椭圆交于A、B两点,试问x轴上是否存在异于点F的定点T,使恒成立?若存在,求出T点坐标,若不存在,说明理由.22.(本小题满分12分)x已知函数f(x)aexa.(1)若f(x)0,求a的值;(2)当a1时,从下面①和②两个结论中任选其一进行证明,①f(x)xlnxsinx;②f(x)x(lnx1)cosx.第5页(数学试卷共5页)\n数学参考答案与评分标准(附主观题解析)说明:一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:1.A2.C3.B4.B5.A6.A7.D8.C二、选择题:9.BC10.ACD11.ABD12.BCD三、填空题:51−13.4314.415.2016.4四、解答题:17.(本小题满分10分)解:(1)因为a+22a++na=n,12n所以当n2时,a+2a++(n−1)a=2(n−1),………………2分12n−12两式相减得na=2,a=,………………3分nnn又n=1时,a=2,也符合.………………4分12所以a=.………………5分nn1n(2)由(1)知,=,因为对任意的正整数m2,a2n数学答案第1页(共18页)\n1m均有bbb++==,………………6分mm−+11ma2m故数列{}b的前99项和bb+b+b+b+bb+b+b+++n123456979899=+(b)(+b+b+)b+(b)+b+b+b+b123456979899111=+++……………8分aaa259829833+22==825.………………10分218.(本小题满分12分)解:(1)△ABC的为等腰三角形或直角三角形,证明如下:方法一由abc−=−B(cosAcos)及正弦定理得,sinsinAB−sin(cosC=−BAcos),………………1分即sin()sin(BC+−+AC=)sin(cos−CBAcos),………………2分即sincosBCBCcossinA+C−A−C=−CsincosBCAcossinsincossincos,整理得sincosBCACsincos−=0,所以cossinCB(sinA0−=),故sinAB=sin或cosC=0,…………4分π又A,B,C为△ABC的内角,所以AB=或C=,………………5分2因此△ABC为等腰三角形或直角三角形.………………6分方法二222222acb+bca−+−由abc−=(cosB−cos)A及余弦定理得,ab−=−c(),22acbc………………1分222222即2(abab)−()=+ba()−−c+b−abca,332222所以2(abab−)(=a−b)(+ba−ab)(+bc−ac),………………2分222整理得(aba−)(+b−c)0=,………………4分数学答案第2页(共18页)\n222故ab=或abc+=,………………5分因此△ABC为等腰三角形或直角三角形.………………6分πππ(2)由(1)及ab知△ABC为非等腰直角三角形,且AB+=,C=故BA=−,222………………7分π所以sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+=1sinA+cosA+=12sin(A+)1+,4………………9分πππ3πππ由ab,得A,故A+(,),且A+,………………10分444442π2π得sin()A(,1)+,所以2sin()1(2,21)A+++,424因此sinsinAB++sinC的取值范围为(2,21)+.………………12分19.(本小题满分12分)解:(1)因为ADCD⊥,AD=1,CD=2,所以AC=5,又因为BC=5,且ADBC,易得AB=25,222所以ABAC+BC=,所以ACAB⊥,………………3分又因为PA⊥平面ABCD,且AB平面ABCD,所以PAAB⊥,………………4分又因为PAACA=,PA平面PAC,AC平面PAC,所以AB⊥平面PAC,………………5分又因为PC平面PAC,所以AB⊥PC.………………6分(2)方法一zPMADyEBCx在BC上取点E,使CE==AD1,则AD⊥AE,故以A为原点,以AE,AD,AP分数学答案第3页(共18页)\n别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,1,0),C(2,1,0),设PMPD==−=−(0,1,2)(0,,2),(01),在平面MAC中,AC=(2,1,0),AMAPPM=+=+−=−(0,0,2)(0,,2)(0,,22),ACm=+=xy20设平面MAC的一个法向量为m=(,,)xyz,则,AMm=+y−z=(22)0令z=,则y=−22,x=−1,所以m=−(1−,22,),………………7分易知平面ACD法向量n=(0,0,1),………………8分||mn||622所以cos,mn===,即61056−+=,||||mn61025−+61解得=,所以M为PD中点,………………10分21115所以三棱锥MACB−的高h为1,VSh===(52)1.MACB−ACB