北京市平谷区2022届高三数学第二学期3月质量监控试卷

平谷区2021—2022学年第二学期高三年级质量监控数学试卷2022.3本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合，且，则集合可以是（A）（B）（C）（D）2．在复平面内，复数，则的虚部是（A）（B）（C）（D）3．下列函数中，定义域为的偶函数是（A）（B）（C）（D）4．已知，下列不等式正确的是（A）（B）（C）（D）5．设抛物线的焦点为，准线为，抛物线上任意一点.则以点为圆心，以为半径的圆与准线的位置关系是（A）相切（B）相交（C）相离（D）都有可能6．已知函数，则不等式的解集是（A）（B）（C）（D） 7．已知边长为2的正方形，设为平面内任一点，则“”是“点在正方形及内部”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件8．已知公差不为零的等差数列，首项，若成等比数列，记，则数列（A）有最小项，无最大项（B）有最大项，无最小项（C）无最大项，无最小项（D）有最大项，有最小项2-29．已知函数部分图像，如图所示.则下列说法正确的是（A）函数最小正周期为（B）（C）函数一个单调递减区间是（D）若，则的最小值是10．生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持恒温.根据生物学常识，采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，经过研究，得到体重和脉搏率的对数线性模型：.已知一只体重 为300g的豚鼠脉搏率为300/min，如果测得一只小狗的体重5000g,那么与这只小狗的脉搏率最接近的是（A）130/min（B）120/min（C）110/min（D）100/min第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．11．在的展开式中，常数项为________．（用数字作答）12．已知向量在正方形网格中的位置，如图所示.则=_______．13．双曲线的离心率为，则________；焦点到渐近线的距离为________．14．能说明“若在定义域上是增函数，则在上是增函数”为假命题的一组函数：__________，__________．15．设棱长为的正方体，是中点，点、分别是棱、上的动点，给出以下四个结论：①存在；②存在；③存在无数个等腰三角形；④三棱锥的体积的取值范围是.则所有结论正确的序号是________.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（本小题13分）在中，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：的周长为．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．（本小题14分）如图，矩形和梯形，，平面⊥平面，且，过的平面交平面于.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当为中点时，求点到平面的距离；（Ⅲ）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.18．（本小题14分）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：男生818486868891女生728084889297（Ⅰ）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概 率；（Ⅱ）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（>90分）的学生人数为，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．（只需写出结论）19．（本小题15分）设函数（Ⅰ）当时，①求曲线在点处的切线方程；②求函数的最小值.（Ⅱ）设函数，证明：当时，函数至多有一个零点.20．（本小题15分）已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.（I）求椭圆的方程；（II）设椭圆的左右顶点分别为，当不与重合时，直线分别交直线于点，证明：以为直径的圆过右焦点. 21．（本小题14分）已知，或1，，对于，，，定义与之间的距离为.（Ⅰ）若,写出一组的值,使得；（Ⅱ）证明：对于任意的，；（Ⅲ）若，若，求所有之和．平谷区2021—2022学年度第二学期质量监控高三数学参考答案2022．3一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案CADCABBDCB二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．1212.613.2；114.，（答案不唯一）15.③④三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）由得，即，因为，所以……………………4分 （Ⅱ）选择条件②：因为，所以因为，由正弦定理……………………7分又………………10分所以的面积……………………13分选择条件③：因为的周长为，，即⑴………………6分又，即⑵……………………9分由⑴⑵解方程组……………………12分所以的面积……………………13分（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为矩形，所以，平面，平面，所以平面.……………………2分因为过的平面交平面于，由线面平行性质定理，得.……………………4分（Ⅱ）由平面⊥平面其交线为，平面所以⊥平面……………………5分又矩形所以以为原点，以、、为轴建立空间直角坐标系.由，得， ……………………6分设平面法向量，则即，解得.……………………7分因为，所以点到平面的距离.……………………9分（Ⅲ）设，则……………………10分设平面法向量，则即，解得……………………12分又⊥平面所以,解得即……………………14分（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）解：设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A，……………1分由表格可得：从抽出的12名学生中，男生和女生各随机选取一人，即样本空间；……………………3分其中男生成绩高于女生成绩的有…….事件A包含17个样本点，因此.……………………5分（II）由数据可知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（>90分）的有3人，即 从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为.……………6分因此从该校高一学生中随机抽取3人，这3人中成绩优秀人数可取，且……………………7分，，，所以随机变量的分布列0123……………………11分数学期望或者，所以……………………12分（Ⅲ）.……………………14分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）函数定义域为，……………………1分……………………3分当时……………………4分 ①所以曲线在点处的切线方程是.……………5分②令，且即函数递减区间；即函数递增区间，所以函数的最小值.……………………7分（Ⅱ）因为……………………9分令，①时，，函数在定义域上单调递增，至多有一个零点；……………………10分②时，，令，得，令，得所以函数在区间单调递减，在区间单调递增则函数在时有最小值，此时函数无零点.……………12分③时，，令，得令，得所以函数在区间单调递增，在区间单调递减因为函数，所以，且在区间上恒成立.所以函数在区间上至多有一个零点.综上，当时，函数至多有一个零点.……………………15分（20）（本小题15分） 解：（I）由题干可得，所以，即椭圆的方程.……………………4分（II）解法一：设因为直线交直线于点，所以，则同理，则……………………8分由于异于轴两侧，因此异号.所以又因为，所以即，以为直径的圆过右焦点.……………………15分解法二：设直线方程，……………………6分，得，即……………………8分因为直线交直线于点，即.因为直线交直线于点，则由三点共线，得，即……………………13分所以 即，以为直径的圆过右焦点.……………………15分（21）（本小题14分）解：（Ⅰ），（答案不唯一）．……………………4分（Ⅱ）证明：设，，，因为，，所以，www.@ks@5u.com从而，同理，．……………………6分又，由题意知，，.当时，;当时，所以．……………………9分（Ⅲ）解：易知中共有个元素，分别记为,………………10分对于，∵的共有个，的共有个．……………………12分∴ ∴=．所有之和为．……………………14分