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山西省山西大学附中2022届高三文科数学5月三模(总第七次模块)(Word版含答案)
山西省山西大学附中2022届高三文科数学5月三模(总第七次模块)(Word版含答案)
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山西大学附中2021~2022学年高三第二学期5月诊断考试数学试题(文)考试时间:120分钟一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项正确)1.设,则( )A.B.C.D.2.已知集合,,则( )A.B.C.D.3.非零向量,,满足,与的夹角为,,则在上的投影为( )A.-1B.C.1D.4.已知等差数列的各项均为正数,其前n项和为,且满足,,则( )A.28B.30C.32D.355.若点在角的终边上,则( )A.2B.C.D.6.某高山地区的大气压强p(Pa)与海拔高度h(m)近似满足函数关系,其中,是海平面大气压强,已知在该地区甲、乙两处测得的大气压强分别为,,且,那么甲、乙两处的海拔高度之差约为( )(参考数据:)A.4900mB.5500mC.6200mD.7400m7.点F是抛物线的焦点,点,P为抛物线上一点,P不在直线AF上,则△PAF的周长的最小值是( )A.4B.6C.D.8.2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫,威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进,开尔文体是一种多面体,它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形),已知该多面体共有24个顶点,且棱长为1,则该多面体表面积是( )\nA.B.C.D.9.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,A为锐角,,若,则△ABC的面积为( )A.B.C.D.10.已知椭圆C:的右焦点为,右顶点为A,O为坐标原点,过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点,若四边形OMAN是正方形,则C的方程为( )A.B.C.D.11.已知AB,CM分别为圆柱上、下底面的直径,且AB=2,圆柱的高为,AB⊥CM,则点M到平面ABC的距离为( )A.B.C.D.12.已知定义在R上的函数的图象关于点对称,若对任意的有(是函数的导函数)成立,且,则关于x的不等式的解集是( )A.B.C.D.二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直,则__________.14.已知,且,则________.15.已知某线路公交车从6:30首发,每5分钟一班,甲、乙两同学都从起点站坐车去学校,若甲每天到起点站的时间是在6:30--7:00任意时刻随机到达,乙每天到起点站的时间是在6:45-7:15任意时刻随机到达,那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是_________.16.如图,多面体中,面为正方形,平面,,且,,为棱的中点,为棱上的动点,有下列结论:\n①当为棱的中点时,平面;②存在点,使得;③三棱锥的体积为定值;④三棱锥的外接球表面积为.其中正确的结论序号为______.(填写所有正确结论的序号)三、解答题:(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)(一)必考题:共60分17.已知数列的前项和为,,从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件,并完成解答.(条件①:; 条件②:; 条件③:.)选择条件 和 .(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足,并求数列的前项的和.18.甲、乙两所学校高三年级分别有1000人,1100人,为了了解两所学校全体高三年级学生高中某学科基础知识测试情况,采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的该学科成绩,并作出了如下的频数分布统计表,规定考试成绩在[120,150]内为优秀.甲校:分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数12981010x3乙校:分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数23101515y31甲校乙校总计优秀非优秀总计(1)计算x,y的值;(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表,若按是否优秀来判断,是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异?19.如图,已知直三棱柱的底面△ABC是正三角形,,D为AB的中点,点P,N分别为,的中点,过点P,N的平面交于点E,交于点M.(1)证明:平面EMN⊥平面;(2)若,求△EMN的面积.\n20.已知椭圆()的离心率为,其右焦点为F,点,且.(1)求C的方程;(2)过点P且斜率为()的直线l与椭圆C交于A、B两点,过A、B分别作y轴的垂线,垂足为M、N,直线AN与直线交于点E,证明:B、M、E三点共线.21.设函数,其中.(1)若函数在处取得极小值,求a的值;(2)若在上恒成立,求a的取值范围.