△3323………………12分方法二PMADNQBC假设存在点M,且显然点M不在线段PD的端点处,则过点M作MNPA交AD于点N,过点N作NQ⊥AC于点Q,连接MQ,因为MNPA,且PA⊥平面ABCD,所以MN⊥平面ACD,又因为NQAC⊥,所以MQ⊥AC,故MQN为二面角M−−ACD的平面角,………………7分6设=MQN,由cos=,可知tan=5,6数学答案第4页(共18页)\nMN25设=m(01)m,则MNm=2,ANm=−1,QNm=−(1),AP5πMNm2因为=MNQ,所以tan5===,………………9分2QN25(1)−m51解得m=,所以M为PD中点,………………10分21115所以三棱锥MACB−的高h为1,VSh===(52)1.MACB−ACB△3323………………12分方法三zPMADxCBy由(1)可知,ABAC⊥,故以A为原点,以AB,AC,AP分别为x轴,y轴,z轴255正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),D(−,,0),C(0,5,0),55255255设PMPD==−−=−−(,,2)(,,2),(01),5555在平面MAC中,AC=(0,5,0),255255AM=APPM+=(0,0,2)(+−,,2)−=−(,,22)−,5555设平面MAC的一个法向量为mxyz=(,,),则ACm=50y=255,AMm=−x+y+(22)−z=055数学答案第5页(共18页)\n令z=,则y=0,x=−5(1),所以m=−(5(1),0,),…………7分易知平面ACD法向量n=(0,0,1),………………8分|mn|||622所以cosmn,===,即6−10+=56,|mn|||62−+10561解得=,所以M为PD中点,………………10分21115所以三棱锥MACB−的高h为1,VSh===(52)1.MACB−ACB△3323………………12分20.(本小题满分12分)1kkk113−解:(1)由题意得,XB(3,),则PX()()(1k=C=−),其中k=0,1,2,3,3222则X的分布列为:X01231331P8888………………4分(每个概率1分)13则EX()3==.………………5分22(2)设事件A为“乙在第i次挑战中成功”,其中i=1,2,3.i(ⅰ)设事件B为“乙在前两次挑战中,恰好成功一次”,则B=+AAAA,1212则PB()=PAA()+PAA()=PAPAA()(|)+PAPAA()(|)1212121121=0.5(10.6)(10.5)0.40.4−+−=.即乙在前两次挑战中,恰好成功一次的概为0.4.………………8分(ⅱ)因为PA()=PAA(+AA)=PAPAA()(|)+PAPAA()(|)21212121121=0.50.60.50.40.5+=,且PAA()=PAAA(+AAA)=PAAA()+PAAA()23123123123123=0.50.60.70.50.40.50.31+=,PAA()0.3123所以PAA(|)===0.62.32PA()0.52数学答案第6页(共18页)\n即乙在第二次成功的条件下,第三次成功的概率为0.62.………………12分21.(本小题满分12分)解:(1)方法一22由椭圆C的焦距为2,故c=1,则ba=−1,………………2分223xy22又由椭圆C经过点P(1,),代入C:1+=,得a=4,b=3,222ab22xy所以C:1+=.………………4分43方法二由椭圆C的焦距为2,故c=1,所以F(1,0)−,F(1,0)−,………………2分1129953所以22a0PF=4.+PF=+++=+=12442222xy所以a=2,b=3.所以C:1+=.………………4分43(2)方法一1由椭圆右焦点F(1,0),设=m,直线l的方程为xmy=+1,k22xy22与C:1+=联立得,(3m+4)y+6my−=90,43222则=36m−−4(9)(3m+4)144(=m+1)0,−6m−9设Axy(,),Bxy(,),yy+=,yy=,………………6分112212212234m+34m+设存在点T,设T点坐标为(,0)t,|||AF|AT由|AF||BT||=BF||AT|,得=①,|||BF|BT|AF||AT|过B做BRTF交AT延长线于R,所以=②,|BF||TR|由①②,得|||TR|BT=,所以TBR=TRB,又ATF=ARB,FTB=TBR,所以ATB=FTB,数学答案第7页(共18页)\n|||AF|AT【或法2】由|||AF||BT||=BF|AT,得=,|||BF|BT1|||FT|sinATATF|||AF|sinATATFS2△TFA又因为===,|||BF|sinSBTBTF1△TFB|||FT|sinBTBTF2所以sinsinATF=BTF,=ATFBTF,【法2结束】|AF||BF|【或法3】由|AF||BT||=BF||AT|,得=,|AT||BT|在△TFA和△TFB中应用正弦定理可得|||AF|BFsinsinATF=sin=sinAFT=BFTBTF,=ATFBTF|||AT|BT【法3结束】【或在△TAB中,由角平分线逆定理可知,FT为ATB的角平分线】所以直线TA和TB关于x轴对称,其倾斜角互补,即有kk+=0,…………8分ATBTyy12则:kk+=+=0,所以yx()(t)0yx−+t−=,ATBT1221xtx−−t12所以ymy(+−+1t)ymy(+−=1t)0,2myy(1)()0ty+−y+=,……10分12211212−−96m3mm即2(1mt)0+−=,即+−(1=)0t,22223mm434++3mm434++解得t=4,符合题意,|||AF|AT即存在点T,坐标为(4,0).