陕西省西安中学2022届高三数学文科五月全仿真模拟考试（一）（PDF版含答案）

陕西省西安中学高2022届高三第一次仿真考试数学试题（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若z(12i)|34i|，则z的共轭复数z（）A．12iB．12iC．12iD．12i22．设全集UR，集合Axx2x30，Bxx10，则ðU(AUB)等于（）A．xx3B．xx3C．xx1或x3D．xx3或x123．已知命题p:x0R，sinx01；命题q:当t0,2时，函数gxx3tx1在0,4上存在最小值.则下列命题中的真命题是（）A．pqB．pqC．pqD．pq4．已知函数f(x)sin3xcos3x，xR，下列四个结论不正确的是（）A．函数fx的值域是2,2；B．函数fx的图像关于直线x对称；4C．函数fx为奇函数；4D．若对任意xR，都有fxf(x)fx成立，则xx的最小值为．12123x2y05．已知实数x，y满足2x3y，则zxy的最小值为（）y41A．1B．C．1D．4216．若cosx，则sin2x（）646高2022届仿真一数学（文科）试题第1页共10页\n157157A．B．C．D．88887．斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列an满足a1a21，an2anan1，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（）5117A．B．C．D．1243128．下列结论正确的是（）1A．当x0且x1时，lgx2lgx4B．x0时，6x的最小值是10x2x55C．的最小值是x2424D．当x0,π时，sinx的最小值为4sinx4对于D，当x(0,π)时，sinx0,1，令tsinx0,1，则yt在0,1上单调递减，tπ4所以当t1，即x时，y15，所以选项D不正确；min21故选：C.9．已知非常数函数f(x)满足f(x)f(x)1(xR)，则下列函数中，不是奇函数的为（）f(x)1f(x)111A．B．C．f(x)D．f(x)f(x)1f(x)1f(x)f(x)10．三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AB1，AC2，BCAA15，则异面直线B1C与A1C1所成角的正弦值为（）261530A．B．C．D．2356高2022届仿真一数学（文科）试题第2页共10页\n22xy2211．已知点M在椭圆1上运动，点N在圆x(y1)1上运动，则|MN|的189最大值为（）A．119B．125C．5D．6312．已知函数f(x)lnaxbxc(a,b,cR)的定义域为(3,)，其图像大致如图所示，则（）A．bacB．bcaC．abcD．acb二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．rrrrrr13．已知向量a(1,2)，b(2,1)，c(3,).若c//(3ab)，则________.222xy14．已知抛物线y42x的焦点到双曲线1a0,b0的一条渐近线的22ab5距离为，则该双曲线的离心率为___________.515．在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b,a,c成等差数列，2B1ca2acosb，且a2，则VABC的面积为___________.2216．某零件的结构是在一个圆锥中挖去了一个正方体，且正方体的一个面与圆锥底面重合，该面所对的面的四个顶点在圆锥侧面内．在图①②③④⑤⑥⑦⑧中选两个分别作为该零件的主视图和俯视图，则所选主视图和俯视图的编号依次可能为________（写出符合要求的一组答案即可）．高2022届仿真一数学（文科）试题第3页共10页\n三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)中国射击队在东京奥运会上共夺得4金1银6铜11枚奖牌的成绩，创下了中国射击队奥运参赛史上奖牌数最多的新纪录．现从某射击训练基地随机抽取了20名学员（男女各10人）的射击环数，数据如下表所示：男生897976101086女生10986879788若射击环数大于或等于9环，则认为成绩优异；否则，认为成绩不优异．(Ⅰ)分别计算男生、女生射击环数的平均数和方差；(Ⅱ)完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优异”与性别有关．男生女生总计成绩优异成绩不优异总计22nadbc参考公式和数据：K，nabcdabcdacbd2PKk0.100.050.010高2022届仿真一数学（文科）试题第4页共10页\nk2.7063.8416.63518．(本小题满分12分)如图，长方体ACBDA1C1B1D1中，BC1，BDBB12，M是线段AB上的动点．25(Ⅰ)当CM时，证明：平面B1CM平面ABB1A1；5(Ⅱ)求点M到平面A1B1C的距离．高2022届仿真一数学（文科）试题第5页共10页\n19．