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河北省张家口市2022届高三数学下学期3月一模考试试题(Word版附解析)
河北省张家口市2022届高三数学下学期3月一模考试试题(Word版附解析)
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2022年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学本试卷共4页,22小题,满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,集合,则()A.B.C.D.2.已知,则的虚部是()A.B.C.D.3.已知,,则()A.B.C.D.4.下列函数是奇函数,且函数值恒小于1的是()A.B.C.D.5.下图是战国时期的一个铜镞,其由两部分组成,前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥,后段是高为0.6cm的圆柱,圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切,则此铜镞的体积约为() A.B.C.D.6.为提高新农村的教育水平,某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动,每人只能去一个地方,每地至少派一人,则不同的选派方案共有()A.18种B.12种C.72种D.36种7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,即,后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记,则()A.B.C.D.8.已知当时,函数的图象与函数的图象有且只有两个交点,则实数k的取值范围是()A.B.C.D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若,则下列不等式中正确的有()A.B.C.D.10.某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系,环境监测部门对该市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度(单位:),得到如下所示的2×2列联表:PM2.564161010 经计算,则可以推断出()A.该市一天空气中PM2.5浓度不超过,且浓度不超过的概率估计值是0.64B.若2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍,的观测值不会发生变化C.有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关D.在犯错的概率不超过1%的条件下,认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关附:0.0500.0100.0013.8416.63510.82811.已知正方体的棱长为1,点P是线段上(不含端点)的任意一点,点E是线段的中点,点F是平面内一点,则下面结论中正确的有()A.平面B.以为球心、为半径的球面与该正方体侧面的交线长是C.的最小值是D.的最小值是12.已知F是抛物线的焦点,过点F作两条互相垂直的直线,,与C相交于A,B两点,与C相交于E,D两点,M为A,B中点,N为E,D中点,直线l为抛物线C的准线,则()A.点M到直线l的距离为定值B.以为直径的圆与l相切C.的最小值为32D.当最小时,三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量,,若,则______. 14.已知函数,,用表示m,n中的最小值,设函数,若恰有3个零点,则实数a的取值范围是______.15.已知椭圆的左焦点为F,过原点O的直线l交椭圆C于点A,B,且,若,则椭圆C的离心率是______.16.已知函数,,,且在区间上有且只有一个极大值点,则的最大值为______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知数列是等比数列,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和,并证明:.18.(本小题满分12分)已知在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.(1)求角A的大小;(2)若,求周长的最大值.19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱中,平面平面,,,四边形是菱形,,是的中点. (1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)中医药传承数千年,治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说:“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用,能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热、咳嗽、乏力等症状,中药起效非常快,对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情,医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者,平均分成A,B两组,A组服用甲种中药,B组服用乙种中药.服药一个疗程后,A组中每人康复的概率都为,B组3人康复的概率分别为,,.(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复,事件D表示B组中恰好有1人康复,求;(2)若服药一个疗程后,每康复1人积2分,假设认定:积分期望值越高药性越好,请问甲、乙两种中药哪种药性更好?21.(本小题满分12分)已知双曲线的离心率是,实轴长是8.