四川省成都市2022届高三数学(理)下学期第一次适应性考试试题(PDF版附答案)
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高2022届高考适应考试一数学(理科)试卷(满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,只将答题卷交回)第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共计60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.21.已知集合MyZyx2xN,xyln(x),则MN()A.B.{1}C.(1,1)D.[1,0)2.已知i为虚数单位,若z1+i,则z+2i=()A.1+iB.2C.2D.103.下图是某公司2001年至2021年收益额(单位:万元)的折线图.根据该折线图判断,下列结论正确的是()A.为预测2022年的收益额,应用2001年至2021年的数据建立回归模型更可靠B.为预测2022年的收益额,应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠C.收益额与年份负相关D.收益额与年份的相关系数r0x2y104.已知实数x,y满足2xy20,则x+1的最小值是()x2y2013A.1B.2C.D.22221025.已知命题p:(x)的展开式中,第2项的二项式系数为C10;命题q:若a,b是两x个非零向量,则abab是ab的充要条件.下列命题为真命题的是()A.pqB.pqC.pqD.pq6.若3a4,blog2,clnc1,则实数a,b,c的大小关系为()3A.abcB.bcaC.acbD.bac7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,A,B,C,D是该三棱锥表面上四个点,则直线AC和直线BD所成角的余弦为()1122A.0B.C.D.333高2022届高考适应考试一数学(理科)试卷(第1页共4页)\n8.已知x(0,),且axsinxbx恒成立,则ba的最小值为()2222A.1B.C.1D.19.纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球,从中不放回地随机取9次,每次取1个球,则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为()1111A.B.C.D.412211610.如图,在边长为23的等边三角形ABC中,圆D1与△ABC相切,圆D2与圆D1相切且与AB,AC相切,…,圆Dn1与圆Dn相切且与AB,AC相切,依次得到圆D3,D4,…,Dn.当圆Dn的半3径小于时,(nN),n的最小值为()81A.5B.6C.7D.8211.已知抛物线C:x2py(p0)的焦点为F,直线l过焦点F与C交于A,B两点,Q为线段AB的中点,以AB为直径的圆与x轴交于M,N两点,若C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离为3,则sinQMN的最小值为()1111A.B.C.D.543212.如图,ABC为等腰直角三角形,斜边上的中线AD=3,E为线段BD中点,将ABC沿AD折成大小为的二面角,连接BC,形成四面体CABD,若P是该四面体表面或2内部一点,则下列说法错误的是()1A.点P落在三棱锥EABC内部的概率为2B.若直线PE与平面ABC没有交点,则点P的轨迹与平面ADC的交32线长度为243C.若PA2PD,则P的轨迹与该四面体表面的交线长度为32D.平面ABC上存在一点P,使得PA2PD第II卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.a513.已知等差数列an满足a4a1a2,且a10,则________.aa1322xy14.已知F是双曲线C:1a0,b0的右焦点,A,B是C上关于原点O对称的两22ab2点,若AFBF0,且△OAF的面积为4a,则双曲线C的离心率为______.515.已知函数f(x)2sin(x)(0),若f()0,且f(x)在(,)上有最大值,33312没有最小值,则的最大值为________.高2022届高考适应考试一数学(理科)试卷(第2页共4页)\n16.已知函数fx的定义域为R,f(2x2)为偶函数,f(x1)为奇函数,且当x0,1时,3579fxaxb.若f41,则f()f()f()f()______.2222三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:每题12分,共计60分.17.在某次校园科技节游园活动中,数学兴趣小组的摊位开展了一个特别的投骰子游戏.如果玩家投中1或者6可得1分,并且可以继续下一次投骰子,如果结果为2到5则游戏结束,但游戏的次数最多不超过4次,以X表示游戏结束时玩家累计获得的分数,Y表示游戏结束时玩家获得的奖励.(1)求X的分布列;(2)若Y|X2|,求Y的期望.18.