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云南师范大学附属中学2022届高三数学(文)高考适应性月考卷(九)(Word版附解析)
云南师范大学附属中学2022届高三数学(文)高考适应性月考卷(九)(Word版附解析)
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文科数学试卷一、选择题(木大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数的模是()A.B.C.0D.1【答案】D【解析】【分析】结合复数的模的定义,根据求解即可.【详解】解:因,所以,所以复数z的模是1.故选:D.2.已知集合,,则集合B中元素的个数是()A.6B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】根据集合的定义写出集合中的元素可得.【详解】集合中的元素有,,,共4个,故选:C.3.从2名男生和2名女生中选2人参加校庆汇报演出,则选到一男一女的概率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意,列举出所有可能的选法,再找出满足题意的选法,利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】从2名男生和2名女生中选2人共有如下6种选法:(男1,男2),(男1,女1),(男1,女2),\n(男2,女1),(男2,女2),(女1,女2),选到一男一女的选法有4种,分别为:(男1,女1),(男1,女2),(男2,女1),(男2,女2),则选到一男一女的概率为.故选:.4.阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上,且椭圆C的离心率为,面积为.则椭圆C的标准方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设出椭圆方程,由题意可得,结合离心率以及的关系,可得出答案.【详解】设椭圆的标准方程为,焦距为,则,解得,∴椭圆的标准方程为,故选:C.5.已知一个三棱锥的三视图如图所示,正视图为正方形,侧视图和俯视图均为直角三角形,则该几何体的体积是()\nA.12B.2C.4D.6【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原出三棱锥的直观图,根据棱锥体积公式求解即可.【详解】由三视图可知,该几何体为图中三棱锥,,故选:B6.已知是等差数列,是的前n项和,则“对任意的且,”是“”的()A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充要条件【答案】B【解析】【分析】对进行赋值分析【详解】因为对任意的且,,当时,,当时,,所以成立;充分性成立\n当成立时,可推出等差数列的公差大于零,但“对任意的且,”未必恒成立,例如,,当时,不成立,必要性不成立故选:B.7.设实数,满足约束条件,则目标函数的最大值为()A.30B.-16C.4D.24.【答案】D【解析】【分析】作出可行域,作出目标函数对应的直线,平移该直线可得最优解.【详解】作出可行域,如图内部,(含线段不包含顶点的部分),作直线,在直线中,是直线的纵截距,因此直线向上平移时,增大,由于,因此直线与平行,所以平移直线,当它与直线重合时,取得最大值,故选:D.8.已知函数在上有且只有3个零点,则实数\n的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由,利用两角差的正弦公式变形后,结合正弦函数性质可得出其根,把正根按从小到大顺序排序后,由前面三个根属于可得参数范围.【详解】原题等价于方程在上有且只有3个实数根,即方程在上有且只有3个实数根,,,,,正根从小到大排列即,,,,所以,则,故选:B.9.已知圆:,圆:(且),则圆与圆的公切线有()A.4条B.1条C.2条D.3条【答案】C【解析】【分析】根据题意,判断两圆的位置关系得两圆相交,进而得答案.【详解】解:解法一:圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为,所以,圆心之间的距离,\n因为,故两圆相交,有两条公切线;解法二:两圆有,两个公共点,故两圆相交,有两条公切.故选:C.10.已知函数,设,,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】确定函数的奇偶性,利用导数确定的单调性,由奇偶性得再根据对数函数性质、指数函数性质比较的大小后可得.【详解】是偶函数,,令,则,所以在上单调递增,,在上,单调递减,在上,单调递增,,由于是偶函数,,,,,在上单调递增,所以,故选:B.11.对于函数的图象上不同的两点,,记这两点处的切线的斜率分别为和,定义(为线段的长度)为曲线上A,B两点间的“弯曲度”.下列命题中真命题是()①若函数图象上A,B两点的横坐标分别为1和2,则;\n②存在这样的函数,其图象上任意两点间的“弯曲度”为常数;③设A,B是抛物线上不同的两点,则;④设指数曲线上不同的两点,,且,若恒成立,则实数的取值范围是.A.②④B.①②C.②③D.