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江苏省南京市2022届高三数学下学期第三次模拟考试(5月)(Word版附答案)

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2022届高三年级模拟试卷数  学(满分:150分 考试时间:120分钟)2022.5一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知R是实数集,集合A={x∈Z||x|≤1},B={x|2x-1≥0},则A∩(∁RB)=(  )A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.∅2.已知i为虚数单位,复数z满足z(1-i)=4-3i,则|z|=(  )A. B.C. D.3.为庆祝中国共青团成立100周年,某校计划举行庆祝活动,共有4个节目,要求A节目不排在第一个,则节目安排的方法数为(  )A.9 B.18 C.24 D.274.函数f(x)=(x-)cosx的部分图象大致是(  )5.我们知道,任何一个正整数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z),此时lgN=n+lga(0≤lga<1).当n≥0时,N是一个n+1位数.已知lg5≈0.69897,则5100是(  )A.71位数 B.70位数 C.69位数 D.68位数6.在(1+x)4(1+2y)a(a∈N)的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n).若f(0,1)+f(1,0)=8,则a的值为(  )A.0 B.1 C.2 D.37.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的图象与y轴的交点为M(0,1)与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N(3,0),y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B,C.若△OBC的面积为3(其中O为坐标原点),则函数f(x)的最小正周期为(  )A.5 B.6 C.7 D.88.已知函数f(x)=若∀x≥1,f(x+2m)+mf(x)>0,则实数m的取值范围是(  )A.(-1,+∞) B.(-,+∞) C.(0,+∞) D.(-,1)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设P=a+,a∈R,则下列说法正确的是(  )A.P≥2B.“a>1”,是“P≥2”的充分不必要条件C.“P>3”是“a>2”的必要不充分条件D.∃a∈(3,+∞),使得P<310.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-2ax-6y+a2=0(a∈R),则下列说法正确的是(  )A.若a≠0,则点O在圆C外\nB.圆C与x轴相切C.若圆C截y轴所得弦长为4,则a=1D.点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a211.连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次,每次结果要么正面向上,要么反面向上,且两种结果等可能.记事件A表示“3次结果中有正面向上,也有反面向上”,事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”,事件C表示“3次结果中没有正面向上”,则(  )A.事件B与事件C互斥 B.P(A)=C.事件A与事件B独立 D.记C的对立事件为,则P(B|)=12.在一个圆锥中,D为圆锥的顶点,O为圆锥底面圆的圆心,P为线段DO的中点,AE为底面圆的直径,△ABC是底面圆的内接正三角形,AB=AD=,则下列说法正确的是(  )A.BE∥平面PACB.PA⊥平面PBCC.在圆锥侧面上,点A到DB中点的最短距离为D.记直线DO与过点P的平面α所成的角为θ,当cosθ∈(0,)时,平面α与圆锥侧面的交线为椭圆三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在平面直角坐标系xOy中,P是直线3x+2y+1=0上任意一点,则向量与向量n=(3,2)的数量积为________.14.写出一个同时具有下列性质①②③的数列{an}的通项公式:an=________.①数列{an}是无穷等比数列;②数列{an}不单调;③数列{|an|}单调递减.15.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1与双曲线C2共焦点,双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分,两曲线的交点与两焦点共圆,则双曲线C2的离心率为________.16.19世纪,美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时,偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后,物理学家本福特又重新发现这个现象,从实际生活得出的大量数据中,以1开头的数出现的频率约为总数的三成,接近期望值的3倍,并提出本福特定律,即在大量b进制随机数据中,以n开头的数出现的概率为Pb(n)=logb,如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性,根据本福特定律,在某项大量经济数据(十进制)中,以6开头的数出现的概率为________;若P10(n)=P10(1),k∈N*,k≤9,则k的值为________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在△ABC中,记角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asinC=ccosA+c.