设ABC的内角ABC,,所对的边分别为abc,,,在以下①、②、③中选择一个作为条件,并加以解答,如果①、②、③都做,则按①给分.①向量mcos,1B与向量nbca,2平行.②22abbcABB③1cosA2cos22sincos242424(1)确定角A和角B之间的关系;(2)若D为线段BC上一点,且满足BDAD4,若2a3b,求b.19.如图,在圆柱OO1中,四边形ABCD是其轴截面,EF为⊙O1的直径,且EFCD,AB2,BCa(a1).(1)求证:BEBF;6(2)若直线AE与平面BEF所成角的正弦值为,求二面角3ABEF平面角的余弦值.高2022届高考适应考试一数学(理科)试卷(第3页共4页)\n20.点P为曲线C上任意一点,直线l:x4,过点P作PQ与直线l垂直,垂足为Q,点F(1,0),且|PQ|2|PF|.(1)求曲线C的方程;22(2)过曲线C上的点M(x0,y0)(x01)作圆(x1)y1的两条切线,切线与y轴交于A,B,求MAB面积的取值范围.2x21.已知f(x)xea(x2lnx)(1)当ae时,求f(x)的单调性;(2)讨论f(x)的零点个数.(二)选考题:共10分.考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.【选修4-4:坐标系与参数方程】x2mt22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极y3mt点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为m24,设C1与C2的2交点为M,当m变化时,M的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)曲线C3的极坐标方程为:=,当曲线C3与曲线C有交点Q时,求OQ最小值.【选修4-5:不等式选讲】23.已知fxx4xm.(1)若m2,求fxm的解集;222222(2)若实数abc,,满足abc2,xR,使abacbcfx成立,求实数m的取值范围.高2022届高考适应考试一数学(理科)试卷(第4页共4页)\n高2022届高考适应考试一理科答案一、选择题:BCBABAADCADD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1;14.3;15.17;16.01217.【详解】(1)在单次投骰子中,投中1或者6的概率为,投中2到5的概率为......2分33由题得X的可能取值为0,1,2,…,41k214依题意得P(Xk)()(k)3,2,1,0,p(X)4().............................................5分333∴X的分布列为:X0123421212213214P()()()33333333.......................6分(2)因为Y|X|2,所以Y0,1,2.........................8分Y0121221213214P()+()2+()33333333...................................10分12212132214130所以E(Y)0()1(())2(()).....................12分333333338118.【详解】(1)若选①:因为向量mcos,1B与向量nbca,2平行,所以2cosaBbc,由正弦定理,可得2sinAcosBsinBsinCsinBsin(AB)2sincosABsinBsincosABcossinABsincosABcossinABsinBsin(AB).................................4分AB,0,,AB,,B(AB)或BAB=A(舍)或2=BA,即2=BA.................................6分222222acbbbccbbc若选②:cosB,2ac2ac2a所以2cosaBbc,由正弦定理,可得2sinAcosBsinBsinCsinBsin(AB)2sincosABsinBsincosABcossinABsincosABcossinABsinBsin(AB).................................4分AB,0,,AB,,B(AB)或BAB=A(舍)或2=BA,即2=BA...............................6分ABB若选③:1cosA2cos22sincos2424242AAA1(12sin)2cos2sin2sinB2222AAAAA2sin2cos2sin2cosB,A0,,0,sin0222222高2022届高考适应考试一数学(理科)试卷(第1页共4页)\nAAAA所以上式化为2sin2cos2sin2cosBcoscosB.............4分2222AA0,,B0,,B,即2=BA................................6分222(2)如图,作出ABC示意图如下:32a3b,由正弦定理2sinA3sinB2sin2B22sincosBB,可得cosB,....8分43BH过D向AB作垂线,垂足为H,cosBBH3。