③④【答案】C【解析】【分析】由导数的几何意义求出斜率,根据新定义计算“弯曲度”,结合不等式的性质判断各选项,【详解】由得,,,则,所以①错;常值函数的“弯曲度”为零(常数),所以②正确;由得,,则,所以③正确;④,则,,则由及可得而,∴,故④错误,故选:C.12.如图,椭圆的焦点在轴上,长轴长为,离心率为,左、右焦点分别为,,若椭圆上第一象限的一个点A满足:直线与直线的交点为,直线与\n轴的交点为,且射线为的角平分线,则点A的纵坐标为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求得椭圆方程,根据角平分线定理,求得,写出直线方程,联立椭圆方程,即可求得交点的坐标.【详解】设椭圆的方程为,根据题意可得:,故可得,则椭圆的方程为;又射线为的角平分线,在根据角平分线定理,有,则在中,故,故可设直线方程为,点为直线与椭圆的交点,\n则,解得(舍)或.即点的纵坐标为.故选:.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若,且,,则与夹角的余弦值为__________.【答案】【解析】【分析】设与的夹角为,进而根据向量数量积的运算求解即可.【详解】解:设与的夹角为,因为,,且,,所以.故答案为:14.函数在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】【分析】先求导,进而得切线斜率,利用直线方程的点斜式即得.【详解】函数的导函数为,则,故切线斜率为2,又,所以切线方程为,即.故答案为:.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率\n为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是____________.【答案】②③【解析】【分析】根据局部频率和整体频率的关系,依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例,故①不正确;因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率,故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率,故②正确;因为不能确定甲乙两校的男女比例,故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系,故③正确.故答案为:②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系,意在考查学生的理解能力和应用能力.16.各项均为正数的数列,其前项和,满足,则使得成等比数列的实数对共有___________对.【答案】3【解析】【分析】利用的关系求得,再根据等差数列的基本量,结合成等比数列,求得的等量关系,根据为整数,即可求得结果.【详解】当时,,当时,,整理得,又各项均为正数,则,\n故数列是以1为首项,2为公差的等差数列,,又,,成等比数列,则,整理得,由于,,可解得故实数对共有3对.故答案为:.三、解答题(共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.年云南省有个文科考生分数达到了一本线,其中大约有人的分数集中在内,其成绩的频率分布如下表所示:分数段频数频率(1)求、、、、;(2)求这人分数的中位数的估计值(结果保留两位小数).【答案】(1),,,,(2)【解析】【分析】(1)利用频率、频数和总容量之间的关系可求得、、、、的值;(2)利用中位数的定义可求得中位数的估计值.【小问1详解】\n解:由题意可得,,,,.【小问2详解】解:设这人分数的中位数的估计值为,分数低于分的频率为,分数低于分的频率为,所以,这人分数的中位数的估计值.18.如图,△ABC中,点D在AB上且满足:,.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在题设中,求△ABC的面积(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)【答案】6.【解析】【分析】在△ABC中利用正弦定理结合可得;在△ACD和△BCD中利用正弦定理结合可得CD是的角平分线﹒若选①:在和△ABC中分别利用余弦定理表示出cosA,由此列方程可求出AC、BC,再求出cosA和sinA,根据即可求解;若选②:在△ACD中利用正弦定理表示出sin∠ACD,由CD是的角平分线,可用余弦二倍角公式表示出cos∠ACB.在△ABC中,利用余弦定理可求AC、BC,从而求得sin∠ACD,\ncos∠ACB,sin∠ACB,根据即可求解;若选③:根据余弦二倍角公式可求cos∠ACB,从而可求sin∠ACB,在△ABC中利用余弦定理可求AC,从而可求BC,从而根据即可求解.【详解】在中,由正弦定理得,,在中,由正弦定理得,,∵,∴,即,则,即是的角平分线;,,,在中,由及正弦定理得,,∴,即.若选①:.在中,由余弦定理得,,在中,由余弦定理得,cosA=,∴=,则,,\n∴,∴.若选②:.在中,设,由正弦定理得,则,∵是的角平分线,故,在中,由余弦定理得,,解得,,BC=,故,∴,则.若选③:.设,则,,在中,由余弦定理得,,解得,BC=,则.\n19.