(1)求角A的大小;(2)若a=b,=,求sin∠ADC.\n18.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=2.从下面①②③中选取两个作为条件,剩下一个作为结论.如果该命题为真,请给出证明;如果该命题为假,请说明理由.①a3=3a1;②{}为等差数列;③an+2-an=2.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.19.(本小题满分12分)如图①,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,∠ABC=30°,AE⊥BC,垂足为E.以AE为折痕把△ABE折起,使点B到达点P的位置,且平面PAE与平面AECD所成的角为90°(如图②).(1)求证:PE⊥CD;(2)若点F在线段PC上,且二面角FADC的大小为30°,求三棱锥FACD的体积.\n20.(本小题满分12分)空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如下:空气质量指数AQI空气质量等级[0,50]优(50,100]良(100,150]轻度污染(150,200]中度污染(200,300]重度污染(300,+∞)严重污染下列频数分布表是某场馆记录了一个月(30天)的情况:空气质量指数AQI[0,50](50,100](100,150](150,200]频数/天36156(1)利用上述频数分布表,估算该场馆日平均AQI的值;(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表)(2)如果把频率视为概率,且每天空气质量之间相互独立,求未来一周(7天)中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率;(参考数据:0.77≈0.0824,结果精确到0.01)(3)为提升空气质量,该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统.已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下:更换滤芯数量/个345概率0.20.30.5已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动,促销期内每个滤芯售价1千元,促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元.该场馆每年年初先在促销期购买n(n≥8,且n∈N*)个滤芯,如果不够用,则根据需要按原价购买补充.问该场馆年初促销期购买多少个滤芯,使当年购买滤芯的总花费最合理,请说明理由.(不考虑往年剩余滤芯和下一年需求) 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x2-x+1)ex-3,g(x)=xex-,e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)记函数g(x)在(0,+∞)上的最小值为m,求证:e<m<3.22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=4y,直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线的切线,两切线的交点P在直线y=x-5上.\n(1)若点A的坐标为(1,),求AP的长;(2)若AB=2AP,求点P的坐标.\n2022届高三年级模拟试卷(南京三模)数学参考答案及评分标准1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.BC 10.ABD 11.BCD 12.BD13.-1 14.(-)n(答案不唯一,只要等比数列的公比满足-1<q<0)15. 16.lg 517.解:(1)在△ABC中,=.由asinC=ccosA+c,得sinAsinC=sinCcosA+sinC.(2分)因为C∈(0,π),所以sinC≠0,所以sinA=cosA+1,即sin(A-)=.因为A∈(0,π),所以A-∈(-,),所以A-=,所以A=.(4分)(2)如图,在△ABC中,(b)2=c2+b2-2bccos,即c2-bc-6b2=0,解得c=3b或c=-2b(舍去).(6分)因为=,所以AD=4b,BD=b.在△ACD中,CD2=b2+(4b)2-2b×4bcos=13b2,得CD=b.(8分)因为=,所以sin∠ADC===.(10分)18.解:若条件选①②.(解法1)因为{}为等差数列,所以2×=S1+,(2分)即3(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3,化简得2a2=a1+a3.