江苏省苏锡常镇四市2022届高三数学下学期4月教学情况调研（一）（一模）（Word版含答案）

2022届高三年级模拟试卷数　　学(满分：150分　考试时间：120分钟)2022．4一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U＝R，集合A＝{x||x－2|≤1}，B＝{x|2x－4≥0}，则A∩(∁UB)＝(　　)A.(1，2)B.(1，2]C.[1，2)D.[1，2]2.在(x－)4的二项展开式中，第二项的系数为(　　)A.4B.－4C.6D.－63.已知i是虚数单位，设复数z满足iz＝＋i，则z的共轮复数z＝(　　)A.－1－iB.－1＋iC.1－iD.1＋i4.如果在一次实验中，测得(x，y)的五组数值如下表所示：x,0,1,2,3,4y,10,15,20,30,35经计算知，y对x的线性回归方程是y＝6.5x＋a，预测当x＝6时，y＝(　　)参考公式：在线性回归方程为样本平均值．A.47.5B.48C.49D.49.55.若平面内三个单位向量a，b，c满足a＋2b＋3c＝0，则(　　)A.a，b方向相同B.a，c方向相同C.b，c方向相同D.a，b，c两两互不共线6.若双曲线C1：y2－3x2＝λ(λ≠0)的右焦点与抛物线C2：y2＝8x的焦点重合，则实数λ＝(　　)A.±3B.－C.3D.－37.有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是(　　)A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率8.若正四面体ABCD的棱长为a，O是棱AB的中点，以O为球心的球面与平面BCD的交线和CD相切，则球O的体积是(　　)A.πa3B.πa3C.πa3D.πa3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.记Sn为等差数列{an}的前n项和，则下列说法正确的是(　　)A.S6＝2S4－S2B.S6＝3(S4－S2)C.S2n，S4n－S2n，S6n－S4n成等差数列D.，，成等差数列10.某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼．学生的体能检测结果X服从正态分布N(75，81)，其中检测结果在60以上为体能达标，90以上为体能优秀，则下列说法正确的是(　　)参考数据：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974.A.该校学生的体能检测结果的数学期望为75B.该校学生的体能检测结果的标准差为81C.该校学生的体能达标率超过0.98D.该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等11.下列函数中，最大值是1的函数有(　　)A.y＝|sinx|＋|cosx|B.y＝sin2x－cos2xC．y＝4sin2xcos2xD．y＝12.已知函数f(x)＝a·－x＋lnx(a∈R)，若对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得f(t)<f(s)，则满足条件的实数a的可能值有(　　)A.－1B.0C.D.1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱和圆锥的表面积分别为S1，S2，则＝________．14.已知圆C：(x－2)2＋(y＋4)2＝2，点A是x轴上的一个动点，直线AP，AQ分别与圆C相切于P，Q两点，则圆心C到直线PQ的距离的取值范围是________．15.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，其中点P，Q分别是图象的最高点和最低点，点M是图象与x轴的交点，且MP⊥MQ.若f()＝，则tanφ＝________．16.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(|x|＋1)＝2f(|x|－1).若当x∈(0，1)时，f(x)＝1－|2x－1|，则f(x)在区间(－1，3)上的值域为________，g(x)＝f(x)－x在区间(－1，3)内的所有零点之和为________．(本小题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)在①sinB＋sinC＝，②cosB＋cosC＝，③b＋c＝5这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，sinA＝，________，求△ABC的面积．18.