(本小题满分12分)2已知数列an的前n项和是Sn，且Snn，数列bn的前n项和是Tn，且3bn2Tn3.(Ⅰ)求数列an，bn的通项公式；an(Ⅱ)设cn，证明：c1c2c3cn1.bn高2022届仿真一数学（文科）试题第6页共10页\n20.(本小题满分12分)22xy2已知椭圆1的右焦点是抛物线:y2px的焦点，直线l与相交于不同的109两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)若直线l经过点P(2，0)，求OAB的面积的最小值(O为坐标原点)；(Ⅲ)已知点C(1，2)，直线l经过点Q(5，2)，D为线段AB的中点，求证：AB2CD．高2022届仿真一数学（文科）试题第7页共10页\n21．(本小题满分12分)x已知函数f(x)aelnxe.(Ⅰ)当a1时，讨论函数g(x)f(x)(e1)x的单调性；(Ⅱ)当a1时，证明：当x0时，f(x)2e.高2022届仿真一数学（文科）试题第8页共10页\n(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为8cos6sin，圆C与极轴交于点A，点B为圆C上异于坐标原点的动点．(Ⅰ)写出点A的极坐标及圆C的参数方程；uuuruuur(Ⅱ)求OCAB的最大值．高2022届仿真一数学（文科）试题第9页共10页\n23.[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知函数fxx32xa.(Ⅰ)当a3时，求不等式fx2的解集；(Ⅱ)若fxx10的解集为A，且2,1A，求a的取值范围.高2022届仿真一数学（文科）试题第10页共10页\n陕西省西安中学高2022届高三第一次仿真考试数学试题（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若z(12i)|34i|，则z的共轭复数z（）A．12iB．12iC．12iD．12i【正确答案】D34i5(12i)详解：由题意z(12)|34i|，所以z12i，则z12i.12i(12i)(12i)故选D.22．设全集UR，集合Axx2x30，Bxx10，则ðU(AUB)等于（）A．xx3B．xx3C．xx1或x3D．xx3或x1【正确答案】B由题设，A{x|3x1}，B{x|x1}，UR，∴AUB{x|x3}，故ðAUB{x|x3}.U故选：B23．已知命题p:x0R，sinx01；命题q:当t0,2时，函数gxx3tx1在0,4上存在最小值.则下列命题中的真命题是（）A．pqB．pqC．pqD．pq【正确答案】A因为当x2kkZ时,sinx1，所以命题p为真命题；222392gxx3tx1xt1t，24高2022届仿真一数学（文科）试题第1页共16页\n33t因为t0,2，所以t0,3，则0,4，223所以当xt时，gx取得最小值，故命题q为真命题.2所以pq为真命题，pq，pq，pq均为假命题.故选：A.4．已知函数f(x)sin3xcos3x，xR，下列四个结论不正确的是（）A．函数fx的值域是2,2；B．函数fx的图像关于直线x对称；4C．函数fx为奇函数；4D．若对任意xR，都有fxf(x)fx成立，则xx的最小值为．12123【正确答案】Cf(x)sin3xcos3x2sin3x，4①，由函数f(x)2sin3x，则2fx2，4故函数fx的值域是2,2，故A正确；3②，当x时，f2sin2，4444所以函数fx的图像关于直线x对称，故B正确；4③，fxsin3xcos3x4443333sin3xcoscos3xsincos3xcossin3xsin2cos3x，所以函数为偶函数，故C错误；4444④，由题意可得xx最小相差半个周期，122因为T，所以x1x2的最小值为，故D正确.33故选：C高2022届仿真一数学（文科）试题第2页共16页\nx2y05．已知实数x，y满足2x3y，则zxy的最小值为（）y41A．1B．C．1D．42【正确答案】B7作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，其中A,4，B8,4，C2,1，2作直线l：yx，平移直线l，当其经过点A时，直线zxy的纵截距最大，z有最小值，71即z4，min22故选：B.16．若cosx，则sin2x（）646157157A．B．C．D．8888【正确答案】D1解：因为cosx，64所以sin2xsin2xcos2x662622172cosx121．648高2022届仿真一数学（文科）试题第3页共16页\n故选：D．7．斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列an满足a1a21，an2anan1，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（）5117A．B．C．D．124312【正确答案】A由斐波那契数列的递推关系可知，前12项分别为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，所以基本事件数共5位12，其中满足能被2整除的有2,3,5,13,89，共5种，故是质数的概率为P.12故选：A8．