=.………………12分|||BF|BT方法二由椭圆右焦点F(1,0),设直线l的方程为ykx=−(1),22xy2222与C:1+=联立得,(4k+3)x−8kx+4k−120=,434222则=−64+−k4(4kk3)(4k=+12)144(1)0,228k4k−12设Axy(,),Bxy(,),xx+=,xx=,………………6分112212212243k+43k+数学答案第8页(共18页)\n|||AF|AT设存在点T,设T点坐标为(,0)t,由|||AF||BT||=BF|AT,得=,|||BF|BT由内角平分线逆定理可知,TF为ATB的角平分线,【此部分解法同方法一中的各种情况】,即有kk+=0,……8分ATBT则:yykxkxkxxtkx(1)x(−1)t−(−1)(−+)(−1)(−)12121221kk+=+=+==0,ATBTxtx−t−xt−x−tx−tx−t()()121212所以2(xx1)(t)2x−+xt0++=,………………10分121222412kk8−即2(1)−+20+=tt,2243kk43++2224124(ktk−tk−+1)++4=30(),解得t=4.即存在点T(4,0)使|||AF||BT||=BF|AT恒成立.………………12分22.(本小题满分12分)解:(1)方法一xx由fx()=ae−−xa,得f(0)0=,又fx()0,故f(0)0=,而fx()ae=−1,fa(0)1=−,故a=1,………………2分x若a=1,则fx()e=−1,当x0时,fx()0,当x0时,fx()0,所以fx()在(−,0)单调递减,在(0,+)单调递增,故x=0是fx()的唯一最小值点,由于f(0)0=,所以当且仅当a=1时,fx()0.综上,a=1.………………4分方法二xx由fx()=ae−−xa,得f(0)0=,又fx()=−ae1,当a0时,有fx()0恒成立,所以fx()在R上单调递减,又由f(0)0=,则fx()0不成立,………………2分数学答案第9页(共18页)\n1当a0时,令fx()0=,得x=ln,a111则xln时,有fx()0,xln时,有fx()0,即fx()在(−,ln)单调递减,aaa11在(ln,)+单调递增,所以f(ln)是fx()的极小值,aa1又因为fx()0,且f(0)0=,故ln0=,即a=1,经验证成立.………………4分a(2)选择①作答:xxx当a1,x0时,fx()=ae−−=xaa(e−−1)xe−−1x,x设gx()exx=−−lnxxsin+−1,………………5分x当01x时,−xxln0,sin0x,又由(1)知e10−−x,故gx()0,………………7分x当x1时,gx()e=−−2lnx+cosx,xx1设hx()e=−−2lnx+cosx,则hx()=e−−sinx,hx()e110−−,x………………9分则hx()在(1,)+单调递增,hx()h(1)e2cos10=−+,所以gx()0,则gx()在(1,)+单调递增,gx()g(1)e2sin10=−+,综上,gx()0,即当a1时,fx()xlnx−xsin.………………12分选择②作答:xxx当a1,x0时,fx()aexaa=(e−−=1)e1xx−−−−,x设gx()exx=x−+ln−cos1,………………5分x当01x时,−xxln0,cosx0,e10−,故gx()0,………………7分x当x1时,gx()e=−−1lnx−sinx,xx1设hx()exx=−−1ln−sin,则hx()=e−−cosx,hx()e110−−,x………………9分则hx()在(1,+)单调递增,hx()h(1)e1sin10=−−,所以gx()0,数学答案第10页(共18页)\n则gx()在(1,)+单调递增,gx()g(1)e1cos10=−+,综上,gx()0,即当a1时,fx()x(lnxx−−1)cos.………………12分【部分试题解析】1.A13由(32i)−=13z得z==+32i,32i−故z在复平面内所对应的点为(3,2),在第一象限.2.C集合A={1,2,3,4,5},B={|0xx4},图中阴影部分表示AB,U又Bxx={|4,或x0},所以AB={4,5}.