因为a2=2,所以a1+a3=4.(4分)因为a3=3a1,解得a1=1.(6分)因为-S1=-1=,所以{}是首项为1,公差为的等差数列,所以=1+(n-1)×=,即Sn=.(8分)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n.(10分)因为a1=1满足an=n,所以an=n,n∈N*,所以an+2-an=n+2-n=2.综上,①②Þ③成立.(12分)(解法2)因为{}为等差数列,可设=an+b,得Sn=an2+bn,(2分)所以a1=a+b,a3=S3-S2=9a+3b-(4a+2b)=5a+b.因为a3=3a1,所以a=b.(i)(4分)因为a2=S2-S1=4a+2b-(a+b)=3a+b=2.(ii)(6分)\n由(i)(ii),得a=b=,所以Sn=n2+n.(8分)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n.(10分)因为a1=1满足an=n,所以an=n,n∈N*,所以an+2-an=n+2-n=2,所以①②\nSymbol^C@③成立.(12分)若条件选①③.由an+2-an=2,得a3-a1=2.因为a3=3a1,所以a1=1,a3=3.(4分)因为an+2-an=2,所以数列{an}的奇数项是首项为1,公差为2的等差数列,偶数项是首项为2,公差为2的等差数列.因此,当n为奇数时,an=1+(-1)×2=n;(6分)当n为偶数时,an=2+(-1)×2=n;所以an=n,n∈N*.(8分)所以an+1-an=n+1-n=1,所以数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,所以Sn=,从而=.(10分)因为-=-=,所以{}为等差数列,所以①③Þ②成立.(12分)若条件选②③.(解法1)因为an+2-an=2,所以a3-a1=2.(i)(2分)因为{}为等差数列,所以2×=S1+,(4分)即3(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3,化简得2a2=a1+a3.(8分)因为a2=2,所以a1+a3=4.(ii)(10分)由(i)(ii),得a1=1,a3=3,所以a3=3a1.所以②③Þ①成立.(12分)(解法2)因为an+2-an=2,所以a3-a1=2.(i)(2分)因为{}为等差数列,设=an+b,得Sn=an2+bn,(4分)所以a1=a+b,a3=S3-S2=9a+3b-(4a+2b)=5a+b,所以a3-a1=4a.(ii)(6分)由(i)(ii),得a=.(8分)又a2=S2-S1=4a+2b-(a+b)=3a+b=2,所以b=.(10分)所以a1=a+b=1,a3=5a+b=3,满足a3=3a1.所以②③Þ①成立.(12分)(解法3)因为{}为等差数列,所以设=an+b,得Sn=an2+bn.(2分)于是an===2an-a+b.(6分)因为an+2-an=2,所以4a=2,得a=.(8分)又a2=3a+b=2,所以b=.(10分)从而a1=a+b=1,a3=5a+b=3,所以a3=3a1.所以②③Þ①成立.(12分)19.解:(1)(解法1)在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,所以AE⊥PE.因为平面PAE与平面AECD所成的角为90°,即平面PAE⊥平面AECD.(2分)又因为平面PAE∩平面AECD=AE,PE⊂平面PAE,所以PE⊥平面AECD.因为CD⊂平面AECD,所以PE⊥CD.(4分)(解法2)在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,所以AE⊥PE,AE⊥CE,所以∠PEC为平面PAE与平面AECD所成角的平面角.因为平面PAE与平面AECD所成的角为90°,所以∠PEC=90°,即PE⊥CE.(2分)又PE⊥AE,AE∩CE=E,AE⊂平面AECD,CE⊂平面AECD,所以PE⊥平面AECD.\n因为CD⊂平面AECD,所以PE⊥CD.(4分)(2)(解法1)由(1)得PE⊥平面AECD,AE⊥EC,故以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系.易得A(1,0,0),C(0,2,0),D(1,3,0),P(0,0,),所以=(0,2,-),=(-1,0,),=(0,3,0).(5分)设=λ=(0,2λ,-λ),λ∈[0,1],则=+=(-1,2λ,-λ).(6分)设平面FAD的法向量为n=(x,y,z),则即取z=1,得x=-λ,则平面FAD的一个法向量为n=(-λ,0,1).(8分)又因为平面AECD的一个法向量为m=(0,0,1),且二面角FDAC的大小为30°,所以|cos〈m,n〉|==||=,整理得9λ2-18λ+8=0,即(3λ-2)(3λ-4)=0,解得λ=或λ=(舍去),故=.(10分)因为S△ACD=×3×1=,所以VFACD=VPACD=S△ACD×PE=.(12分)(解法2)在△PEC中,过F作FG∥EC,交PE于点G.因为EC∥AD,所以FG∥AD,因此A,D,F,G共面.在平行四边形ABCD中,易知AD⊥AE.由(1)得PE⊥平面AECD,因为AD⊂平面AECD,所以AD⊥PE.又PE∩AE=E,AE,PE⊂平面PAE,所以AD⊥平面PAE.因为AG⊂平面PAE,所以AD⊥AG.所以∠GAE为二面角FADC的平面角,所以∠GAE=30°.