四川省南充市2022届高三数学（文）适应性考试（二诊）（二模）（Word版附解析）

南充市高2022届高考适应性考试（二诊）文科数学一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则（）A.4B.C.3D.【1题答案】【答案】C【解析】【分析】先利用复数的乘法运算化简得到，再利用复数的模长公式，计算即可【详解】由题意，故故选：C2.已知集合，则（）A.B.C.D.【2题答案】【答案】B【解析】【分析】先求解对数不等式得到，再利用集合的交集、补集运算，计算即得解【详解】由题意，故，故选：B3.某校高中生共有1000人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级500人，现采用分层抽样抽取容量为50人的样本，那么高一､高二､高三年级抽取的人数分别为（）A.15､10､25B.20､10､20C.10､10､30D.15､5､30【3题答案】 【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样的定义求出抽样比，按此比例求出各个年级的人数即可.【详解】解：根据题意高一年级的人数为人，高二年级的人数为人，高三年级的人数为人.故选：A.4.设都是实数，则“且”是“且”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要【4题答案】【答案】A【解析】【分析】利用不等式性质可判断充分性，取可验证必要性不成立，分析即得解【详解】由题意，若且，由不等式的性质可得且，故充分性成立；反之取满足且，但且不成立，故必要性不成立；故“且”是“且”的充分非必要条件故选：A5.在中，若，且，点分别是的中点，则（）A.B.C.10D.20【5题答案】【答案】C【解析】【分析】依题意可得，如图建立平面直角坐标系，利用坐标公式法求出平面向量数量积； 【详解】解：因为，所以，如图建立平面直角坐标系，则、、、，所以、、，所以，所以；故选：C6.设等差数列的前项和为，满足，则（）A.B.的最小值为C.D.满足的最大自然数的值为25【6题答案】【答案】C【解析】【分析】利用等差数列等差中项的性质，计算出数列相关参数即可.详解】由于，，∴上式中等差中项，，即，故A错误； 由等差数列的性质可知，，即，故B错误；由以上分析可知C正确，D错误；故选：C.7.若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）A.2B.C.D.【7题答案】【答案】A【解析】【分析】圆心到渐近线距离为，解方程即得解.【详解】解：由题得双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，所以双曲线的离心率．故选：A．8.我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7，在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（）A.B.C.D.【8题答案】 【答案】D【解析】【分析】写出大于3且不超过20的素数，分别计算出随机选取2个不同的数的所有情况和恰好是一组孪生素数的情况，再利用古典概型公式代入求解.【详解】大于3且不超过20的素数为：5，7，11，13，17，19，共6个，随机选取2个不同的数，共有个情况，恰好是一组孪生素数的情况为：5和7，11和13，17和19，共3个，所以概率为.故选：D9.函数的部分图像如图所示，，则（）A.关于点对称B.关于直线对称C.在上单调递减D.在上是单调递增【9题答案】【答案】C【解析】【分析】首先跟据函数图象求出及，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：由图可知，且，所以，即， 因为，所以，即，因为，所以函数关于直线对称，故A错误；，所以函数关于对称，故B错误；对于C：由，所以，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故C正确；对于D：由，则，因为在上不单调，所以在上不单调，故D错误；故选：C10.已知椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于不同的两点，若为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆的方程为（）A.B.C.D.【10题答案】【答案】B【解析】【分析】先求得焦点，也即求得，然后利用点差法求得，从而求得，也即求得椭圆的方程. 【详解】直线过点，所以，设，由两式相减并化简得，即，所以，所以椭圆的方程为.故选：B11.托勒密是古希腊天文学家､地理学家､数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（）A.B.C.D.【11题答案】【答案】D【解析】【分析】由托勒密定理可得，由可求出.【详解】由题，设，由托勒密定理可得，所以， 又因为，，所以.故选：D.12.已知函数，若，则的取值范围为（）A.B.C.D.【12题答案】【答案】D【解析】【分析】先求得的取值范围，然后化简，结合导数求得的取值范围.【详解】由于，即，所以，当时，递增，所以有唯一解.当时，递增，所以有唯一解.由得，所以.令， 所以在区间递减；在区间递增.所以，所以的取值范围为.故选：D【点睛】本题要求的取值范围，主要的解题思路是转化为只含有一个变量的表达式，然后利用导数来求得取值范围.在转化的过程中，主要利用了对数、指数的运算.二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）.13.已知实数满足则的最大值为___________.【13题答案】【答案】4【解析】【分析】转化为，则取得最大值即直线与可行域相交，且截距最大，数形结合即得解【详解】转化为，则取得最大值即直线与可行域相交，且截距最大，根据不等式组画出可行域，如图所示，联立，可得当直线经过点A时取得最大值为4. 故答案为：414.已知是抛物线的焦点，是上一点，为坐标原点，若，则___________.【14题答案】【答案】【解析】【分析】由抛物线定义求出点坐标即可得出答案.【详解】由抛物线方程可得，由抛物线定义可得，即，则，则.故答案为：.15.若等比数列的各项均为正数，且，则___________.【15题答案】【答案】2022【解析】【分析】根据等比数列的性质化简得到，由对数的运算即可求解.【详解】因为是等比数列，所以， 即，所以故答案为：202216.如图，棱长为的正方体中，点为线段上的动点，点，分别为线段，的中点，给出以下命题①；②三棱锥的体积为定值；③；④的最小值为.其中所有正确的命题序号是___________.【16题答案】【答案】①②④【解析】【分析】根据空间位置关系及椎体体积公式可判断①②，再根据向量的线性运算及数量积可判断③④.