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浙江省金华市义乌市2022届高三数学5月适应性考试试题(Word版带解析)
浙江省金华市义乌市2022届高三数学5月适应性考试试题(Word版带解析)
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2022届义乌市高三下学期5月适应性考试数学试题第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求集合的补集,再求其与集合的交集【详解】因为,所以所以故选:A2.已知实数a,b,,,则“”是“”()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义,结合不等式的性质,即可得答案.【详解】若,则,又,所以,所以,充分性成立;若,则,左右同时平方可得,即,必要性成立,所以“”是“”充要条件.故选:C\n3.已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是()A.若则B.若则C.若则D.若则【答案】D【解析】【详解】A项,可能相交或异面,当时,存在,,故A项错误;B项,可能相交或垂直,当 时,存在,,故B项错误;C项,可能相交或垂直,当 时,存在,,故C项错误;D项,垂直于同一平面的两条直线相互平行,故D项正确,故选D.本题主要考查的是对线,面关系的理解以及对空间的想象能力.考点:直线与平面、平面与平面平行的判定与性质;直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.4.若实数x,y满足约束条件,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式组画出可行域,再将目标函数变形为,根据图像可分析出最值和范围.\n【详解】根据题意可得到可行域为:直线右上侧,左侧(如图中阴影部分),直线的右上侧,这三部分的交集所构成的区域,变形为可知当直线过点时,截距有最小值,无最大值。故范围为.故选:C.5.先将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的,再把所得函数图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,则下列说法错误的是A.函数是奇函数B.函数的最小正周期是C.函数图像关于直线对称D.函数在上单调递增【答案】D【解析】\n【分析】通过函数变换,得到函数的解析式,利用解析式判断各项正误.【详解】原函数为,横坐标缩短为原来的,得,左平移个单位长度,得.故.A项,函数是奇函数,正确;B项,最小正周期为,正确;C项,函数的对称轴为:,故函数图像关于直线对称,正确;D项,的单调递减区间为,函数在上先增后减,故D项错误.故选:D.6.若函数,则下列图象不可能是()A.B.\nC.D.【答案】B【解析】【分析】分别在,和的情况下,借助余弦函数图象、的正负可确定图象.【详解】当时,,与选项C相符;当时,;,与选项D相符;当时,;,与A相符;图象不可能是B中图象.故选:B.7.若函数,设,,,则下列选项正确的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先判定函数的奇偶性及单调性,比较\n三者之间的大小关系,带入函数求解.【详解】由题可知,故,∴函数为偶函数;易知,当时,在为单调递增函数;又,∴,同理,;又,,故,故.故选:A.8.已知集合,,从集合A中取出1个元素,从集合B中取出3个元素,可以组成无重复数字且比5000大的自然数共有()A.180B.300C.468D.564【答案】B【解析】【分析】分两种情况进行求解,从集合A中取出元素4,则4不能作千位上的数字;及不从集合A中取出元素4.【详解】若从集合A中取出元素4,则4不能作千位上的数字,有个满足题意的自然数;若不从集合A中取出元素4,则有个满足题意的自然数;所以,满足题意的自然数共有个.故选:B.\n9.已知双曲线C:,为坐标原点,为双曲线的左焦点,若的右支上存在一点,使得外接圆的半径为,且四边形为菱形,则双曲线的离心率是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设双曲线右焦点为,连接,易证为直角三角形,解出与代离心率的计算公式即可求解【详解】如图所示,设双曲线的右焦点为,连接因为外接圆的半径为,则又四边形为菱形,所以则为正三角形,所以,因为,所以,又所以为正三角形,所以,所以在中,,,所以所以故选:B\n10.