天津市红桥区2022届高三数学一模试题（Word解析版）

高三数学参考公式：柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高．锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．球的体积公式，其中R表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据题意求出集合，在和集合取交集即可.【详解】因为集合，，所以，所以，故选：C.2.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【2题答案】【答案】A【解析】【详解】由题意得，不等式，解得或，所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选A．考点：充分不必要条件的判定．3.函数的零点所在的区间是（）A.B.C.D.【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据函数零点存在性定理判断即可【详解】函数是上的连续增函数,,可得,所以函数的零点所在的区间是.故选：C4.已知，，，则（）A.B.C.D.【4题答案】【答案】B【解析】【分析】利用进行分段，结合指数、对数函数的知识求得正确答案.【详解】，，，所以. 故选：B5.已知盒中装有大小、质量完全相同的2个黑球，3个红球，现从盒中随机抽取2个球，则取出的两个球颜色相同的概率为（）A.B.C.D.【5题答案】【答案】D【解析】【分析】结合古典概型的概率计算公式以及组合数的计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题意，取出的两个球颜色相同的概率为.故选：D6.将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数（）A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减【6题答案】【答案】A【解析】【分析】先求得图象变换后函数的解析式，然后根据三角函数单调区间的求法，求得正确答案.【详解】函数的图象向右平移个单位得，，所以的单调递增区间为， 同理可求得的单调减区间为，令，得的单调递增区间为，所以A选项正确，B选项错误.令，得的单调减区间为，所以C选项错误，令得的单调递增区间为，所以D选项错误.故选：A7.【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）A.B.C.D.【7题答案】【答案】D【解析】【详解】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法 就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.8.设，，若，则的最小值为（）A.6B.9C.D.18【8题答案】【答案】B【解析】【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；详解】解：，，且，且，，当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9；故选：B9.如图，四边形ABCD中，，，，，，M，N分别是线段AB，AD上的点且，则的最大值为（）A.B.C.D.1 【9题答案】【答案】A【解析】【分析】首先求得以及，然后结合二次函数的性质求得的最大值.【详解】设，由于，所以，依题意四边形ABCD中，，，，，设，则，所以，所以，由得，所以，在三角形中，由余弦定理得，依题意，设，则，其中，所以，当时等号成立.所以的最大值为.故选：A 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10.是虚数单位，复数_____________．【10题答案】【答案】【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】.故答案：.11.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、、3，则此球的体积为______．【11题答案】【答案】【解析】【分析】求得长方体外接球的半径，从而求得球的体积.【详解】长方体外接球的直径为，所以外接球半径，所以球的体积为.故答案为： 12.在的二项展开式中，的系数为___________．【12题答案】【答案】【解析】【详解】试题分析：因为，所以由得，因此的系数为考点：二项式定理【方法点睛】1．求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项的系数．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．13.圆在点P（1，）处的切线方程为_____．【13题答案】【答案】x－y＋2＝0【解析】【详解】圆，点在圆上，∴其切线方程为，整理得：．14.从8名老师和6名学生中选出5名代表，要求老师和学生各至少一名，则不同的选法共有______种．【14题答案】【答案】1940 【解析】【分析】间接求，用总数减去不符合要求的选法即可求解【详解】不考虑限制要求，所有不同的选法有全选教师的选法有，全选学生的选法有所以至少一名教师一名学生的选法有故答案为：15.已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为_____.【15题答案】【答案】【解析】【分析】对函数分成两段进行求解，当时，二次函数的对称轴，分成和两种情况讨论；当时，采用参变分离，构造函数求最值.【详解】（1）当时，，过定点，对称轴为，当时，，解得：，所以；当时，在单调递减，且，所以；所以在恒成立，可得.（2）当时，恒成立，即恒成立，令，则，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，所以.综合（1）（2）可得：.【点睛】本题研究二次函数在的最小值时，利用函数恒过定点，使讨论的过程更简 洁，即只要研究对称轴和两种情况.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，．（1）求b的值；（2）求；（3）求的值．【16题答案】【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得，利用余弦定理求得.（2）利用正弦定理求得.（3）先求得，进而求得.【小问1详解】由，得，即，且，所以；因为，且，解得.【小问2详解】为锐角，， 因为，，解得；【小问3详解】因为，，所以，，又因为.18.如图，正四棱柱中，，点E在上且．（1）证明：平面BED；（2）求异面直线BE与所成角的大小；（3）求二面角的余弦值．【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面BED.（2）利用向量法求得异面直线BE与所成角. （3）利用向量法求得二面角余弦值.【小问1详解】以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系．依题设，，，，．，，，．因，，故，，又，所以平面DBE．【小问2详解】，，则，所以异面直线BE与所成角为90°；【小问3详解】设向量是平面的法向量，则，．故，．令，则，，．设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，． 20.已知椭圆的一个顶点为，右焦点为F，且，其中O为原点．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P满足，点B在椭圆C上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以P为圆心的圆相切与点Q，且Q为线段AB的中点，求直线AB的方程．【20题答案】【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，求得的的坐标，进而求得点的坐标，结合列方程，化简求得直线的斜率，从而求得直线的方程.【小问1详解】 由已知可得，又，得，因为，所以，椭圆；【小问2详解】因为，所以，设直线AB的方程为，则，可得，解得，，则，又Q为线段AB的中点，，则，，且，由，解得，，直线AB的方程为，．22.已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．（1）求数列，的通项公式；（2）求．【22题答案】【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）利用等差数列求和公式和等比数列通项公式可构造方程求得公差和公比，由此可得所求通项公式；（2）由（1）可求得，采用分组求和法和错位相减法求解即可得到结果.【小问1详解】设等差数列公差为，等比数列公比为，，解得：，；又，即，，解得：，.【小问2详解】由（1）得：，；设…①，…②，①②得：；令…③，…④，③④得： ，，，；设…⑤，…⑥，⑤⑥得：，；24.已知函数，，.（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；（Ⅱ）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；（Ⅲ）对（Ⅱ）中的，证明：当时，.【24题答案】【答案】（Ⅰ）a=切线的方程为（Ⅱ）（Ⅲ）证明见解析【解析】【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）=,=(x>0),由已知得解得a=，x=e2,∴两条曲线交点的坐标为(e2,e)切线的斜率为k=f’(e2)=∴切线的方程为y－e=(x－e2)(II)由条件知h(x)=–alnx(x＞0),（i）当a>0时，令解得，∴当0<<时，，在（0，）上递减；当x>时，，在上递增.∴是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.∴最小值（ii）当时，在（0，+∞）上递增，无最小值．故的最小值的解析式为（Ⅲ）由（Ⅱ）知则，令解得.当时，，∴在上递增；当时，，∴在上递减.∴在处取得最大值∵在上有且只有一个极值点，所以也是的最大值.∴当时，总有考点：本题考查了导数的运用点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际 问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点。