因为BD=AD,所以H是AB4BD中点,ABc6。因为BD=AD,所以B=BAD,因为BAC=2BBADCAD,所以BADCAD,AD是BAC的角平分线,ABAC6bb24即有4a43b,解得b.....................12分BDCD45219.【详解】(1)证明:连接BO1,在圆柱中OO1中,BC平面CEDF,EF平面CEDF,EFBC,EFCD,BCCDC,EF平面ABCD,....................3分又BO1平面ABCD,EFBO1,在BEF中,O1为EF的中点,BEBF....5分(2)连接OO1,则OO1与该圆柱的底面垂直,以点O为坐标原点,OB,OO1所在直线分别为y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz,....................6分则A0,1,0,B0,1,0,E1,0,a,F1,0,a,AE1,1,a,BE1,1,a,BF1,1,a,设平面BEF的法向量分别是nx,,yz,1111nBE10x1y1az10由,得,取z11,得n10,,1a,....................7分nBF10x1y1az10设直线AE与平面BEF所成角为,2a622由sincosAEn,,化简得a2a10,a22a213高2022届高考适应考试一数学(理科)试卷(第2页共4页)\nQa1,解得a2,n10,2,1,....................9分设平面ABE的法向量分别是nxyz,,,AB0,2,0,2222n2AB02y20uur由,得,取z21,得n22,0,1,n2AE0x2y22z20nn112cosnn1,2,....................11分nn3121由图象可知,二面角ABEF为锐角,因此,二面角ABEF的余弦值为........12分320.【解析】(1)设Pxy(,),由|PQ||2PF|,得22|x|42(x)1y,两边平方得2222xyxy1,所以曲线C的方程为1;.................................4分4343(2)设点M(x0,y0)的切线方程为yy0k(xx0)(斜率必存在),圆心为F()0,1,r=1|kykx|00所以F()0,1到yy0k(xx0)的距离为:d1....................6分21k222平方化为(x02x0)k(2x0)1y0ky010,设PA,PB的斜率分别为k1,k22(2x)1yy1000则k1k22,k1k22.........................................................................8分x2xx2x0000因为PA:yy0k1(xx0),令x=0有yAy0k1x0,同理yBy0k2x02222(4x)1y(4x2x)(y)1200000所以|AB||yy|x|kk|x(kk)4kkAB01201212x2022x06又因为4y123x代入上式化简为|AB|............................................10分00x203211x61x6x000x所以SMABx0|AB|x0,0]2,1[22x22x20032x6x21令f(x),x]2,1[,求导知f(x)在x]2,1[为增函数,所以S[,]2.12分x262x21.【解析】(1)因为ae,x0,f(x)xee(x2lnx)2x2xe(x)2xe所以f(x)(x2x)ee1()x(x)2e(x2)(xe),f)1(0xxxxexe令g(x)xe,g(x)(x)1e0,所以g(x)在,0()单增,且g)1(0,2xxxexe当x)1,0(时g(x)xe0,当x1(,)时g(x)xe0,所以当x)1,0(时xxf(x)0,当x1(,)时f(x)0,所以f(x)在)1,0(单减,在1(,)单增...................5分2(2)因为()lnxx(2ln)x2lnx(2ln)0fxeeaxxeaxx令tx2lnx,易知tx2lnx在,0()是单增的,且tR,故f(x)的零点转化为x2lnxttf(x)ea(x2lnx)eat0即eat,tR...........................................8分当a0时无解高2022届高考适应考试一数学(理科)试卷(第3页共4页)\n1ttt当a0时,令h(t),tR,易知h(t)的大致图象如下:tttaeee11①当即0ae,0个ae111②当或0即ae或a0,1个aea11③当0即ae,2个ae综上:当0ae,0个;当ae或a0,1个;ae,2个..........................................12分其他解法酌情给分22222.【详解】(1)曲线C1的普通方程为yxm,曲线C2的普通方程为xym4,....................2分222xym42联立消参可得C的普通方程为xy2,即y..................5分yxmx224(2)C的极坐标方程为sincos2,....................6分sin22442联立sin2,可得,sin22当sin2122k,即k(kZ)时,最小为4,所以OQ最小24值为2.....................10分23.