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2021-2022学年高一数学下学期期期中考试试卷(Word版带答案)

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河南省实验中学2021--2022学年下期期中试卷高一数学(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数(3+i)m﹣(2+i)对应的点在第三象限内,则实数m的取值范围是(  )A.mB.m<1C.m<1D.m>12.已知向量,,若向量与向量垂直,则实数λ=(  )A.B.1C.2D.33.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则B等于(  )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底边均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是(  )A.B.C.D.5.已知两条不同的直线m,n和平面α,下列结论正确的是(  )①m∥n,n⊥α,则m⊥α;②m∥α,n∥α,则m∥n;③m⊥α,n⊥α,则m∥n;④m与平面α所成角的大小等于n与平面α所成角的大小,则m∥n.A.①③B.①②C.②③D.①④6.已知i,j为互相垂直的单位向量,,,且与的夹角为钝角,则λ的取值范围为(  )A.(3,+∞)B.(3,4)∪(4,+∞)C.(﹣∞,3)D.(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,3)7.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acosC+bcosA=b,则△ABC是(  )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形8.已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,E为BC的中点,则异面直线CB1与DE所成角的\n余弦值为(  )A.B.C.D.9.锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且(acosB+bcosA)=2csinB,a=2.则边长b的取值范围是(  )A.B.C.(,2)D.10.如图所示,点在以为圆心2为半径的圆弧上运动,且,则的最小值为  A.B.C.0D.211.如图,在正方体中,,,分别为,的中点,,分别为棱,上的动点,则三棱锥的体积  A.存在最大值,最大值为B.存在最小值,最小值为C.为定值D.不确定,与,的位置有关12.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若ac=4,a•cosC+3c•cosA=0,则△ABC面积的最大值为(  )A.1B.C.2D.4二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若O为△ABC的重心(重心为三条中线交点),且,则λ=  .14.已知圆锥底面半径为1,母线长为3,某质点从圆锥底面圆周上一点A出发,绕圆锥侧面一周,再次回到A点,则该质点经过的最短路程为  .15.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2i,则|z1﹣z2|=  .16.已知体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上,PA⊥平面ABC,PA=2,∠ABC=120°,则球O的体积最小值为  .三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题10分,其余试题每题12分)17.已知复数,z2=4﹣3i,其中a是实数.\n(1)若z1=iz2,求实数a的值;(2)若是纯虚数,求a的值.18.已知,,且,的夹角为.(1)求;(2)若,求实数k的值.19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面PAB;(2)求四面体N﹣BCM的体积.20.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2C=sin2A+cos2B+sinAsinC.(1)求角B的大小;(2)若,角B的角平分线交AC于D,且BD=1,求△ABC的周长.\n21.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=2,AB=BC,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PA⊥BD;(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;(3)当PA∥平面BDE时,求直线EB与平面ABC所成的角.22.如图,设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD为BC边上的中线,已知c=1且2csinAcosB=asinA﹣bsinBbsinC,cos∠BAD.(1)求b边的长度;(2)设点E,F分别为边AB,AC上的动点,线段EF交AD于G,且△AEF的面积为△ABC面积的一半,求的最小值.河南省实验中学2021--2022高一数学期中考试答案参考答案123456789101112ACDBADDDCBCA13.114.15.216.17.证明:解:(1)∵,z2=4﹣3i,z1=iz2,∴(a+i)2=a2﹣1+2ai=3+4i,从而,解得a=2,所以实数a的值为2.……5分\n(2)依题意得:,因为是纯虚数,所以:,从而a=2或;又因为a是正实数,所以a=2.……10分18.解:解:(1)∵,,,∴,∴;……6分(2)方法一:,则存在非零实数λ,使,由共面定理得,则k=±1.……12分方法二:由已知或,当,,,∴,则k=±1,同理时,k=±1,综上,k=±1.……12分19.证明:(1)取BC中点E,连结EN,EM,∵N为PC的中点,∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB,又∵AD∥BC,∴BE∥AD,∵AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,∴BEBC=AM=2,∴四边形ABEM是平行四边形,∴EM∥AB,∴平面NEM∥平面PAB,∵MN⊂平面NEM,∴MN∥平面PAB.……6分(2)取AC中点F,连结NF,∵NF是△PAC的中位线,\n∴NF∥PA,NF2,又∵PA⊥面ABCD,∴NF⊥面ABCD,如图,延长BC至G,使得CG=AM,连结GM,∵AMCG,∴四边形AGCM是平行四边形,∴AC=MG=3,又∵ME=3,EC=CG=2,∴△MEG的高h,∴S△BCM2,∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM.……12分20.解:(1)因为cos2C=sin2A+cos2B+sinAsinC.所以1﹣sin2C=sin2A+1﹣sin2B+sinAsinC,即sin2B=sin2A+sin2C+sinAsinC,由正弦定理得,b2=a2+c2+ac,由余弦定理得,cosB,由B为三角形内角得,B=120°;……5分(2)由题意得,S△ABC=S△ABD+S△BCD,且ABDCBDB=60°,BD=1,所以acsinBc•BD•sin60°•BD•sin60°,所以(a+c),即ac=a+c,因为b=2,由余弦定理得,b2=12=a2+c2﹣2accos120°=a2+c2+ac,因为(a+c)2=a2+c2+2ac=12+ac=(ac)2,所以ac=a+c=4或ac=﹣3(舍),故△ABC的周长为.……12分21.解:(1)证明:因为PA⊥AB,PA⊥BC,而AB∩BC=B,可得PA⊥平面ABC,又BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD;……3分(2)证明:由BD⊥PA,又△ABC为等腰直角三角形,可得BD⊥AC,而PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,而BD⊂平面PBD,可得平面BDE⊥平面PAC;……7分(3)由PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面DEB=DE,所以PA∥DE,则DEPA,由于PA⊥平面ABC,可得DE⊥平面ABC,\n所以∠EBD为直线EB与平面ABC所成角.因为BDAC=1,所以tan∠EBD,所以∠EBD=60°.即直线EB与平面ABC所成角为60°.……12分22.解:(1)由条件,可得:,化简可得:4c=b,而c=1,所以:b=4.……4分(2)设,因为△AEF的面积为△ABC面积的一半,所以xy=2,设,则,又E,G,F共线,所以设,则,所以:,解得:,所以:,又,所以:,又xy=2,所以化简可得:,又y≤4,所以,所以,当x=1时等号成立.……12分

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-05-27 09:00:06 页数:7
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文章作者:随遇而安

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