(二)选考题,共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为(1)求曲线C与坐标轴所围成图形的面积;(2)已知点,在曲线C上,求△OAB面积的最大值.23.已知函数.(1)若,解不等式;(2)求证:.5月数学文科答案1.【详解】因,则故选:A2.【详解】由,即,解得,所以,又,所以;故选:A3.【详解】由于,所以,由于与的夹角为,所以,在上的投影为.故选:C4.【详解】因为,所以,又因为,所以公差,\n所以,故选:.5.【详解】因为,,即,所以,则.故选:C.6.【详解】记甲、乙两处的海拔高度分别为,则由题可知:,则m故选:B7.【详解】抛物线的焦点,准线为过点作准线于点,故△PAF的周长为,,可知当三点共线时周长最小,为故选:C8.【详解】棱长为1的正方形的面积为,正六边形的面积为,又正方形有4个顶点,正六边形有6个顶点,该多面体共有24个顶点,所以最多有6个正方形,最少有4个正六边形,1个正六边形与3个正方形相连,所以该多面体有6个正方形,正六边形有个,所以该多面体的表面积为,故选:C.9.【详解】因为,所以,所以,所以或.又A为锐角,所以.因为,所以,所以,又,所以,所以为锐角,所以,又,所以,所以△ABC的面积,故选:D.\n10.【详解】由椭圆方程可知,由四边形OMAN是正方形可知,又点M在椭圆C上,则有,解得,又椭圆C的右焦点为,则,结合椭圆中,解得,,则椭圆C的方程为.故选:A11.【详解】如图所示,连接AM,BM,设,分别为上、下底面圆的圆心,连接AO,BO,分别过A,B作底面圆的垂线,垂足分别为H,.因为AB⊥CM,结合圆柱的性质可知CM⊥平面ABNH,且,而,故.在中,.在等腰△ABC中,由为AB的中点可知,所以.设点M到平面ABC的距离为d,则有,解得,即点M到平面ABC的距离为.故选:D.12.【详解】因为函数的图象关于点对称,所以函数是奇函数,因为,所以.令,则在R上单调递增.又,,所以,.因为,所以,即,所以,所以.故选:C.\n13.【详解】∵双曲线的焦点在x轴上∴,即.∵双曲线的两条渐近线互相垂直∴,即,解得(负值舍去).故答案为:1.14.【详解】,,又,,,,.15.【详解】由题意知本题是一个几何概型,设甲和乙到达的分别为6时分、6时分,则,,则试验包含的所有区域是,,他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为或或,则他们能搭乘同一班公交车的概率.故答案为:16.【详解】对①:当H为DE的中点时,取中点为,连接,因为分别为的中点,故可得//,,根据已知条件可知://,故//,故四边形为平行四边形,则//,又平面平面,故//面,故①正确;对②:因为平面平面,故,又四边形为矩形,\n故,则两两垂直,以为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示:则,设,,若GH⊥AE,则,即,解得,不满足题意,故②错误;对③:,因为均为定点,故为定值,又//平面平面,故//面,又点在上运动,故点到平面的距离是定值,故三棱锥的体积为定值,则③正确;对④:由题可得平面,又面为正方形,∴,∴AB⊥平面BCF,则AB,BC,CF两两垂直,∴AF为三棱锥的外接球的直径,又,∴三棱锥的外接球表面积为,故④正确.故答案为:①③④.17.【详解】(1)选①②,由可知数列是以公差的等差数列,又得,故选②③,由可知数列是以公差的等差数列,由可知,选①③,无法确定数列.(2),其中,当,时,当,时,数列是从第三项开始,以公差的等差数列.18.【详解】(1)由题可知,采用分层抽样共抽取105人,,所以甲校抽取人,乙校抽取人,\n故,解得,,解得;(2)由频数分布表可得列联表为甲校乙校总计优秀201030非优秀304575总计5055105所以故有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。19.【详解】(1)因为平面ABC,平面ABC,所以.又因为△ABC是正三角形,D是AB的中点,所以CD⊥AB.又,所以CD⊥平面.因为点P,N分别为,的中点,所以,所以PN⊥平面.又平面EMN,故平面EMN⊥平面.(2)在中,由,AD=1,可知.所以,.由可知,在中,由余弦定理可得,则.又因为PN⊥平面,又平面,所以PN⊥EN.在和△MPC中,\n因为,所以,则PE=PM,即P是EM的中点.所以在△EMN中,EN边上的高为,故△EMN的面积为.20.【详解】(1)设(),由题意知,∴.∵点,且,解得,∴,,因此C的方程为.(2)由题意可知,直线l的方程为.由得,设,,则,.∵轴,∴,∴直线,令,得.∵轴,∴.∴,∴B,M,E三点共线.21.【详解】(1)由题意得函数的定义域为,求导可得.因为函数在处取得极小值,所以,即,解得,当a=1时,,当时,,单调递减;\n当时,,单调递增,所以函数在处取得极小值,满足要求,故.(2)因为在上恒成立,即在上恒成立,等价于在上恒成立,令,.求导可得,因为,所以,解得.当时,在上恒成立,所以在上恒成立,所以在上单调递增,则.故a的取值范围为.22.【详解】(1)当时,所以,则,即,因为,,所以,又,所以;当时,所以,则,即,因为,所以,所以,,所以;所以曲线的图形如下所示:所以曲线与坐标轴所围成图形的面积为;(2)因为点,在曲线C上,所以,所以的面积所以当,即时;\n23.【详解】(1)由题意,时,即,则,即,解得或,故不等式解集为或;(2)证明:,当时,,当时,,由于,故,当时,,综合以上,.
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高中 - 数学
发布时间:2022-05-31 18:00:03
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