【详解】①如图所示，连接，，由正方体可知，且平面，即，又，所以平面，所以，即，正确； ②如图所示，连接，，，，，，由点，分别为线段，的中点，得，故平面，即点到平面的距离为定值，且，，故为定值，所以三棱锥的体积为定值，正确；③连接，，由点为线段上的动点，设，，故，，，当时，取最小值为，当时，取最大值为，故，即 ，，错误；④，当时，的最小值为，正确；故答案为：①②④.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~22题为必考题每个.试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.从某食品厂生产的面包中抽取100个，测量这些面包的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组频数82236286 （1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种面包质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包的规定”？【17~19题答案】【答案】（1）答案见解析（2）（3）能【解析】【分析】（1）根据频数分布表，计算每组的频率，即可绘制频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，按照平均数的求法求得答案；（3）计算质量指标值不低于85的面包所占比例即可得答案.【小问1详解】 【小问2详解】质量指标值的样本平均数为,所以这种面包质量指标值的平均数的估计值为【小问3详解】质量指标值不低于85的面包所占比例为，由于该值大于，故可以认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包的规定”.18.在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且___________.（1）求角；（2）在中，，求周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【18~19题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选择①：由正弦定理化边为角即可求出；选择②：利用面积公式和数量积关系化简可得出；（2）利用余弦定理结合基本不等式即可求出.【小问1详解】选择①：条件即，由正弦定理可知，，在中，，所以，所以，且，即，所以；选择②：条件即，即，.在中，，所以，则，所以，所以.【小问2详解】由（1）知，由余弦定理知：所以得所以，当且仅当时，等号成立所以求周长的最大值为. 19.如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点.（1）求证：；（2）若，求三棱锥体积.【19~20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设点是棱的中点，连接，可证平面，从而得到.（2）利用等积转化和体积公式可求三棱锥的体积.【小问1详解】如图所示，设点是棱的中点，连接，由及点是棱的中点，可得，又因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 又因为平面，所以，又因为四边形为菱形，所以，而是的中位线，所以，可得，又由，且平面平面，所以平面，又因为平面，所以.【小问2详解】，由于菱形，故，故，故三角形为正三角形，且三角形为正三角形，故，由于平面，20.如图所示，椭圆的右顶点为，上顶点为为坐标原点，.椭圆离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线，与椭圆相交于两点.直线的方程为：，过点作垂线，垂足为.（1）求椭圆的标准方程；（2）①求证：直线过定点，并求定点的坐标；②求面积的最大值.【20~21题答案】 【答案】（1）（2）①证明见解析，定点；②【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.（2）①设直线方程：，联立直线的方程与椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得直线的方程，并求得定点坐标.②结合弦长公式求得面积的表达式，利用导数求得面积的最大值.【小问1详解】由题意可得：，解得，故椭圆的标准方程为.小问2详解】①由题意知，，设直线方程：.，联立方程，得， 所以，所以，又，所以直线方程为：，令，则.综上：直线过定点.②由（1）中，所以，又，所以，令，则，令，当时，，故在上单调递增，则在上单调递减， 即在上单调递减，所以时，.21.已知为的导函数.（1）求在的切线方程；（2）讨论在定义域内的极值；（3）若在内单调递减，求实数的取值范围.【21~23题答案】【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，从而可求切线方程；（2）设，其中，求出，讨论其符号后可求导数的极值.（3）在内单调递减即为，利用导数可求后者，从而可求参数的取值范围.【小问1详解】，，而，故切线方程为：即.【小问2详解】设，其中，则，当时，，故在上为减函数，故无极值；当时，若，则，故在上为增函数； 若，则，故在上为减函数；故有极大值其极大值为，无极小值.【小问3详解】因为在内单调递减，则于恒成立，故在恒成立即.令，则.令得，令得，故在单调递减，单调递增.所以，故.所以.22.已知圆的参数方程为(为参数.（1）以原点为极点､轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆的极坐标方程；（2）已知直线经过原点，倾斜角，设与圆相交于两点，求到两点的距离之积.【22~23题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得圆的普通方程，再转化为极坐标方程.（2）写出直线标准参数方程并代入圆的普通方程，利用根与系数关系求得求到两点的距离之积. 【小问1详解】由得，两式平方后相加得，曲线是以为圆心，半径等于2圆，令，代入并整理得，即曲线的极坐标方程是.【小问2详解】直线的标准参数方程是（是参数），因为点都在直线上，所以可设它们对应的参数为和，圆的普通方程为，以直线的参数方程代入圆的普通方程整理得①，因为和是方程①的解，从而，23已知函数.（1）若关于不等式有解，求实数的取值范围；（2）设，且.求证：【23~24题答案】【答案】（1）（2）证明见解析【解析】 【分析】(1)依题意要大于等于的最小值，因此用绝对值不等式法直接算出最小值；(2)在第一问基础上，求出的最小值，并考虑用基本不等式来解决.【小问1详解】若关于的不等式的解集不是空集，只需即可，其中，当且仅当时，等号成立，所以实数的取值范围为；【小问2详解】由第一问可知，t=2，即原不等式为，只要证，由于，当且仅当即时等号成立，∴；