【或直接借助韦恩图填写数字易得答UU案】3.B必要性成立,由等差数列{}a的d0可知,aad=+40;n51充分性不成立,例如:a=5,a=1得d=−1.154.B由题可得,前4小时,废气中的污染物恰好被过滤掉90%,−kt−4k−4k1故由PP=e得(190%)−=PPe,所以0.1e=,即k=ln10,0004由再过滤2小时,即一共6小时,空气中剩余污染物为1333−6(ln10)−−ln10−210−6ln10k422P==P=Pe=eP=eP=eP(10)P,00000010010(3,3.5),故污染物所剩比率约为3%P.05.A由aa+=18,aa=32,知aa+=18,aa=32,解得a=2,a=16,所以q=2,1423141414kk+102(12−)2(12−)k+=1116kk++111则SSkk+10−=−=22−,所以,解得k=5.12−−12k+=166.A数学答案第11页(共18页)\n由圆锥侧面展开图为半圆,设圆锥母线为l,底面半径为R,则2πRl=π,所以lR=2,可知圆锥轴截面为正三角形,又由当小球是圆锥的内切球时,小球体积最大,设此时小球半3径为r,则有rR=,3434334331323故V=πr=π()R=πR,VRR==Rπ(3)π,球锥333273334333所以VVR:(R==π):(π)9:4.锥球3277.DyPMNxFOF12方法一因为FF12MN=3,FM12FN⊥,由双曲线对称性可知,直线FM1与FN2交于y轴上一22cc2xy点P,且△PFF为等腰直角三角形,如图,N(,),代入−=1(0,ab0)中,122233ab22cc44224422得−=1,化简得c−14ac+9a=0,即ee−14+=90,解得e=+7210,2299ab所以e=+52.方法二因为FF12MN=3,FM12⊥FN,由双曲线对称性可知,直线FM1与FN2交于y轴上一cc2点P,且△PFF为等腰直角三角形,如图,N(,),Fc(−,0),Fc(,0),121233数学答案第12页(共18页)\n422522222222所以||(NF)()cc=c+=,||(NF)()cc=c+=,12333333252252−则||||NF||NF2−c=c−a=,即ac=,12333c3则e===52+.a52−8.C方法一x由y=e和yx=ln互为反函数可知,两条公切线ykxb=+和ykxb=+也互为反函11221b1bb111数,即xy=−满足=k,−=b,即kk=1,b=−,22122kkkkk11111设直线ykxb=+与y=ex和yx=ln分别切于点(,e)xx1和(,lnxx),11122xx1可得切线方程为yxx−=e−e(11)和y−lnx=(xx−),整理得:122x2y=ex1x+ex1−xex1和yx=x−+11ln,则k==ex11,b=e(1x1−x)=−+1lnx,21112xx22x111由e1=,得xx=ln=−ln,且b=(1−x)=−+1lnx,12112xxx22211−x1则b=(1−x)=−−1x,所以x=,1112x−−1x21数学答案第13页(共18页)\nbx11−11所以kkbb+b+b=+bxx−=+11(1−)1=+(1−=+−−)1(1−)(1)121211121kkx−−1111=+−−1(1)(1−−xx)1=−.11方法二x由y=e和yx=ln图像关于直线yx=对称可知,两条公切线ykxb=+和ykxb=+1122π的图像也关于直线yx=对称,设ykxb=+与直线yx=夹角为,则k=+tan(),1114πππ1tan+−1tank=−tan(),则kk=+tan(−=)tan(=)1,2124441tan1tan−+设切点分别为Axy(,),Bxy(,),Cxy(,),Dxy(,),如图所示,112233441则由C可得,切线ykxb=+为yx−xx=ln−(),整理得:bx=−+1ln,113313x31同理,由B可得,切线ykxb=+为y−lnx=(xx−),整理得:bx=−+1ln,222222x211由k=,k=,且kk=1,得xx=1,故bb+xx=−+2ln(=−)2,1212231223xx32所以kk+b+b=−=−121.12129.BC由图易知,向量a与向量b方向不同,所以ab,故A不正确,数学答案第14页(共18页)\n作向量a与向量b,易知||||ab+=c,ab⊥,故B与C正确,连接BD,则AC与BD互相垂直,所以向量a与向量b在向量c上的射影的数量是相同的,所以ac=bc,故D不正确.10.ACD甲的10次成绩中,最大值为10,最小值为6,极差等于4,故A正确,因为1075%7.5=,所以将甲的10次成绩从小到大排列后,第8个数为75%分位数,即75%分位数等于9,故B不正确,经计算,甲的10次成绩的平均数等于8,又已知乙的10次成绩的平均数等于8,则甲和乙的20次成绩的平均数为8,故C正确,221222s甲=−+(68−+−3+)78−=98(2108)(1.6)()10210(1.60)10(0.40)+++11010s==(101.6100.4+)+0=1,故D正确,1010++201010nnn22221112方差也可