下列结论正确的是（）1A．当x0且x1时，lgx2lgx4B．x0时，6x的最小值是10x2x55C．的最小值是x2424D．当x0,π时，sinx的最小值为4sinx【正确答案】C1对于A：当x0,1时，lgx0，此时lgx2，lgx1当且仅当x时，等号成立，所以选项A不正确；104444对于B中，当x0时，x2x4，所以xx4，xxxx444可得6x642，当且仅当x时，即x2时等号成立，所以6x的最大值是2，xxx无最小值，所以选项B不正确；2x5212对于C，由x4，令tx42,，22x4x4高2022届仿真一数学（文科）试题第4页共16页\n115则yt在2,上单调递增，所以当t2，即x0时，y2最小，t222x55所以的最小值是，所以选项C正确；x2424对于D，当x(0,π)时，sinx0,1，令tsinx0,1，则yt在0,1上单调递减，tπ4所以当t1，即x时，y15，所以选项D不正确；min21故选：C.9．已知非常数函数f(x)满足f(x)f(x)1(xR)，则下列函数中，不是奇函数的为（）f(x)1f(x)111A．B．C．f(x)D．f(x)f(x)1f(x)1f(x)f(x)【正确答案】D因为fxfx1xR，所以11f(x)1f(x)1f(x)1f(x)g(x)，则g(x)g(x)，g(x)是奇函数，f(x)1f(x)111f(x)1f(x)fx1同理h(x)也是奇函数，fx11p(x)f(x)f(x)f(x)，则p(x)f(x)f(x)p(x)，是奇函数，f(x)1q(x)f(x)f(x)f(x)，q(x)f(x)f(x)q(x)为偶函数，故选：D．f(x)10．三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AB1，AC2，BCAA15，则异面直线B1C与A1C1所成角的正弦值为（）261530A．B．C．D．2356【正确答案】C三棱柱ABCABC中，AB1，AC2，BCAA5，满足AB2AC2BC2，1111高2022届仿真一数学（文科）试题第5页共16页\nCAB，得ACAB.2QAA平面ABC，ACAA，且AAIABA，AC平面ABBA，11111QAB1平面ABB1A1，ACAB1，CAB1.2QAC//AC，ACB为异面直线BC与AC所成角或其补角.11111122AB15615RtCAB中，1在1sinACB1.CB22105155故选：C22xy2211．已知点M在椭圆1上运动，点N在圆x(y1)1上运动，则|MN|的189最大值为（）A．119B．125C．5D．6【正确答案】B22解：设圆x(y1)1的圆心为C(0,1)，则MNMCrMC1，22M(x,y)x0y022设00则1x0182y0189222222所以MCx(y1)xy2y1182yy2y10000000022y1时取得最大值，y02y019(y01)2025，当且仅当0所以MNMC1251.或者设M(32cos,3sin)，则22222MN(32cos)(3sin1)18cos9sin6sin122218(1sin)9sin6sin19sin6sin19129(sin)203高2022届仿真一数学（文科）试题第6页共16页\n1当sin时，MC25，所有MNMC1251max3故选：B.312．已知函数f(x)lnaxbxc(a,b,cR)的定义域为(3,)，其图像大致如图所示，则（）A．bacB．bcaC．abcD．acb【正确答案】A32设g(x)axbxc，可得g(x)3axb，由图像可知，函数fx先递增，再递减，最后递增，且当x1时，gx取得极小值，23a所以函数gx既有极大值，也有极小值，所以g(x)3axb0有两个根，即x，b3a所以1，可得a0,b0且3ab，b又由f0lnc0，可得c1，由f1ln(abc)0ln1，可得abc1，所以c1ab1a3a12aa，所以cab.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．rrrrrr13．已知向量a(1,2)，b(2,1)，c(3,).若c//(3ab)，则________.【正确答案】15rrrr由a(1,2)，b(2,1)，所以3ab1,5，高2022届仿真一数学（文科）试题第7页共16页\nrrrr又因为c//3ab，c(3,)所以350，解得15.故答案为：15222xy14．已知抛物线y42x的焦点到双曲线1a0,b0的一条渐近线的22ab5距离为，则该双曲线的离心率为___________.510【正确答案】32b05抛物线的焦点为2,0，双曲线的渐近线为bxay0，故，a2b25c1010故c10b，所以e，填.a3315．在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b,a,c成等差数列，2B1ca2acosb，且a2，则VABC的面积为___________.22【正确答案】32B11cosB1在VABC中，因ca2acosb，则ca2ab，整理得2c2acosBb，2222222222acbacb由余弦定理222cosB得：2c2ab，整理可得bcabc，2ac2ac222bcabc1于是得cosA，而A(0,)，则A，2bc2bc2322又a2，b,a,c成等差数列，即bc2a4，则有4abc3bc163bc，113解得bc4，SbcsinA43，VABC222所以VABC的面积为3.