江苏省南通市如皋市2022届高三数学下学期适应性考试（二）（二模）（Word版带答案）

2022届高三年级模拟试卷数　　学(满分：150分　考试时间：120分钟)2022．4一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合P，Q均为R的子集，且(∁RQ)∪P＝R，则(　　)A.P∩Q＝R　B.P⊆Q　C.Q⊆P　D.P∪Q＝R2.设a为实数，且为纯虚数(其中i是虚数单位)，则a＝(　　)A.1　B.－1　C.　D.－23.若＝2，则tanα＝(　　)A.　B.－1　C.或－1　D.－4.《张邱建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增(即每天增加的数量相同)”．若该女子第一天织布两尺，前二十日共织布六十尺，则该女子第二十日织布(　　)A.三尺　B.四尺　C.五尺　D.六尺5.若函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值为(　　)A.1　B.2　C.－1　D.±16.已知直线y＝x－2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，则OP2－PA2＝(　　)A.2　B.－2　C.4　D.－47.已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－(k＋1)xf(x)＋kx2＝0有且只有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围是(　　)A.(0，]　B.[，1)∪(1，2)　C.(0，1)∪(1，2)　D.(2，＋∞)8.连续向上抛一枚硬币五次，设事件“没有连续两次正面向上”的概率为P1，设事件“没有连续三次正面向上”的概率为P2，则下列结论正确的是(　　)A.P1＋P2＝1　B.P2<2P1　C.P2＝2P1　D.P2>2P1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设(1＋2x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则下列说法正确的是(　　)A.a0＝1　B.a1＋a2＋…＋a10＝310－1C.展开式中二项式系数最大的项是第5项　D.a2＝9a110.已知x，y∈R，x>0，y>0，且x＋2y＝1，则下列选项正确的是(　　) A.＋的最小值为4　B.x2＋y2的最小值为C.>1　D.2x＋1＋4y≥411.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)的图象在y轴上的截距为，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为，则下列说法正确的是(　　)A.φ＝B.f(x)＋f′(－x)≤C.函数在(0，)上一定单调递增D.在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为12.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，H分别是所在棱上的动点，且满足DH＋BG＝AE＋CF＝1，则下列结论正确的是(　　)A.E，G，F，H四点一定共面B.若四边形EGFH为矩形，则DH＝CFC.若四边形EGFH为菱形，则E，F一定为所在棱的中点D.若四边形EGFH为菱形，则四边形EFGH周长的取值范围是[4，2]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在平面直角坐标系xOy中，圆M交x轴于点A(－2，0)，C(4，0)，交y轴于点B，D，四边形ABCD的面积为18，则OM＝________．14.已知M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN.若＝x＋y，则x＋y＝________．15.从正四面体的四个面的中心以及四个顶点共八个点中取出四个点，则这四个点不共面的取法总数为________种．16.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，若点F关于渐近线y＝－x对称的点F′恰好落在渐近线y＝x上，则点F′的坐标为________，双曲线的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分) 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝，a＝2，2abcosC＝(c＋a－b)·(c－a＋b).　(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积．18.(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝1，an＝(1)求a10，a16的值；(2)设bn＝a2n·a2n－1，求数列{bn}的通项公式． 19.(本小题满分12分)如图，已知正四棱锥SABCD的棱长都相等，O，E分别是BD，BC的中点，F是SE上的一点．(1)若OF∥平面SAD，试确定点F的位置；(2)若OF⊥平面SBC，求二面角FCDB的余弦值． 20.(本小题满分12分)某学校共有3000名学生，其中男生1800人，为了解该校学生在校的月消费情况，采取分层抽样的方式，抽取100名学生进行调查，先统计他们某月的消费金额，然后按“男、女”性别分成两组，再分别将两组学生的月消费金额分成5组：[300，400)，[400，500)，[500，600)，[600，700)，[700，800]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)样本中将月消费金额不低于600元的学生称为“高消费群”．请你根据已知条件完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男女合计参考公式和数据：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(2)以样本估计总体，以调查所得到的频率视为概率，现从该学校中随机每次抽取1名学生，共抽取4次，且每次抽取的结果是相互独立的，记被抽取的4名学生中“高消费群”的人数为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X).21.(本小题满分12分)已知圆O：x2＋y2＝4与x轴交于点A(－2，0)，过圆上一动点M作x轴的垂线，垂足为H，设MH的中点为N，记N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过(－，0)作与x轴不重合的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OQ与曲线C的另一交点为S，设直线AP，AS的斜率分别为k1，k2.