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浙江省杭州市学军中学2020-2021学年高一数学下学期期中考试试卷(Word版带答案)
浙江省杭州市学军中学2020-2021学年高一数学下学期期中考试试卷(Word版带答案)
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2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高一(下)期中数学试卷一、选择题(8个单选题,每题4分;2个多选题,每题5分;共42分)1.复数z=﹣i的虚部为( )A.B.﹣C.iD.﹣i2.已知向量=(k,3),=(1,4),=(2,1)且(2﹣3)⊥,则实数k=( )A.﹣B.0C.3D.3.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=80,b=100,A=30°,则B的解的个数是( )A.0B.1C.2D.不确定4.一个圆锥的表面积为π,它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形,则该圆锥的高为( )A.1B.C.2D.25.已知向量,不共线,且向量λ+与+(2λ﹣1)的方向相反,则实数λ的值为( )A.1B.﹣C.1或﹣D.﹣1或﹣6.设复数z满足=i,则|z|=( )A.1B.C.D.27.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交8.已知,为单位向量,|+|=|﹣|,记是与+方向相同的单位向量,则在+方向上的投影向量为( )A.B.﹣C.D.9.设z1,z2是复数,则下列命题中的真命题是( )A.若|z1﹣z2|=0,则=B.若z1=,则=z2,C.若|z1|=|z2|,则z1•=z2•D.若|z1|=|z2|,则z12=z2210.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=ccosA,角A的角平分线交BC于点D,AD=1,cosA=,以下结论正确的是( )A.AC=B.AB=8C.=D.△ABD的面积为二、填空题(6题,每题5分,共30分)11.若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则c= .12.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为 .13.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的体积为 .14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC,并且a=,则△ABC的面积为 .15.设P为△ABC所在平面上一点,且满足(m>0).若△ABP的面积为8,则△ABC的面积为 .16.如图,圆O是半径为1的圆,OA=,设B,C为圆上的任意2个点,则•的取值范围是 .三、解答题(4题,每题12分,共48分)17.如图所示,已知P是ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点.,(1)求证:MN∥平面PAD;(2)设平面PBC∩平面PAD=l,求证:l∥BC.18.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acosC+asinC﹣b﹣c=0.(1)求A;(2)若AD为BC边上的中线,cosB=,AD=,求△ABC的面积.19.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.(1)设=x+y,求x+y的值;(2)若=6,求的值.20.设a为实数,函数f(x)=2x2+(x﹣a)|x﹣a|.(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),求不等式h(x)≥1的解集.,参考答案一、选择题(8个单选题,每题4分;2个多选题,每题5分;共42分)1.复数z=﹣i的虚部为( )A.B.﹣C.iD.﹣i解:z=﹣i的虚部为﹣,故选:B.2.已知向量=(k,3),=(1,4),=(2,1)且(2﹣3)⊥,则实数k=( )A.﹣B.0C.3D.解:∵=(k,3),=(1,4),=(2,1)∴2﹣3=(2k﹣3,﹣6),∵(2﹣3)⊥,∴(2﹣3)•=0'∴2(2k﹣3)+1×(﹣6)=0,解得,k=3.故选:C.3.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=80,b=100,A=30°,则B的解的个数是( )A.0B.1C.2D.不确定解:因为a=80,b=100,A=30°,由正弦定理得,,所以sinB=,因为a<b,所以B>A,故B有两解.故选:C.4.一个圆锥的表面积为π,它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形,则该圆锥的高为( ),A.1B.C.2D.2解:设圆锥的底面半径为r,∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形,∴圆锥的母线长为3r,又∵圆锥的表面积为π,∴πr(r+3r)=π,解得:r=,l=,故圆锥的高h==,故选:B.5.已知向量,不共线,且向量λ+与+(2λ﹣1)的方向相反,则实数λ的值为( )A.1B.﹣C.1或﹣D.﹣1或﹣解:与的方向相反,且不共线,∴存在μ<0,使,∴,解得或1(舍去).故选:B.6.设复数z满足=i,则|z|=( )A.1B.C.D.2解:∵复数z满足=i,∴1+z=i﹣zi,∴z(1+i)=i﹣1,∴z==i,∴|z|=1,故选:A.7.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交,C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交解:A.l与l1,l2可以相交,如图:∴该选项错误;B.l可以和l1,l2中的一个平行,如上图,∴该选项错误;C.l可以和l1,l2都相交,如下图:,∴该选项错误;D.“l至少与l1,l2中的一条相交”正确,假如l和l1,l2都不相交;∵l和l1,l2都共面;∴l和l1,l2都平行;∴l1∥l2,l1和l2共面,这样便不符合已知的l1和l2异面;∴该选项正确.故选:D.8.已知,为单位向量,|+|=|﹣|,记是与+方向相同的单位向量,则在+方向上的投影向量为( )A.B.﹣C.D.解:由题意可得2+2=2﹣4+2,可得=,则=1+=,设与+的夹角为α,则||•||cosα=,,有||==,故==.则在+方向上的投影向量为:.故选:C.9.设z1,z2是复数,则下列命题中的真命题是( )A.若|z1﹣z2|=0,则=B.若z1=,则=z2C.若|z1|=|z2|,则z1•=z2•D.若|z1|=|z2|,则z12=z22解:对(A),若|z1﹣z2|=0,则z1﹣z2=0,z1=z2,所以为真;对(B)若,则z1和z2互为共轭复数,所以为真;对(C)设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,若|z1|=|z2|,则,,所以为真;对(D)若z1=1,z2=i,则|z1|=|z2|为真,而,所以为假.故选:ABC.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=ccosA,角A的角平分线交BC于点D,AD=1,cosA=,以下结论正确的是( )A.AC=B.AB=8C.