【详解】(1)∵m2,fxx4x22,∴当x2,x4x22时,无解;当4x2时,x42x2,∴4x0;当x4时,x42x62,成立.综上所述:fxm的解集为xx0...................4分222(2)∵22ab2ab,2(ab)≥ab,222222同理可得2(ac)≥ac,2(bc)≥bc,所以222222222222abacbc2(ab)2(ac)2(bc)4(abc)8当且仅当abc时,等号成立...................6分222∵xR,使abacbcfx成立,由fxx4xm≤4m,当且仅当x4≥xm,x4xm≥0时等号成立,.................8分∴4m8,即m,124,................10分高2022届高考适应考试一数学(理科)试卷(第4页共4页)\n高2022届高考适应考试一理科答案一、选择题:BCBABAADCADD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1;14.3;15.17;16.01217.【详解】(1)在单次投骰子中,投中1或者6的概率为,投中2到5的概率为......2分33由题得X的可能取值为0,1,2,…,41k214依题意得P(Xk)()(k)3,2,1,0,p(X)4().............................................5分333∴X的分布列为:X0123421212213214P()()()33333333.......................6分(2)因为Y|X|2,所以Y0,1,2.........................8分Y0121221213214P()+()2+()33333333...................................10分12212132214130所以E(Y)0()1(())2(()).....................12分333333338118.【详解】(1)若选①:因为向量mcos,1B与向量nbca,2平行,所以2cosaBbc,由正弦定理,可得2sinAcosBsinBsinCsinBsin(AB)2sincosABsinBsincosABcossinABsincosABcossinABsinBsin(AB).................................4分AB,0,,AB,,B(AB)或BAB=A(舍)或2=BA,即2=BA.................................6分222222acbbbccbbc若选②:cosB,2ac2ac2a所以2cosaBbc,由正弦定理,可得2sinAcosBsinBsinCsinBsin(AB)2sincosABsinBsincosABcossinABsincosABcossinABsinBsin(AB).................................4分AB,0,,AB,,B(AB)或BAB=A(舍)或2=BA,即2=BA...............................6分ABB若选③:1cosA2cos22sincos2424242AAA1(12sin)2cos2sin2sinB2222AAAAA2sin2cos2sin2cosB,A0,,0,sin0222222高2022届高考适应考试一数学(理科)试卷(第1页共4页)\nAAAA所以上式化为2sin2cos2sin2cosBcoscosB.............4分2222AA0,,B0,,B,即2=BA................................6分222(2)如图,作出ABC示意图如下:32a3b,由正弦定理2sinA3sinB2sin2B22sincosBB,可得cosB,....8分43BH过D向AB作垂线,垂足为H,cosBBH3。因为BD=AD,所以H是AB4BD中点,ABc6。因为BD=AD,所以B=BAD,因为BAC=2BBADCAD,所以BADCAD,AD是BAC的角平分线,ABAC6bb24即有4a43b,解得b.....................12分BDCD45219.【详解】(1)证明:连接BO1,在圆柱中OO1中,BC平面CEDF,EF平面CEDF,EFBC,EFCD,BCCDC,EF平面ABCD,....................3分又BO1平面ABCD,EFBO1,在BEF中,O1为EF的中点,BEBF....5分(2)连接OO1,则OO1与该圆柱的底面垂直,以点O为坐标原点,OB,OO1所在直线分别为y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz,....................6分则A0,1,0,B0,1,0,E1,0,a,F1,0,a,AE1,1,a,BE1,1,a,BF1,1,a,设平面BEF的法向量分别是nx,,yz,1111nBE10x1y1az10由,得,取z11,得n10,,1a,....................7分nBF10x1y1az10设直线AE与平面BEF所成角为,2a622由sincosAEn,,化简得a2a10,a22a213高2022届高考适应考试一数学(理科)试卷(第2页共4页)\nQa1,解得a2,n10,2,1,....................9分设平面ABE的法向量分别是nxyz,,,AB0,2,0,2222n2AB02y20uur由,得,取z21,得n22,0,1,n2AE0x2y22z20nn112cosnn1,2,....................11分nn3121由图象可知,二面角ABEF为锐角,因此,二面角ABEF的余弦值为........12分320.