(本小题满分12分)某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔．为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”“良”“中”三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并参加下一个项目的选拔，否则该同学不通过此项目的选拔，且不能参加后续项目的选拔．通过了全部三个项目选拔的同学进入到数学建模社团．现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中获得“优”“良”“中”的概率分别为，，，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立．(1)求甲同学能进入到数学建模社团的概率；(2)设甲同学在本次数学建模社团选拔中恰好通过X个项目，求X的概率分布及数学期望．19.(本小题满分12分)已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an－，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列{a}的前n项和为Sn，求证：Sn<.20.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，AA1＝AB ，点D，E分别为棱BC，B1C1上的点，且＝＝t(0<t<1).(1)若t＝，求证：AD∥平面A1EB；(2)若二面角C1ADC的大小为，求实数t的值．21.(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C的右焦点F到右准线的距离为.点A是第一象限内的定点，点M，N是椭圆C上两个不同的动点(均异于点A)，且直线AM，AN的倾斜角互补．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线MN的斜率k＝1，求点A的坐标． 22.(本小题满分12分)已知实数a>0，函数f(x)＝xlna－alnx＋(x－e)2，e是自然对数的底数．(1)当a＝e时，求函数f(x)的单调区间；(2)求证：f(x)存在极值点x0，并求x0的最小值． 2022届高三年级模拟试卷(苏锡常镇)数学参考答案及评分标准1.C　2.B　3.D　4.B　5.A　6.D　7.C　8.D　9.BCD　10.AD　11.BC　12.AB13.2　14.(0，]　15.－2　16.[－2，2]　17.解：若选①，sinB＋sinC＝＝sinA，由正弦定理＝＝，可得b＋c＝a＝5.以下如③所示．若选②，因为cosB＋cosC＝，由余弦定理得＋＝，所以b(a2＋c2－b2)＋c(a2＋b2－c2)＝abc，所以(b＋c)(a2－b2－c2＋2bc)＝abc，其中a2－b2－c2＝－2bccosA，所以(b＋c)(1－cosA)＝a.(4分)若A为锐角，则cosA＝＝＝，则b＋c＝5.由余弦定理得cosA＝＝－1＝－1，所以bc＝6，又b＋c＝5，解得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.所以△ABC的面积为bcsinA＝×6×＝2.(8分)若A为钝角，则cosA＝－＝－＝－，则b＋c＝<3＝a，舍去．综上可得，△ABC的面积为2.(10分)若选③，因为b＋c＝5，由余弦定理cosA＝＝－1＝－1.(3分)若A为锐角，则cosA＝＝＝，则－1＝，所以bc＝6.又b＋c＝5，解得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.所以△ABC的面积为bcsinA＝×6×＝2.(7分)若A为钝角，则cosA＝－＝－＝－，则－1＝－，所以bc＝12.又b＋c＝5，无解，舍去．(9分) 综上可得，△ABC的面积为2.(10分)18．解：(1)甲同学在每个项目中获得“优”“良”“中”互为互斥事件，则＋＋＝1，解得p＝1.所以甲同学通过每个项目选拔的概率都为＋＝.(2分)设甲同学能进入到数学建模社团为事件A，因为甲同学通过每个项目选拔的概率都为，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立，所以P(A)＝××＝.答：甲同学能进入到数学建模社团的概率为.(5分)(2)X的可能取值为0，1，2，3，则(6分)P(X＝0)＝；P(X＝1)＝×＝；P(X＝2)＝××＝；P(X＝3)＝××＝.所以X的概率分布为X,0,1,2,3P,,,,(10分)所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)19.解：(1)an＋1－an＝－＝－.