故答案为：316．某零件的结构是在一个圆锥中挖去了一个正方体，且正方体的一个面与圆锥底面高2022届仿真一数学（文科）试题第8页共16页\n重合，该面所对的面的四个顶点在圆锥侧面内．在图①②③④⑤⑥⑦⑧中选两个分别作为该零件的主视图和俯视图，则所选主视图和俯视图的编号依次可能为________（写出符合要求的一组答案即可）．【正确答案】⑤⑦（或①⑧）若俯视图为图⑦，则主视图为图⑤，若俯视图为图⑧，则主视图为图①，故答案为：⑤⑦（或①⑧）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)中国射击队在东京奥运会上共夺得4金1银6铜11枚奖牌的成绩，创下了中国射击队奥运参赛史上奖牌数最多的新纪录．现从某射击训练基地随机抽取了20名学员（男女各10人）的射击环数，数据如下表所示：男生897976101086女生10986879788若射击环数大于或等于9环，则认为成绩优异；否则，认为成绩不优异．高2022届仿真一数学（文科）试题第9页共16页\n(Ⅰ)分别计算男生、女生射击环数的平均数和方差；(Ⅱ)完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优异”与性别有关．男生女生总计成绩优异成绩不优异总计22nadbc参考公式和数据：K，nabcdabcdacbd2PKk0.100.050.010k2.7063.8416.635【解】（1）根据题中所给数据，1可得男生射击环数的平均数为x8979761010868；1101女生射击环数的平均数为x109868797888．………………3分21021222男生射击环数的方差为s8898682；110212226女生射击环数的方差为s1089888．………………6分21056综上所述：男生射击环数的平均数为8，方差为2；女生射击环数的平均数为8，方差为．…………7分5（2）由已知数据可得22列联表如下：男生女生总计成绩优异437成绩不优异6713总计101020………………………………………………9分高2022届仿真一数学（文科）试题第10页共16页\n22204736K0.21982.706，………………………………11分7131010没有90%的把握认为“成绩优异”与性别有关．……………………………………………12分18．(本小题满分12分)如图，长方体ACBDA1C1B1D1中，BC1，BDBB12，M是线段AB上的动点．25(Ⅰ)当CM时，证明：平面B1CM平面ABB1A1；5(Ⅱ)求点M到平面A1B1C的距离．【解析】（1）证明：设RtVBCA的斜边AB上的高为h，2525由BC1，ACBD2，易得h，而CM，所以CMAB．55在长方体ACBDA1C1B1D1中，AA1平面ABC，因为CM平面ABC，所以CMAA1，而ABAAA，所以CM平面ABBA，111因为CM平面B1CM，所以平面B1CM平面ABB1A1．……………………………………………6分（2）由BC1，BDBB12，可得B1CB1A15，CA122．易得△B1CA1中边CA1上的高为3，△B1MA1中边B1A1上的高为2，设点M到平面A1B1C的距离为d，高2022届仿真一数学（文科）试题第11页共16页\n111125由VMA1B1CVCB1MA1，得223d52，323256解得d．……………………………………………12分319．(本小题满分12分)2已知数列an的前n项和是Sn，且Snn，数列bn的前n项和是Tn，且3bn2Tn3.(Ⅰ)求数列an，bn的通项公式；an(Ⅱ)设cn，证明：c1c2c3cn1.bn22【解析】:（1）由Sn，得S(n1)(n2)，nn1aSS2n1，nnn1当n1时，a1S11满足上式，所以an2n1；由3bn2Tn3可得3bn12Tn13，两式相减可得：3bn13bn2bn1，所以bn13bn，在3bn2Tn3中令n1，可得3b12b13，所以b13，n1n所以bn是以3为首项，公比为3的等比数列，bn333，n故数列an的通项公式为an2n1，数列bn的通项公式为bn3；…………………………………6分n2n11（2）由（1）知cnn2n1，33设Mcccc，n123n23n1n11111Mn135L2n32n1，33333234nn1111111Mn135L2n32n1333333高2022届仿真一数学（文科）试题第12页共16页\n234nn12111111两式相减可得M2L2n1n33333332n1111n1133122n222n131333n113n1n1所以M1，即cccc11；…………………………………12分nn123nn3320.