北京市房山区2022届高三数学下学期第一次模拟试卷(Word版含答案)
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2022北京房山高三一模数学本试卷共6页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将答题卡交回,试卷自行保存。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)已知集合,则()(A)(B)(C)(D)(2)在复平面内,复数对应的点的坐标为,则()(A)5(B)3(C)5-4i(D)3-4i(3)若,且则下列不等式一定成立的是()(A)(B)(C)(D)(4)若的展开式中的常数项为,则()(A)2(B)-2(C)1(D)-1(5)已知为抛物线上一点,到抛物线的焦点的距离为4,到轴距离为3,则()(A)(B)1(C)2(D)4(6)在等差数列中,,则()(A)(B)9(C)10(D)25,(7)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,研究发现鲑鱼的游速(单位:m/s)可以表示为,其中表示鲑鱼的耗氧量,则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为()(A)2600(B)2700(C)26(D)27(8)已知函数,则“”“是为奇函数”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(9)已知直线被圆所截的弦长不小于2,则下列曲线中与直线一定有公共点的是()(A)(B)(C)(D)(10)已知是非空数集,若非空集合满足以下三个条件,则称为集合的一种真分拆,并规定与为集合的同一种真分拆.①;②;③的元素个数不是中的元素.则集合的真分拆的种数是()(A)5(B)6(C)10(D)15第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。(11)若双曲线的一条渐近线方程为,则_______.(12)已知是单位向量,,且,则_______;_______.(13)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则_____;若在区间上的最小值为,则的最大值为_____.,(14)函数的图象在区间上连续不断,能说明“若在区间上存在零点,则”为假命题的一个函数的解析式可以为______.(15)如图,正方体的棱长为2,点为底面的中心,点在侧面的边界及其内部运动.给出下列四个结论:①;②存在一点,;③若,则面积的最大值为;④若到直线的距离与到点的距离相等,则的轨迹为抛物线的一部分.其中所有正确结论的序号_________.,三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(16)(本小题14分)如图,在三棱柱中,平面,.(I)求证:平面;(I)若,求:①与平面所成角的正弦值;.②直线与平面的距离、(17)(本小题14分)在中,,.(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)再从下列三个条件中,选择两个作为已知,使得存在且唯一,求的面积.条件①:;条件②:;条件③:边上的高为.注:如果选择的条件不符合要求,第(Ⅱ)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.(18)(本小题14分)良好的生态环境是最普惠的民生福祉,北京市集中开展大气污染防治以来,在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年,经过全市共同努力,空气质量首次全面达标,大气污染治理取得里程碑式突破,下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.,月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合计空气质量优良天数241811272321262927292330288空气质量污染天数7102038952327177(Ⅰ)从2021年中任选1天,求这一天空气质量优良的概率;(Ⅱ)从2021年的4月、6月和9月中各任选大,设随机变量表示选出的3天中空气质量优良的天数,求的分布列;(Ⅲ)在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中,设空气质量优良天数的方差为,空气质量污染天数的方差为会.试判断,之的大小关系.(结论不要求证明),(19)(本小题14分)已知函数.(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)若在区间存在极小值,求的取值范围.(20)(本小题15分)已知椭圆的离心率为,长轴的两个端点分别为.(Ⅰ)求椭圆的方程:(Ⅱ)过点的直线与椭圆交于(不与重合)两点,直线与直线交于点.求证:.(21)(本小题14分)若无穷数列满足如下两个条件,则称为无界数列:①;②对任意的正数,都存在正整数,使得.(Ⅰ)若,判断数列,是否是无界数列;(Ⅱ)若,是否存在正整数,使得对于一切,都有成立?若存在,求出的范围;若不存在说明理由;(Ⅲ)若数列是单调递增的无界数列,,求证:存在正整数,使得.,参考答案一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。