图甲是由直角梯形ABCD和等边三角形CDE组成的一个平面图形,其中,,,将沿CD折起使点E到达点P的位置(如图乙),在四棱锥中,若.(1)证明:平面平面ABCD;(2)若平面PCD与平面PAB的交线为,求与平面ABCD的交点到平面PAD的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)取中点为,连接,,得,,由勾股定理逆定理得线线垂直,由线面垂直的判定定理得线面垂直,从而得面面垂直;(2)延长交于点,连接,则平面与平面的交线为,即为,平面,用等体积法求到平面的距离.【小问1详解】证明:如图,取中点为,连接,,由题得且,得,,∵,∴,∵,∴,,平面,∴平面,平面,所以平面平面.\n【小问2详解】如图,延长交于点,连接,则平面与平面的交线为,即为,平面,设到平面的距离,由,得,∵,,由且得是中点,所以,∴.20.已知双曲线:的离心率为2,F为双曲线C的右焦点,(2,3)是双曲线C上的一个点.(1)求双曲线C的方程;(2)若过F且不与渐近线平行的直线(斜率不为0)与双曲线C的两个交点分别为M,N,记双曲线C在点M,N处的切线分别为,,点为直线与直线的交点,试判断点是否在一条定直线上,若是,求出定直线的方程;若不是,请说明理由.(注:若双曲线方程为,则该双曲线在点处的切线方程为)【答案】(1)\n(2)在,定直线为【解析】【分析】(1)由离心率得,从而,再把双曲线所过点的坐标代入可求得各双曲线方程;(2)设,,直线,代入双曲线方程应用韦达定理得,写出两条切线方程,记,代入两个切线方程相加,并代入可得的一个关系式,相减又得一个关系式,两者结合消去参数可得,从而得出结论.【小问1详解】据题意,则,,是双曲线上的一个点,则,所以双曲线的方程为.【小问2详解】设,,直线,联立直线与双曲线:,,由题知,切线,切线,记,则\n①+②得,将代入得③;①−②得,由得④,联立③和④得,故,又,所以,则,故点的轨迹方程为,所以点在定直线上.21.函数,.(1)讨论函数的极值点个数;(2)已知函数的定义域为,且满足.若,满足不等式,且是函数的极值点,求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】(1)求出,由知,分离参数得,引入函数,由的导数确定单调性与极值,可作出函数的大致图象,结合图象分类讨论得出零点个数,根据极值定义得极值点个数;(2)令,求导后得是增函数,不等式,整理得,即,由单调性得的范围,从而得出\n的范围,结合极值点的要求得,然后由(1)的函数的性质得的范围.【小问1详解】,则,函数的极值点为导函数的变号零点,显然不是的解,当时,令,则,故的单调性如表格所示:单调递增单调递减极小值单调递增则极小值为,可得函数的大致图象如图,故当时,有两个解(),在两侧符号相等,在两侧,不变号,有1个极值点;\n当时,有三个解,在这三个解两侧均变号,有3个极值点.【小问2详解】令,则,因为满足,故,则,故函数是一个在定义域上单调递增函数;又,满足不等式,整理得,即,结合定义域有故的取值范围是,又是函数的极值点,即函数的变号零点,∴,由(1)知,函数在区间上单调递减,故.【点睛】本题考查用导数确定函数的极值点,研究不等式恒成立问题,解题关系是问题的转化,极值点的个数问题转化为方程的根的个数,再转化为函数图象交点个数.不等式问题通过引入函数,利用函数单调性化简得出参数范围,本题属于困难题,对学生的逻辑思维能力,运算求解能力要求较高.22.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l的极坐标方程为.(1)求曲线C的普通方程和射线l的直角坐标方程;(2)射线l与曲线C相交于点P,点Q在极轴上(异于极点),当且△OPQ的面积为时,求△OPQ的外接圆的极坐标方程.\n【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)依题意可得(为参数),再将两式平方相加即可得到曲线的普通方程,根据即可得到射线的直角坐标方程;(2)首先由同角三角函数的基本关系求出,设,代入椭圆方程,即可求出,即可得到,设根据三角的面积求出,即可求出点坐标,从而求出,,再在中,由余弦定理求出,即可得到是以为斜边的直角三角形,从而求出的外接圆的方程,再化为极坐标方程即可;【小问1详解】解:由(为参数),得(为参数),两式平方相加,所以为的普通方程;由,所以射线的直角坐标方程为.小问2详解】解:当时,由,得,设,则,\n代入椭圆方程得,,解得,∵,∴,即,设,由,即,所以,,在中,由余弦定理得,,即,所以是以为斜边的直角三角形,所以的外接圆为,即,由,所以,即的外接圆的极坐标方程为.23.已知a,b,.(1)若,求证:;(2)若,求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)先由证明其和为正,再由从而可证明.(2)先证明成立,从而根据该不等式可求出其最值.【小问1详解】由,则,\n所以,所以所以【小问2详解】因为,所以,又因为,所以当且仅当,取时,等号成立(取等条件不唯一),所以的最小值是.
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高中 - 数学
发布时间:2022-06-06 12:00:17
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