=D.△ABD的面积为解:因为b=ccosA,由正弦定理可得,sinB=sinCcosA=sin(A+C),所以sinAcosC=0,因为sinA≠0,所以cosC=0即C=,∵=cosA=,,由角平分线定理可得,=,设AC=x,AB=8x,则BC=3x,CD=,Rt△ACD中,由勾股定理可得,,解可得x=,即AC=,AB=6,∵SABC==,所以S△ABD==.故选:ACD.二、填空题(6题,每题5分,共30分)11.若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则c= 3 .解:因为1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,所以1﹣i也是方程的根,由根与系数的关系可知:,所以b=﹣2,c=3.故答案为:3.12.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为 2+ .解:DC=ABsin45°=,BC=ABsin45°+AD=+1,S梯形ABCD=(AD+BC)DC=(2+)=+,S=S梯形ABCD=2+.,故答案为:2+13.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的体积为 .解:正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,记为O,PO=AO=R,PO1=4,OO1=4﹣R,在Rt△AO1O中,AO1=,由勾股定理R2=2+(4﹣R)2得R=,∴球的体积为.故答案为:.14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC,并且a=,则△ABC的面积为 .解:∵cosA=,A为三角形的内角,∴sinA===,∵sinB=cosC,且sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,∴sinAcosC+cosAsinC=cosC,则cosC+sinC=cosC,即sinC﹣cosC=0,由得,sinC=,cosC=,∴sinB=cosC=,又a=,由正弦定理得,,则c===,∴△ABC的面积S===,故答案为:.15.设P为△ABC所在平面上一点,且满足(m>0).若△ABP的面积为8,则△ABC的面积为 14 .解:由3+4=m,可得+=,可设=+,则D,A,C共线,且D在线段AC上,可得=,即有D分AC的比为4:3,即有C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的倍,故S△ABC=S△ABP=×8=14.故答案为:14.16.如图,圆O是半径为1的圆,OA=,设B,C为圆上的任意2个点,则•的取值范围是 .,解:如图,设D是线段BC的中点,则OD⊥BC,连接OA,OB.OC,OD,设θ为和的夹角,则•=(﹣)•=•﹣•=||•||•∠BCO﹣||•||•cosθ=﹣|•cosθ≥﹣|=(||﹣)2﹣,∵||∈[0,2],∴当||=时,•有最小值为﹣,当||=2且cosθ=﹣1时,﹣|•cosθ有最大值为3,即•有最大值为3,故答案为:[﹣,3].三、解答题(4题,每题12分,共48分)17.如图所示,已知P是ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)设平面PBC∩平面PAD=l,求证:l∥BC.【解答】证明:(1)取PD的中点E,连接AE、NE,如图所示:,由NE∥DC,且NE=DC,AM∥DC,且AM=DC,所以NE∥AM,且NE=AM,所以四边形MNEA是平行四边形,所以MN∥AE,又AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD;(2)因为BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD,又因为平面PBC∩平面PAD=l,所以l∥BC.18.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acosC+asinC﹣b﹣c=0.(1)求A;(2)若AD为BC边上的中线,cosB=,AD=,求△ABC的面积.解:(1)由题意知,acosC+asinC﹣b﹣c=0,由正弦定理得:sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0,由sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C)得,sinAcosC+sinAsinC﹣sin(A+C)﹣sinC=0,,则sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC=0,又sinC≠0,则sinA﹣cosA=1,化简得,,即,又0<A<π,所以A=;(2)在△ABC中,cosB=得,sinB==…则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB==…由正弦定理得,==…设a=7x、c=5x,在△ABD中,由余弦定理得:AD2=AB2+BD2﹣2•AB•BD•cosB,,解得x=1,则a=7,c=5…所以△ABC的面积S==…19.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.(1)设=x+y,求x+y的值;(2)若=6,求的值.解:(1)△ABC中,D是BC的中点,BE=2EA,AD与CE交于点O.设=x+y=x+y(﹣)=﹣x﹣y+y=(﹣x﹣y)+y,,又=,=,所以=(﹣x﹣y)+y,所以﹣x﹣y+y=1,①又=﹣(x+y)+2y,所以﹣(x+y)+2y=1,②由①②组成方程组解得,所以x+y=﹣=﹣;(2)设=m=m(+),=+=+n=+n(﹣)=(1﹣n)+n=+n;所以,,所以==(+),=﹣=﹣+,所以6•=6×(+)•(﹣+)=﹣+•+;又•=6,所以0=﹣+,所以=3,所以=.20.设a为实数,函数f(x)=2x2+(x﹣a)|x﹣a|.,(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),求不等式h(x)≥1的解集.解:(1)若f(0)≥1,则﹣a|a|≥1,∵|a|>0,∴﹣a>0∴⇒a≤﹣1(2)当x≥a时,f(x)=3x2﹣2ax+a2,∴,如图所示:当x≤a时,f(x)=x2+2ax﹣a2,∴.,综上所述:.(3)x∈(a,+∞)时,h(x)≥1,得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0,△=4a2﹣12(a2﹣1)=12﹣8a2当a≤﹣或a≥时,△≤0,x∈(a,+∞);当﹣<a<时,△>0,得:即进而分2类讨论:当﹣<a<﹣时,a<,此时不等式组的解集为(a,]∪[,+∞);当﹣≤a≤时,<a<;此时不等式组的解集为[,+∞).当<x<,a>;此时不等式组的解集为(a,+∞).综上可得,当a∈(﹣∞,﹣]∪(,+∞)时,不等式组的解集为(a,+∞);当a∈(﹣,﹣)时,不等式组的解集为(a,]∪[,+∞);,当a∈[﹣,]时,不等式组的解集为[,+∞).
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高中 - 数学
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