已知数列,满足,,,则下列选项错误的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据递推关系式,可知,可知,即可判断A是否正确;根据递推关系可知,即可知,由此可知,再根据不等式放缩即可判断B是否正确;由递推公式可知,两边平方化简整理,即可判断C是否正确;根据递推关系可知两边平方化简整理,即可判断D是否正确;【详解】因为,所以,所以,故A正确;由题意得:,当且仅当时,取等号;\n所以,即所以,又,,所以,,故B正确;又所以所以所以,故C正确;所以即所以,故D错误.故选:D.第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题有7个小题,单空题每题4分,多空题每题6分,共36分)11.已知i是虚数单位,复数,则___________.【答案】【解析】【分析】根据复数的乘除运算,即可求得复数z.\n【详解】由题意得,,故答案为:12.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中正视图是等边三角形,则此几何体的体积是___________.【答案】【解析】【分析】根据三视图还原几何体,可得其各个边长,代入体积公式,即可得答案.【详解】根据三视图还原可得该几何体的立体图,如下图所示:由题意得:,,平面CBD,所以,所以三棱锥的体积.故答案为:13.已知直线:,:.若,则___________,此时\n与之间的距离为___________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据题意,若,则,求出的值,再进行检验,即可得到结果;将两平行直线方程前面的系数化成一致,根据平行线将的距离公式,即可求出结果.【详解】直线:,:.若,所以,解得,当时,:,:,此时与重合,故舍去;当时,:,:,此时与平行;故;若,即:,即:,:,所以与之间的距离为.故答案为:,.14.已知,则_____,___________.【答案】①.②.【解析】【分析】(1)用乘以展开式的常数项再加上用乘以展开式的一次项,合并同类项即可求解(2)用赋值法即可求解【详解】展开式的第项为令,则,令,则,\n所以展开式的一次项为:所以令,则令,则所以故答案为:;15.某高中数学社团招募成员,依次进行笔试,面试两轮选拔,每轮结果都分“合格”和“不合格”.当参选同学在第一轮笔试中获得“合格”时,才能进入下一轮面试选拔,两轮选拔都合格的同学入选到数学社团.现有甲同学参加数学社团选拔,已知甲同学在笔试,面试选拔中获得“合格”和“不合格”的概率分别为,,且在笔试,面试两轮选拔中取得的成绩均相互独立,互不影响且概率相同,则甲同学能进入到数学社团的概率是___________,设甲同学在本次数学社团选拔中恰好通过X轮选拔,则数学期望___________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式可得空1;由相互独立事件的乘法公式分别求出甲同学通过0、1、2轮选拔的概率,然后由期望公式可得.【详解】记甲同学通过笔试为事件A,通过面试为事件B,因为,所以则甲同学能进入到数学社团的概率;甲同学无法通过笔试的概率,通过笔试但没有通过面试的概率,得分布列:X012\nP所以.故答案为:,.16.设.函数,若,则_________,若只有一个零点,则a取值范围是___________.【答案】①.或##或②.##【解析】【分析】先求得的值,代入所求,可得,即可求得a值;当时,有一个零点,则只需时,无零点,即和的图象没有交点,根据对数函数,二次函数的性质,分析计算,即可得答案.【详解】由题意得所以,解得或.当时,有一个零点,所以只需时,无零点,即方程无实根,即和的图象没有交点,易得,令,得,,则,即,解得,又,时,,综上:\n故答案为:或;17.已知平面向量,,满足,当取到最小值吋,对任意实数,的最小值是___________.【答案】##【解析】【分析】构造单位圆,设出向量,,,由题设得到CA、CB是圆O的两条切线,,从而由当取到最小值时,求得,结合表示的是以O为起点,终点在AB上的向量,可求得答案.【详解】如图,设为单位圆O的两条半径,记,,,设,由题意,可知CA、CB是圆O的两条切线,则,故,当且仅当,即时取“=”,此时,因为表示的是以O为起点,终点在AB上的向量,\n故当该向量垂直于向量时,其模最小,记,则,则,故答案为:三、解答题(本大题有5个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.如图,中,,,,点D是以BC为直径的半圆弧上的动点,满足,.过点D作交AC于点E,作交AB于点F.