【解析】(1)设Pxy(,),由|PQ||2PF|,得22|x|42(x)1y,两边平方得2222xyxy1,所以曲线C的方程为1;.................................4分4343(2)设点M(x0,y0)的切线方程为yy0k(xx0)(斜率必存在),圆心为F()0,1,r=1|kykx|00所以F()0,1到yy0k(xx0)的距离为:d1....................6分21k222平方化为(x02x0)k(2x0)1y0ky010,设PA,PB的斜率分别为k1,k22(2x)1yy1000则k1k22,k1k22.........................................................................8分x2xx2x0000因为PA:yy0k1(xx0),令x=0有yAy0k1x0,同理yBy0k2x02222(4x)1y(4x2x)(y)1200000所以|AB||yy|x|kk|x(kk)4kkAB01201212x2022x06又因为4y123x代入上式化简为|AB|............................................10分00x203211x61x6x000x所以SMABx0|AB|x0,0]2,1[22x22x20032x6x21令f(x),x]2,1[,求导知f(x)在x]2,1[为增函数,所以S[,]2.12分x262x21.【解析】(1)因为ae,x0,f(x)xee(x2lnx)2x2xe(x)2xe所以f(x)(x2x)ee1()x(x)2e(x2)(xe),f)1(0xxxxexe令g(x)xe,g(x)(x)1e0,所以g(x)在,0()单增,且g)1(0,2xxxexe当x)1,0(时g(x)xe0,当x1(,)时g(x)xe0,所以当x)1,0(时xxf(x)0,当x1(,)时f(x)0,所以f(x)在)1,0(单减,在1(,)单增...................5分2(2)因为()lnxx(2ln)x2lnx(2ln)0fxeeaxxeaxx令tx2lnx,易知tx2lnx在,0()是单增的,且tR,故f(x)的零点转化为x2lnxttf(x)ea(x2lnx)eat0即eat,tR...........................................8分当a0时无解高2022届高考适应考试一数学(理科)试卷(第3页共4页)\n1ttt当a0时,令h(t),tR,易知h(t)的大致图象如下:tttaeee11①当即0ae,0个ae111②当或0即ae或a0,1个aea11③当0即ae,2个ae综上:当0ae,0个;当ae或a0,1个;ae,2个..........................................12分其他解法酌情给分22222.【详解】(1)曲线C1的普通方程为yxm,曲线C2的普通方程为xym4,....................2分222xym42联立消参可得C的普通方程为xy2,即y..................5分yxmx224(2)C的极坐标方程为sincos2,....................6分sin22442联立sin2,可得,sin22当sin2122k,即k(kZ)时,最小为4,所以OQ最小24值为2.....................10分23.【详解】(1)∵m2,fxx4x22,∴当x2,x4x22时,无解;当4x2时,x42x2,∴4x0;当x4时,x42x62,成立.综上所述:fxm的解集为xx0...................4分222(2)∵22ab2ab,2(ab)≥ab,222222同理可得2(ac)≥ac,2(bc)≥bc,所以222222222222abacbc2(ab)2(ac)2(bc)4(abc)8当且仅当abc时,等号成立...................6分222∵xR,使abacbcfx成立,由fxx4xm≤4m,当且仅当x4≥xm,x4xm≥0时等号成立,.................8分∴4m8,即m,124,................10分高2022届高考适应考试一数学(理科)试卷(第4页共4页)
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