(8分)在Rt△AEG中,∠AEG=90°,∠GAE=30°,AE=1,所以EG=.(10分)因为FG∥AD,FG⊄平面AECD,AD⊂平面AECD,所以FG∥平面AECD.因此VFACD=VGACD=×(×3×1)×=.(12分)20.解:(1)该场馆平均AQI的值为×(25×3+75×6+125×15+175×6)=×(1×3+\n3×6+5×15+7×6)=115.(2分)(2)该场馆每天空气质量等级达到“优或良”的概率为=0.3.(3分)设未来7天中空气质量等级达到“优或良”的天数为ξ,则ξ~B(7,0.3).(4分)于是P(ξ≥2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)=1-(1-0.3)7-C(1-0.3)6×0.3=1-0.77-7×0.76×0.3=1-4×0.77≈0.67,所以未来7天中至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率为0.67.(6分)(3)设2套净化系统一年共需要更换的滤芯数量为Y,则Y的可能取值为6,7,8,9,10.(7分)因为2套净化系统相互独立,所以P(Y=9)=0.3×0.5+0.5×0.3=0.3;P(Y=10)=0.5×0.5=0.25;(9分)若促销期购买8个滤芯,则一年更换滤芯所需费用的期望为8+0.3×2+0.25×4=9.6千元;若促销期购买9个滤芯,则一年更换滤芯所需费用的期望为9+0.25×2=9.5千元;若促销期购买不少于10个滤芯,则一年更换滤芯所需的费用不低于10千元,因为10>9.6>9.5,所以每年在促销期购买9个滤芯最合理.(12分)21.(1)解:由f(x)=(x2-x+1)ex-3,得f′(x)=(x2+x)ex.(2分)令f′(x)=0,得x=-1或x=0.因为当x∈(-∞,-1)∪(0,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(-1,0)时,f′(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,+∞),f(x)的单调递减区间为(-1,0).(4分)(2)证明:g(x)=xex-=(1-)ex+,x>0,所以g′(x)=[(x2-x+1)ex-3]=.由(1)得f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=e-3<0,f(2)=3e2-3>0,且f(x)的图象不间断,所以存在唯一x0∈(1,2),使得f(x0)=0,即g′(x0)=0,即(x-x0+1)ex0-3=0 (*).(6分)所以当x∈(0,x0)时,f(x)<0,即g′(x)<0,所以g(x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时,f(x)>0,即g′(x)>0,所以g(x)单调递增,因此m=g(x)min=g(x0)= (**).(8分)由(*)式得ex0=,代入(**)式得m==.因为x0∈(1,2),且函数y=在(1,2)上单调递减,所以m=∈(2,3).下面只需证明m>e.(10分)(证法1)由(*)式得(x0-1)ex0=xex0-3,代入(**)式得m==x0ex0.因为x0∈(1,2),且函数y=xex在(1,2)上单调递增,所以m=x0ex0>e.(12分)(证法2)因为x(ex-1)≥0,所以xex≥x,所以(x-1)ex-1≥x-1,所以(x-1)ex≥e(x-1)(当且仅当x=1时取等号).所以g(x)=(1-)ex+≥>e,所以m=g(x)min>e.综上,e<m<3.(12分)\n22.解:(1)(解法1)由y=x2,得y′=x,所以A处切线的斜率为,(2分)所以切线PA的方程为y-=(x-1),即y=x-.联立方程组解得x=,y=,即P(,),(3分)所以AP=|1-|=.(4分)(解法2)设切线PA的方程为y-=k(x-1),即y=kx-k+.联立方程组消元y,得x2-4kx+(4k-1)=0.由Δ=16k2-4(4k-1)=0,解得k=,所以切线PA的方程为y=x-.(2分)联立方程组解得x=,y=,即P(,),(3分)所以AP=|1-|=.(4分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(t,t-5),则y1=x,y2=x.由y=x2,得y′=x,所以A处的切线方程为y-y1=x1(x-x1).将P(t,t-5)代入,得t-5-y1=x1(t-x1),即x-2tx1+4(t-5)=0.(6分)同理可得x-2tx2+4(t-5)=0.所以x1,x2是方程x2-2tx+4(t-5)=0的两个解,故x1+x2=2t ①,x1x2=4(t-5) ②,(7分)所以直线AB的斜率k===t.由AB=2AP,得|x1-x2|=2|x1-t|,(9分)由①得|x1-x2|=2|x1-t|,所以=,化简得x=t2.因为x1≠t,所以x1=-t ③.(11分)由①②③,得3t2+4t-20=0,解得t1=2,t2=-.所以点P的坐标为(2,-3)或(-,-).(12分)

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-05-23 15:00:15 页数:11
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文章作者:随遇而安

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