求证：k1＝4k2. 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋alnx(a∈R).(1)试讨论f(x)的单调性；(2)当a＝1时，求证：xf(x)＋e－x－x≥0. 2022届高三年级模拟试卷(如皋2.5模)数学参考答案及评分标准1.C　2.A　3.A　4.B　5.D　6.D　7.B　8.B　9.ABD　10.BD　11.AC　12.AD13.　14.　15.60　16.(a，b)　217.解：(1)因为2abcosC＝(c＋a－b)(c－a＋b)，所以2abcosC＝2ab－(a2＋b2－c2)，即cosC＝1－.在△ABC中，由余弦定理得cosC＝，所以cosC＝1－cosC，即cosC＝.(4分)因为C∈(0，π)，所以C＝.(5分)(2)(解法1)sinB＝sin(A＋C)＝sincos＋cossin＝，(7分)在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，所以b＝1＋，(9分)所以△ABC的面积S＝absinC＝×2×(1＋)×＝.(10分)(解法2)过B作AC的垂线，垂足为H(图略)，在Rt△BCH中，因为a＝2，C＝，所以CH＝acosC＝1，BH＝asinC＝.(7分)在Rt△BAH中，因为BH＝，A＝，所以AH＝，所以AC＝1＋，(9分)所以△ABC的面积S＝absinC＝×2×(1＋)×＝.(10分)18.解：(1)a10＝2a5＝2(a1＋4)＝10，(2分)a16＝2a8＝16a1＝16.(4分)(2)因为a2n＋1－a2n－1＝2，a1＝1，所以{a2n－1}是以1为首项，公差为2的等差数列，所以a2n－1＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(7分)因为a2n＝2a2n－1，a2＝2a1＝2≠0，所以a2n≠0，所以＝2，所以{a2n}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以a2n＝a2×2n－1＝2n，(10分)所以bn＝a2n·a2n－1＝(2n－1)2n. 综上所述，数列{bn}的通项公式为bn＝(2n－1)2n.(12分)19.解：(1)连接EO，并延长EO，交AD于点M(图略).在正四棱锥SABCD中，四边形ABCD为正方形，所以DC∥AB，且DC＝AB.在△DBC中，因为O，E分别是BD，BC的中点，所以OE∥DC，且OE＝DC，所以MO∥AB.在△DBA中，因为O是BD的中点，所以M是AD的中点，所以MO＝AB，所以O是EM的中点．(3分)因为OF∥平面SAD，OF⊂平面SEM，平面SEM∩平面SAD＝SM，所以OF∥SM.在△SEM中，所以F是SE的中点．(5分)(2)在正方形ABCD中，因为O为BD的中点，所以AC过点O，所以O为正方形ABCD的中心，且OB⊥OC.在正四棱锥SABCD中，SO⊥平面ABCD.因为OB，OC⊂平面ABCD，所以SO⊥OB，SO⊥OC.以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设正四棱锥SABCD的棱长为2，在Rt△SOB中，SO＝＝，则O(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，S(0，0，)，E(，，0)，D(－，0，0).设＝λ，所以F(－λ，－λ，λ).因为OF⊥平面SBC，所以⊥，·＝(－λ)×(－)＋(－λ)×(－)＋2λ＝0，即λ＝，所以F(，，).(7分)所以＝(，，)，＝(，－，).设平面DCF的法向量n＝(x0，y0，z0)，因为n⊥，n⊥，所以⇒令x0＝1，则y0＝－1，z0＝－3，所以n＝(1，－1，－3).(10分) 平面ABCD的一个法向量＝(0，0，)，所以cos〈，n〉＝＝＝－.设二面角FCDB的平面角为θ，由图可知θ为锐角，所以cosθ＝|cos〈，n〉|＝.综上所述，二面角FCDB的余弦值为.(12分)(第二问也可以用立体几何中传统的方法求解，一作，二证，三计算).20.解：(1)依据频率分布直方图得：属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男154560女202040合计3565100(2分)提出假设H0：“高消费群”与“性别”无关，因为K2＝＝≈6.593>5.024，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关.(6分)(2)4名学生中每一名学生是“高消费群”的概率为＝，所以X～B(4，)，所以E(X)＝4×＝，(9分)D(X)＝4××(1－)＝.(12分)21.解：(1)设N(x，y)，则M(x，2y)，因为动点M在圆O上，所以x2＋4y2＝4，即＋y2＝1，所以曲线C的方程为＋y2＝1.(4分)(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线AQ的斜率为k，直线l：x＝my－，由　联立得(m2＋4)y2－my－＝0，y1＋y2＝，y1y2＝，Δ＝16m2＋>0，(6分) kk1＝×＝＝＝＝＝－1　①，(9分)kk2＝×＝＝＝－　②，(11分)①÷②得k1＝4k2.(12分)22.解：(1)f′(x)＝.1°当a≥0时，y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数；(1分)2°当a<0时，y＝f(x)在(0，－a)上为减函数，在(－a，＋∞)上为增函数．(3分)综上所述：①当a≥0时，y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数；②当a<0时，y＝f(x)在(0，－a)上为减函数，在(－a，＋∞)上为增函数．(4分)(2)设g(x)＝x2＋xlnx＋e－x－x，h(x)＝g′(x)＝2x＋lnx－e－x，h′(x)＝2＋＋e－x.因为x>0，所以h′(x)>0，所以y＝g′(x)在(0，＋∞)上为增函数．(6分)因为g′()＝－1－e－<0，g′(1)＝2－>0，所以∃x0∈(，1)，使g′(x0)＝2x0＋lnx0－e－x0＝0，当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，y＝g(x)为减函数；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，y＝g(x)为增函数，所以g(x)min＝g(x0).(8分)因为x0＋lnx0＝e－x0－x0＝e－x0＋lne－x0，由(1)知，a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以x0＝e－x0，lnx0＝－x0，(11分)g(x)min＝g(x0)＝x＋x0lnx0＋e－x0－x0＝0.综上所述，x2＋xlnx＋e－x－x≥0.(12分)