以用sxx=x−nx=−xx=(−iii)()进行求解,nnini=i1=1=1101020202221121122即:s甲xx=x81.6ii−=−=,s乙=xii−=xx−=80.4,1010ii==1110ii==11101120201212所以xi−=162,即xi−=81,故D正确.10i=120i=111.ABD若平面PAD内存在直线与BC平行,则BC平面PAD,进而BCAD,与已知矛盾,故A正确;在平面PBC内,与平面PAD和平面PBC的交线平行的所有直线均与平面PAD平行,故B正确;由ABCD得AB平面PCD,进而AB平行于平面PAB与平面PCD的交线,所以平面PAB与平面PCD的交线与底面ABCD平行,故C错误;若平面PAD与平面PBC的交线与底面ABCD平行,则平面PAD与平面PBC的交线与BC平行,与AD也平行,与已知矛盾,故D正确;数学答案第15页(共18页)\n12.BCD方法一:对于A,若fx()x=,符合题意,故错误,对于B,因已知奇函数fx()在R上可导,所以f(0)0=,故正确,对于C和D,设gx()fx()=−x,则gx()为R上可导的奇函数,g(0)0=,由题意f(1−x)+−=x1f(1+x)1−−x,得g(1−x)=g(1+x),gx()关于直线x=1对称,易得奇函数gx()的一个周期为4,gg(2022)g(2)==(0)0=,故C正确,由对称性可知,gx()关于直线x=−1对称,进而可得g(1)0−=,(其证明过程见备注)且gx()的一个周期为4,所以gg(2023)(1)0=−=,故D正确.备注:gx(1g)−x(1=)+,即−−gx=−(1g)x(1+),所以gx(1−+gx)(1=−−),等式两边对x求导得,gx(1g−+x)(1=−)−−,令x=0,得gg(1)−=−(1)−,所以g(1)0−=.方法二:对于A,若fx()x=,符合题意,故错误,对于B,因已知奇函数fx()在R上可导,所以f(0)0=,故正确,对于C,将fx(1fx)−x(1−)2++=0中的x代换为x+1,得f(−x)−f(2+x)2+x+=20,所以fx(2)fx+()2+=x+2,可得fx(4)fx+(2)2++x=+6,两式相减得,fx(+4)−fx()4=,则ff(6)(2)4−=,ff(10)(6)4−=,…,ff(2022)(2018)4−=,叠加得ff(2022)−=(2)2020,又由fx(+2)+fx()2=x+2,得ff(2)=−(0)22+=,所以ff(2022)=(2)20202022+=,故正确,对于D,将f(1−x)−f(1+x)2+x=0的两边对x求导,得−f(1−x)−f(1+x)20+=,数学答案第16页(共18页)\n令x=0得,f(1)1=,将−−fx=(fx)()的两边对x求导,得fx(fx)−=(),所以f(1)1−=,将fx(+4)−fx()4=的两边对x求导,得fx(+=4)fx(),所以fff(2023)(2019)===−=(1)1,故正确.13.4322由抛物线的定义可知:|PF|=xp+=28,所以xp=6,代入yx=8中,得yp=48,所以||43y=,故结果为43.p14.42由随机变量N(1,),则正态分布的曲线的对称轴为=1,又因为P(P1)a(3)=−,所以1(+−3)2a=,所以a=4,则当04x时,1919(4)4911029xx+xx−−+有+=+=++(=)(10)4,xxxx4x4−x4−4−4449−xx当且仅当=,即x=1时等号成立,故最小值为4.xx4−15.2023当AC,之间为B时,方法数为AA=12,23122当AC,之间为D或E时,方法数为CAA=8,222综上,所有方法数为12820+=.51−16.4方法一:3由题意T(cos18)cos72==sin18,T(cos18)cos54==4cos18−3cos18,又433cos54sin36==2sin18cos18,故2sin18cos18=−4cos183cos18,2251−2sin18=−=−4cos18314sin18,解得sin18=.4方法二:42由题意Tx()=2xTx()−Tx()8=x−8x+1,432数学答案第17页(共18页)\n53Tx()xTx2=()−=()16−Tx+xx20x5,而T(cos18)cos90==0,5435T3(cos18)2cos18(cos18)−TT21(cos18)所以T(cos18)==42cos182cos1822cos18(2cos181)cos18−−1322==−−=−2cos1812cos18,2cos182253又因为16(cos18)20(cos18)−+=5cos180,42255+255−即16(cos18)20(cos18)−+=50,解得cos18=,或cos18=(舍),882355351+−所以T(cos18)2cos18=−=−=.42424数学答案第18页(共18页)
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