(1分)所以a2－a1＝－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－，其中n≥2，相加得an－a1＝－.因为a1＝1，所以an＝(n≥2).(4分)当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式an＝.(5分)(2)由(1)得a＝.(6分)令bn＝，当n＝1时，b1＝>a＝S1，当n≥2时，bn－bn－1＝－＝>＝a，所以a<b1，a<b2－b1，…，a<bn－bn－1.(10分)所以Sn＝a＋a＋a＋…＋a<b1＋(b2－b1)＋…＋(bn－bn－1)＝bn.所以Sn<.(12分) 20.解：(1)当t＝时，＝＝t＝，即点D，E分别为BC，B1C1的中点．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1，AA1＝BB1，平面BB1C1C为平行四边形，连接DE，则DE∥BB1，DE＝BB1，所以DE∥AA1，DE＝AA1，所以四边形DEA1A是平行四边形，所以AD∥A1E.(3分)因为AD平面A1EB，A1E平面A1EB，所以AD∥平面A1EB.(5分)(2)(解法1)在平面ABC内，过点C作AD的垂线，垂足为H，连接C1H，则∠C1HC为二面角C1ADC的平面角，即∠C1HC＝.在直角三角形C1HC中，设C1C＝3，所以CH＝.在直角三角形CHA中，CH＝，AC＝3，所以sin∠CAH＝＝<.又因为∠CAH为锐角，所以cos∠CAH＝，且0<∠CAH<，所以点H在线段AD的延长线上．(9分)在△CDA中，sin∠CDA＝sin∠CDH＝sin(＋∠CAH)＝，CD＝＝6－3，所以t＝＝＝2－.(12分)(解法2)AA1⊥平面ABC，又∠BAC＝90°，以{，，AA1}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，不妨设AA1＝AB＝3，则点A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，3，0)，C1(0，3，3)，从而AC1＝(0，3，3)，＝(－3，3，0)，＝t＝(－3t，3t，0)，所以＝(3－3t，3t，0).设平面AC1D的法向量为n1＝(x，y，z)，由有取n1＝(t，t－1，1－t)，又平面ADC的一个法向量为n2＝(0，0，1)，因为二面角C1ADC的大小为，所以＝cos＝，(9分)即＝，得t2－4t＋2＝0.又因为0<t<1，所以t＝2－.(12分)21.解：(1)因为椭圆C的离心率为，且其右焦点F到右准线的距离为， 所以＝，且－c＝，解得a＝，c＝.(2分)所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)(2)设直线MN的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x0，y0)，直线MN的方程与椭圆方程联立得则3x2＋4mx＋2m2－6＝0，所以由＋＝0，得2x1x2＋(m－x0－y0)(x1＋x2)－2x0(m－y0)＝0.所以2×＋(m－x0－y0)(－m)－2x0(m－y0)＝0，整理得(2y0－x0)m＋2x0y0－4＝0，所以(10分)因为点A在第一象限，所以所以点A的坐标为A(2，1).(12分)22.解：(1)当a＝e时，f(x)＝x－elnx＋(x－e)2，则f′(x)＝1－＋2(x－e)＝＝(x>0).令f′(x)>0，得x>e；令f′(x)<0，得x<e；所以函数g(x)的单调增区间为(e，＋∞)，单调减区间为(0，e).(3分)(2)f′(x)＝lna－＋2(x－e)＝，令t(x)＝2x2＋(lna－2e)x－a＝0，因为Δ＝(lna－2e)2＋8a>0，所以方程2x2＋(lna－2e)x－a＝0有两个不相等的实根x1，x2(x1<x2)，因为x1x2＝－<0，所以x1<0<x2，令x0＝x2，列表如下．x,(0，x0),x0,(x0，＋∞)f′(x),－,0,＋f(x),减,极小值,增所以f(x)存在极值点x0.(7分)因为2x＋(lna－2e)x0－a＝0，所以2x－2ex0＝a－x0lna.记u(t)＝t－x0lnt，u′(t)＝1－，当0<t<x0时，u′(t)<0，u(t)单调递减；当t>x0时，u′(t)>0，u(t)单调递增．所以当t＝x0时，u(t)＝t－x0lnt的最小值为u(x0)＝x0－x0lnx0.所以2x－2ex0＝a－x0lna≥x0－x0lnx0，即2x－(2e＋1)x0＋x0lnx0≥0.(10分)因为x0>0，所以2x0＋lnx0－(2e＋1)≥0. 因为v(t)＝2t＋lnt－(2e＋1)在(0，＋∞)上单调递增，且v(x0)≥v(e)＝0，所以x0≥e，则x0的最小值是e.(12分)