(1)试用α表示BD的长度;(2)求的取值范围.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)根据题意,可得,又点D是以BC为直径的半圆弧上的动点,则,根据三角函数的定义,即可得答案.(2)根据题意可得,,根据正弦定理,可得、表达式,进而可得的表达式,根据正弦型函数的性质,结合的范围,即可得答案.\n【小问1详解】因为在中,,,,所以,连接DC,又点D是以BC为直径的半圆弧上的动点,则,又满足,,所以,.【小问2详解】中,,则,.在中,,得,,所以.所以由于,得,所以,\n所以(另解:连结CD,延长AC至G,)19.如图,在四棱锥P-ABMN中,△PNM是边长为2的正三角形,AN⊥NP,,,,,C,D分別是线段AB,PN的中点.(1)求证:平面PBM;(2)求直线CD与平面ABP所成用的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)通过添加辅助线,利用面面平行的判定定理证明面面BMP,进一步证明平面BMP;(2)利用面面垂直判定定理证明平面平面NMP,通过计算三棱锥D-ABP的体积,求解点D到面ABP的投影距离,进而求解直线CD与平面ABP所成用的正弦值.【小问1详解】证明:如图,取MN中点Q,连CQ,DQ.\n∵DQ为中位线,∴,平面BMP.同理,在梯形ABMN中,,平面BMP,∴面面BMP.又平面CDQ,所以平面BMP.【小问2详解】解:如上图,在梯形ABMN中,过B作交AN于E,在△AEB中,得,,,则,得,,∴.又由已知条件,,故平面NMP.又平面ANMB,∴平面平面NMP.设点D到面ABP的投影距离为h,则,由勾股定理,,又由,,\n得,解得.从而得.故直线CD与平面ABP所成角的正弦值为.20.已知数列前n项和为,且,又,,成等比数列.(1)求数列的通项公式:(2)求,并证明.【答案】(1)(2),证明见解析【解析】【分析】(1)利用判断出,,,…,成等差数列,求出;,,,…,成等差数列,求出,得到;(2)先求出,再对放缩后用裂项相消法求求和,即可证明.【小问1详解】由,,成等比数列,得①所以②②-①得∵∴所以,,,…,成等差数列,首项,公差,\n∴由,得所以,,,…,成等差数列,首项,公差,∴∴【小问2详解】所以∴21.如图,已知点P在直线l:上,A,B为抛物线C:上任意两点,PA,PB均与抛物线C相切,直线AB与直线l交于点Q,过抛物线C的焦点F作AB的垂线交直线l于点K.(1)若点A到F的距离比到直线l的距离小1,求抛物线C的方程;(2)在(1)的条件下,当最小时,求的值.\n【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据抛物线定义可得答案;(2)设,过P点的切线方程为,利用直线PA、直线PB方程得到,,,由A,B在直线PA、直线PB上得,,可得直线AB方程为:,得直线AB方程过定点,直线KF方程,利用坐标得,联立直线KF和抛物线方程可得,再利用弦长公式得,根据可得答案.【小问1详解】因为点A到F的距离比到直线l:的距离小1,所以等于点A到直线的距离,∴为抛物线的准线.且,∴C:.【小问2详解】抛物线C:的焦点,设,设P点抛物线C:的切线方程为:,消去x得:,∴即,,,直线PA:,直线PB:,\n则,,,,由A,B分别在直线PA:、直线PB:上,得:,,即,,则直线AB方程为:,得直线AB方程过定点,则直线KF方程为:,则,,,当且仅当时,时取等号,,得,,∴.22.设函数,记的导数为.(1)讨论的单调性;(2)若有三个不同的极值点,,,证明:.\n【答案】(1)当时,在上递增;当时,在上递增,在在上递减,在上递增.(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用导数对参数进行分类讨论,分别求出其单调性;(2)利用导数令,可知,根据单调性可知,然后根据构造函数求出其单调性即可证明.【小问1详解】解:由题意得:令当时,,,在上递增;当时,当时,,在上递增;当时,,在上递减;当时,,在上递增;综上所述:当时,在上递增;当时,在\n上递增,在在上递减,在上递增.【小问2详解】又知,有三个不同的极值点,,由(1)可知:当时,在上递增有三个解,且,由的结构特征得,即,即由(1)可知,当时,,递增;当时,,递减.令,则\n令令,,在上递减在上递减在上递减,,则在上递减【点睛】本题利用导数对参数进行分类讨论分析函数的单调性,构造函数进行多次求导分析函数的单调性和极值点的关系,本题综合性比较强,需要学生能多次求导分析,属于压轴题.
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