(1)求双曲线C的方程;(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B,若直线l上存在不同于点P的点D满足成立,证明:点D的纵坐标为定值,并求出该定值.22.(本小题满分12分)已知函数,.(1)当时,证明:当时,;(2)若对,都,使恒成立,求实数a的取值范围.2022年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学参考答案及评分标准2022.3一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】因为集合,集合,所以 ,故选C.2.【答案】B【解析】因为,所以z的虚部是,故选B.3.【答案】B【解析】由,,得,所以,故选B.4.【答案】A【解析】因为,所以函数为奇函数;因为,又,所以,故A正确;函数非奇非偶,故B错误;函数为偶函数,故C错误;因为,故D错误,故选A.5.【答案】D【解析】因为正三棱锥的底面边长为1,所以其内切圆半径为,由三棱锥体积与圆柱体积公式可得,故选D.6.【答案】D【解析】4名教师分为3组,有种方法,然后再分别派到甲、乙、丙三地,共有种方案,所以共有36种选派方案.故选D.7.【答案】C【解析】由,得.故选C.8.【答案】A 【解析】由题设,当时,,令,则,所以当时,,则单调递增;当时,,则单调递减.又,,所以当时,直线与的图象有两个交点,即函数的图象与函数的图象有且只有两个交点.故选A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.【答案】AB【解析】对于A选项,因为,所以,故A正确;对于B选项,因为函数在R上单调递增,所以,故B正确;对于C选项,当时,不成立,故C不正确;对于D选项,当,时,,故D不正确.故选AB.10.【答案】ACD【解析】补充完整列联表如下:PM2.5合计641680101020合计7426100对于A选项,该市一天中,空气中PM2.5浓度不超过,且浓度不超过的概率估计值为,故A正确;对于B选项,,故B不正确;因为7.4844>6.635,根据临界值表可知,在犯错的概率不超过1%的条件下,即有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关,故C,D均正确.故选ACD. 11.【答案】ABD【解析】对于A选项,因为平面即为平面,又因为,且平面,平面,所以平面,故A正确;对于B选项,该球面与侧面的交线长为,故B正确对于C,D选项,将沿翻折到与在同一平面且点,D在直线的异侧,作于点G,此时,则的最小值是,故C不正确,D正确.故选ABD.12.【答案】BCD【解析】设,,,,,,直线的方程为,则直线的方程为.将直线的方程代入,化简整理得,则,,故.所以,.因为点A到直线l的距离,点B到直线l的距离,点M到直线l的距离,又,所以,故A错误;因为,所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为,即以为直径的圆与l相切,故B正确;同理,,所以,,,则,当且仅当时等号成立,故C正确; .设,则,,.当时,即时,最小,这时,故D正确.故选BCD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.【答案】【解析】因为,所以,解得,故填.14.【答案】【解析】若恰有3个零点,则函数在区间上存在两个零点,故解得,故填.15.【答案】【解析】设右焦点为,连接,.因为,即,可得四边形为矩形.在中,,.由椭圆的定义可得,所以,所以离心率,故填.16.【答案】 【解析】由题意知,,,则,,其中,.当时,,,;当时,,,.又在区间上有且只有一个极大值点,所以,得,即,所以.当时,,,此时,此时有2个极大值点,舍去;当时,,,此时,此时有1个极大值点,成立,所以的最大值为,故填.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)解:设等比数列的公比是q,首项是.由,可得.由,可得,所以,所以.(2)证明:因为,所以.又,所以.18.解:(1)由正弦定理,得. 由余弦定理得,,又,所以.(2)由和(1)可知,则,得,即,所以(当且仅当时,取得等号),所以周长的最大值为.19.(1)证明:因为四边形是菱形,,所以.因为平面平面,平面平面,所以平面,所以.因为,所以.又,且,所以平面,所以平面.(2)解:如图,连接.因为,,O是的中点,所以.又因为平面平面,平面平面,所以平面.设,建立空间直角坐标系,则,,,,,,. 设平面的法向量是,则即取,可得.设平面的法向量是,则即取,可得.所以.所以二面角的余弦值是.20.解:(1)依题意有,,.又事件C与D相互独立,则,所以.(2)设A组中服用甲种中药康复的人数为,则,所以.设A组的积分为,则,所以.设B组中服用乙种中药康复的人数为,则, ,,,故的分布列为0123所以.设B组的积分为,则,所以.因为,所以甲种中药药性更好.21.(1)解:依题意得,解得所以双曲线C的方程是.(2)证明:设,,,直线l的方程为.将直线方程代入双曲线方程,化简整理得,,则,.z=1要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B,则应满足 即解得.(无这个范围,也不扣分)由,得,故,所以.又,所以点D的纵坐标为定值.22.(1)证明:当时,.令,则,所以在上单调递增,且,所以,即.令,则,所以在上单调递减,在上单调递增,且,所以,所以.所以当时,有,所以当时,.(2)解:因为,使恒成立,令,只需,即在上恒成立,.整理得.(*).设,则. 又,可得时,,单调递增;时,,单调递减,因此当时,有最小值,所以在R上单调递增.所以(*)式即,所以,即.设,,则,令,解得.当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.所以,所以.所以实数a的取值范围为.
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高中 - 数学
发布时间:2022-04-04 19:07:05
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