(本小题满分12分)22xy2已知椭圆1的右焦点是抛物线:y2px的焦点，直线l与相交于不同的109两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)若直线l经过点P(2，0)，求OAB的面积的最小值(O为坐标原点)；(Ⅲ)已知点C(1，2)，直线l经过点Q(5，2)，D为线段AB的中点，求证：AB2CD．22xy2【解析】（1）∵椭圆1的右焦点为(1,0)，∴p2，∴的方程为y4x．…………3分109（2）（解法1）显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为xmy2，2y4x2由，得y4my80，则y1y24m，y1y28xmy2122S|OP||yy|(yy)4yy16m3242VAOB1212122∴当m0，即直线l垂直x轴时，VOAB的面积取到最小值，最小值为42．……………………7分2y4x（解法2）若直线l的斜率不存在，由，得A(2，22)，B(2，22)，x21VOAB的面积S|OP||y1y2|42，2若直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为yk(x2)，2y4x24yy12由，得ky4y8k0，k0，且k，y1y28yk(x2)高2022届仿真一数学（文科）试题第13页共16页\n1216S|OP||yy|(yy)4yy3242，VAOB12121222k即VOAB的面积的最小值为42．……………………7分（3）（解法1）∵直线l的斜率不可能为零，设直线l方程为xm(y2)5，xm(y2)52由2得y4my8m200，∴y1y24m，y1y28m20y4x22xx4m4m10，xx(2m5)1212uuuruuur∴ACBC=(x1,y2)(x1,y2)=xx(xx)yy2(yy)5112212121212224m20m254m4m108m208m50，即ACBC，在RtVABC中，D为斜边AB的中点，所以AB2CD．……………………12分222（解法2）（前同解法1）AB=1my1y21my1y24y1y2224321m16m32m804m2m6m2m52线段AB的中点D的坐标为2m2m5,2m，222432CD=(2m2m4)(2m2)2m2m6m2m5所以AB2CD．……………………12分21．(本小题满分12分)x已知函数f(x)aelnxe.(Ⅰ)当a1时，讨论函数g(x)f(x)(e1)x的单调性；(Ⅱ)当a1时，证明：当x0时，f(x)2e.xx【解析】（1）当a1时，f(x)elnxe，g(x)elnxe(e1)x，x1g(x)ee1，令h(x)g(x)，xx1h(x)e0，故g(x)在(0,)上单调递增，2x且g(1)0，故x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递减；高2022届仿真一数学（文科）试题第14页共16页\n当x(1,)时，g(x)0，g(x)单调递增.……………………5分xxx（2）当a1，x0时，aee，要证f(x)2e，只需证elnxe2e，xxx1即证elnx2，令p(x)elnx2，则p(x)e.x1x1xe00.由（1）知p(x)单调递增，且在,1存在唯一零点0，即3x0当x0,x0时，p(x)单调递减，当x0,时，p(x)单调递增.xx11p(x)pxe0lnx2e0ln2x20所以00x0，e0x0故当a1，x0时，f(x)2e.……………………12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为8cos6sin，圆C与极轴交于点A，点B为圆C上异于坐标原点的动点．(Ⅰ)写出点A的极坐标及圆C的参数方程；uuuruuur(Ⅱ)求OCAB的最大值．2【解析】（1）圆C:8cos6sin22222∴xy8x6y∴(x4)(y3)52令y0,(x4)16∴x8或0（舍）,∴A(8,0)x45cos圆C的参数方程为（为参数）……………………5分y35sinuuur（2）∵O(0,0),C(4,3)∴OC(4,3)uuur∵A(8,0),B(45cos,35sin)∴AB(5cos4,5sin3)uuuruuur∴OCAB20cos1615sin95(3sin4cos)7高2022届仿真一数学（文科）试题第15页共16页\n343425sincos725sin()7（其中cos,sin）5555uuuruuur∴OCAB的最大值为18.……………………10分23.[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知函数fxx32xa.(Ⅰ)当a3时，求不等式fx2的解集；(Ⅱ)若fxx10的解集为A，且2,1A，求a的取值范围.x9,x3【解析】：（1）a3时，fxx32x33x3,3x3,x9,x3x33x3x3fx2x32x32,或,或，x923x32x9255即7x.所以不等式fx2的解集为{x|7x}.……………………5分33（2）2,1Ax32xax10在x2,1恒成立，3x2xax10在x2,1恒成立，xa2在x2,1恒成立，a2x或a2x在x2,1恒成立，a4或a1.即a的取值范围为,14,．…………………………10分高2022届仿真一数学（文科）试题第16页共16页