12345678910BACDCBDACA二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。(11)2(12);(13)(14)答案不唯一,如(x-1)2(15)①③三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(16)(本小题14分)(Ⅰ)在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1CC1为平行四边形.所以AC//A1C12因为AC平面BA1C1,A1C1平面BA1C1,所以AC//平面BA1C12(4)(Ⅱ)因为BB1⊥平面ABC,AB,BC平面ABC,所以BB1⊥AB,BB1⊥BC.又AB⊥BC,所以AB,BB1,BC两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系B-xyz,1(5)则A(1,0,0),B1(0,1,0),C1(0,1,1),A1(1,1,0),B(0,0,0).所以,,6(6)设平面BA1C1的法向量为n=(x,y,z),则,即令x=1,则y=-1,z=1.于是n=(1,-1,1)3(9)①,设直线AA1与平面BA1C1所成的角为θ,则2(11)所以AA1与平面BA1C1所成角的正弦值为②因为AC//平面BA1C1,所以直线AC与平面BA1C1的距离就是点A到平面BA1C1的距离1(12)设A到面BA1C1的距离为h,则.2(14)(17)(本小题14分)(Ⅰ)由正弦定理及2得asinB=acosB.所以tanB=1.2因为0º<∠B<180º,所以∠B=45º.1(5)(Ⅱ)选择条件①②,∆ABC存在且唯一,解答如下:由,及0º<∠A<135º,得∠A=120º1(6)由正弦定理及得,解得3(9)方法1:由A+B+C=180º,得∠C=15º.,3(12)所以2(14)方法2:由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得3=2+c2-2即,解得所以选择①③,∆ABC存在且唯一,解答如下:由,及,得1(6)因为AB边上的高为,所以2(8)由正弦定理及得,解得:3(9)(以下与选择条件①②相同)(18)(本小题14分)(Ⅰ)记事件A为“从2021年中任选1天,这一天空气质量优良”,则4(Ⅱ)X的所有可能取值为0,1,2,3.1,方法1:记事件B为“从4月任选1天,这一天空气质量优良”,事件C为“从6月任选1天,这一天空气质量优良”,事件D为“从9月任选1天,这一天空气质量优良”.由题意知,事件B,C,D相互独立,且,2所以1111方法2:所以X的分布列为:X0123P1,(Ⅲ)2(19)(本小题14分)(Ⅰ)当a=0时,则.1所以,2所以曲线在x=1处的切线方程为1(4)(Ⅱ)1(5)令.则.1(6)解,得.g'(x)与g(x)的变化情况如下:x(0,1)1(1,e)g'(x)-0+g(x)↘极小值↗所以函数g(x)在区间(0,e]上的最小值为g(1)=1-a2(8)方法1:①当a≤1时,g(1)=1-a≥0,所以g(x)≥0恒成立,即f'(x)≥0恒成立,所以函数f(x)在区间(0,e]上是增函数,无极值,不符合要求.1(9)②当1<a<1+时,因为g(1)=1-a<0,g(e)=1+-a>0,所以存在,使得.,x(1,x0)x0(x0,e)g(x)(f'(x))-0+f(x)↘极小值↗所以函数f(x)在区间(1,e)上存在极小值f(x0),符合要求4(13)③当时,因为所以函数f(x)在区间(1,e)上无极值.取,则.所以存在,使得.易知,x0为函数f(x)在区间(0,1)上的极大值点.所以函数f(x)在区间(0,e)上有极大值,无极小值,不符合要求1(14)综上,实数a的取值范围是().方法2:“f(x)在区间(0,e]上存在极小值”当且仅当“”,解得.证明如下:当时,因为,所以存在x0,使得g(x0)=0.x1,x0x0(x0,e)g(x)(f'(x))-0+f(x)↘极小值↗所以函数f(x)在区间(1,e)上存在极小值.所以实数a的取值范围是().(20)(本小题15分)(Ⅰ)由长轴的两个端点分别为A(-2,0),B(2,0),可得a=21,由离心率为,可得,所以1又a2=b2+c2,解得b=11所以椭圆C的标准方程为2(5)(Ⅱ)方法1:当直线l斜率不存在时,直线l的方程为x=1,易得所以,直线AM所在的方程为求得Q(4,).所以,N,B,Q三点共线,所以1(6)当直线l斜率存在时,设直线l的方程为1(7)由得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=01(8)设M(x1,y1),N(x2,y2),则,2(10),直线AM的方程为1,(11)所以1(12)所以所以,N,B,Q三点共线,所以3(15)方法2:设直线l的方程为x=my+1,由得(m2+4)y2+2my-3=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则.,直线AM的方程为.所以.,所以.(21)(本小题14分)(Ⅰ)是无界数列;不是无界数列.4(Ⅱ)存在满足题意的正整数k,且.5当时,因为7,8所以存在正整数,对于一切,有成立.9(Ⅲ)因为数列是单调递增的无界数列,所以所以11即因为是无界数列,取,由定义知存在正整数N1,使所以12由定义可知是无穷数列,考察数列,显然这仍是一个单调递增的无界数列,同上理由可知存在正整数N2,使得13故存在正整数N2,使得14即存在正整数m=N2,使得成立.
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